人教八年級(jí)數(shù)學(xué)上角平分線性質(zhì)

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上角均分線性質(zhì)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上角均分線性質(zhì)18/18人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上角均分線性質(zhì)初中數(shù)學(xué)試卷金戈鐵騎整理制作角均分線的性質(zhì)例1.如圖1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直均分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于50，求BC的長(zhǎng).ADEBC圖1變式1：如圖1，在△ABC中，AB的垂直均分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若∠BEC=70°，則∠A=？ADEBC圖1變式2：如圖3，在Rt△ABC中，AB的垂直均分線交BC邊于點(diǎn)E。若BE=2，∠B=15°求：AC的長(zhǎng)。ADBCE圖3例2.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別均分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。例3.已知：如圖6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角均分線AD、CE訂交于O。求證：AC＝AE＋CD例4.以以下圖，設(shè)BP、CQ是ABC的內(nèi)角均分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KH∥BCA檔（堅(jiān)固專練）1.2.3.

ACA

△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，兩腰AB、AC的垂直均分線交于點(diǎn)P，則（、點(diǎn)P在△ABC內(nèi)B、點(diǎn)P在△ABC底邊上、點(diǎn)P在△ABC外D、點(diǎn)P的地點(diǎn)與△ABC的邊長(zhǎng)相關(guān)假如三角形兩邊的垂直均分線的交點(diǎn)恰巧落在第三邊上，則這個(gè)三角形是（、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等邊三角形假如三角形兩角的均分線的交點(diǎn)落在三角形內(nèi)部，則這個(gè)三角形是（）

））A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、以上都正確4.已知A和B兩點(diǎn)在線段EF的中垂線上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,則∠AEB等于( )A、95°B、15°C、95°或15°D、170°或30°如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的均分線AE交CD于E，連結(jié)BE，且BE恰巧均分∠ABC，則AB的長(zhǎng)與AD＋BC的長(zhǎng)的大小關(guān)系是（）、AB＞AD＋BCB、AB＝AD＋BCC、AB＜AD＋BCD、沒法確立如圖，△ABC中，AD為∠BAC的均分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，在以下結(jié)論中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．此中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4AEB

FC如圖，△ABC中，∠C=90o，BD均分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直均分線，DE=1BD，2且DE，則AC等于（）A．3cmB．C．6cmD．BECDA8.如圖，△ABC中，∠CAB=120o，AB，AC的垂直均分線分別交BC于點(diǎn)E、F，則∠EAF等于（）A．40oB．50oC．60oD．80oABCFE9.將一張長(zhǎng)方形紙片按以以下圖的方式折疊，BC，BD為折痕，則∠CBD的度數(shù)為（）A．60°B．75°C．90°D．95°10.把16個(gè)邊長(zhǎng)為

a的正方形拼在一同，如圖，連結(jié)

BC，CD，則△BCD是（

）A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等邊三角形

D．隨意三角形BCD檔（提高精練）已知線段AB和它外一點(diǎn)P，若PA=PB，則點(diǎn)P在AB的____________________；若點(diǎn)P在AB的____________________，則PA=PB．已知：△ABC中，邊AB，AC的垂直均分線訂交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在BC的垂直均分線上．如圖，在△ABC中，EF是AC的垂直均分線，AF=12，BF=3，則BC=__________．AEBCF如圖，Rt△ABC中，∠C=90o，BD是角均分線，DE⊥AB，垂足為E，BC=6，CD=3，AE=4，則DE=_______，AD=_______，△ABC的周長(zhǎng)是_______．AEDCB5.用三角尺畫角均分線：如圖，∠AOB是一個(gè)隨意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，再分別過M、N作OA，OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP，則這條射線即為角均分線．請(qǐng)解說(shuō)這類做法的道理．你還可以舉出哪些作角均分線的方法，并說(shuō)明這類做法的道理．如圖，三條公路圍成的一個(gè)三角形地區(qū)，要在這個(gè)地區(qū)中建一個(gè)加油站，使它到三條公路的距離都相等，加油站應(yīng)建在什么地點(diǎn)？請(qǐng)用尺規(guī)作圖，找出建筑加油站的地點(diǎn)．如圖，△ABC中，P是角均分線AD，BE的交點(diǎn)．求證：點(diǎn)P在∠C的均分線上．AEPBDC如圖，已知點(diǎn)D是∠ABC的均分線上一點(diǎn)，點(diǎn)P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分別為A，C．求證：（1）AD=CD；（2）∠ADB=∠CDB．APDBC如圖，在∠AOB的兩邊OA，OB上分別取OM=ON，OD=OE，DN和EM訂交于點(diǎn)C．求證：點(diǎn)C在∠AOB的均分線上．AMDCOENB已知：如圖，AD是△ABC的角均分線，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分別為垂足．求證：AD垂直均分EF．AEFBCD如圖，已知△ABC中，∠C=90o，∠BAC=2∠B，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DE=DC．求證：AD=BD．AEBDC如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD訂交于E，由這些條件你能推出哪些結(jié)論（不再增添協(xié)助線，不再注明字母，不寫推理過程，只需求寫出四個(gè)你以為正確的結(jié)論）？DACEB如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、Q、R分別在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC．求證：點(diǎn)Q在PR的垂直均分線上．ARPBQC檔（超越導(dǎo)練）如圖1，在銳角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC的均分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是。（請(qǐng)最少用三種不一樣樣的方法）已知△ABC中，∠B=2∠C，AD均分∠BAC交BC于D，求證：AC=AB+BD如圖4，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)。①AD均分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三此中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可組成三個(gè)命題，即：①②③,①③②，②③①。（1）試判斷上述三個(gè)命題能否正確（直接作答）；（2）請(qǐng)證明你以為正確的命題。如圖5，以△ABC兩邊AB、AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結(jié)BE、CD交于O點(diǎn)，求證：OA均分∠DOE如圖6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延伸線于點(diǎn)F，連結(jié)CF.1）求證：AD⊥CF；2）連結(jié)AF，試判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明原因。6.如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD均分∠ABC，CE⊥BD于E求證：CE=1BD27.如圖3-①所示，OP是∠MON的均分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以的全等三角形。同時(shí)請(qǐng)你參照這個(gè)作全等三角形的方法，解答以下問題：

OP所在直線為對(duì)稱軸1）如圖3-②,在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的均分線，AD、CE訂交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)目關(guān)系；2）如圖3-③，在△ABC中，假如∠ACB不是直角，而（1）中的其余條件不變，請(qǐng)問，你在（1）中所得結(jié)論能否仍舊建立？若建立，請(qǐng)證明；若不建立，請(qǐng)說(shuō)明原因。8.如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC中BC邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)，∠ADE=60°，DE交△ABC的外角∠ACF的均分線所在直線于點(diǎn)E。1）求證：DA=DE2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，研究DA與DE的大小關(guān)系，畫出圖形，給出證明。角均分線的性質(zhì)參照答案例1.分析：由線段垂直均分線定理得出AE=BE，由此△BCE的周長(zhǎng)等于AC+BC，從而可以求得BC的長(zhǎng)為23.談?wù)摚罕绢}是△ABC中一邊AB的垂直均分線AC訂交;那么當(dāng)AB的垂直均分線與BC訂交時(shí)，(如圖2),對(duì)應(yīng)的是△ACE的周長(zhǎng)，它的周長(zhǎng)也等于AC+BC圖.形變化，但結(jié)論不變.ADBEC圖2變式1答案：∠A=35°.變式2答案：1例2.證明：在BC上截取BF=BA,連結(jié)EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,則⊿ABE≌FBE(SAS),∠EFB=∠A;AB平行于CD,則:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,則∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.例3.分析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，12。由B60，知5660，160，23120。123460，得：FOCDOC，F(xiàn)CDC證明：在AC上截取AF＝AEBADCAD，AOAOAEOAFOSAS2又B60660603120123460FOCDOC(AAS)FCDC即ACAECD例4.分析：由已知，BH均分∠ABC，又BH⊥AH，延伸AH交BC于N，則BA＝BN，AH＝HN。同理，延伸AK交BC于M，則CA＝CM，AK＝KM。從而由三角形的中位線定理，知KH∥BC。證明：延伸AH交BC于N，延伸AK交BC于MBH均分∠ABC∠ABH∠NBH又BH⊥AHAHB∠NHB90BH＝BHABHNBH(ASA)BABN，AHHN同理，CA＝CM，AK＝KMKH是AMN的中位線KH//MN即KH//BC說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角均分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱）而成一個(gè)等腰三角形。檔（堅(jiān)固專練）檔（提高精練）答案：垂直均分線上；垂直均分線上．答案：連結(jié)PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，點(diǎn)P在BC的垂直均分線上．答案：15．答案：3，5，24答案：提示：OM=ON，OP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，∴∠MOP=∠NOP，∴射線OP是∠AOB的均分線．答案：提示：作兩個(gè)角的均分線，交點(diǎn)即為建加油站的地點(diǎn)．答案：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分別為M、N、Q．∵P在∠BAC的均分線AD上，∴PM=PQ．P在∠ABC的均分線BE上，∴PM=PN?！郟Q=PN，∴點(diǎn)P在∠C的均分線．AMEQBDNC答案：△ABP≌△CBP，∴AB=CB，又∠ABP=∠CBP，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB．9.答案：提示：作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD(SAS)，∴S△MOE=S△NOD，同時(shí)去掉S四邊形ODCE，得S△MDC=S△NEC，易證，MD=NE，∴CE=CF，∴點(diǎn)C在∠AOB的均分線上．10.答案：提示：由角均分線的性質(zhì)定理，可得

DE=DF，從而求得∠

DEF=∠DFE，∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，所以AD垂直均分EF．答案：提示：DE=DC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴∠EAD=∠DAC=1∠BAC，又∠B=122∠BAC，∴∠EAD=∠B，∴AD=BD．答案：AC均分對(duì)角；AC⊥BD；AC均分BD；△ABC≌△ACD等．答案：提示：AB=AC，∴∠B=∠C，又PB=QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR，∴QP=QR，∴點(diǎn)Q在PR的垂直均分線上．C檔（超越導(dǎo)練）如圖1，在銳角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC的均分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是。答案：4（請(qǐng)最少用三種不一樣樣的方法）已知△ABC中，∠B=2∠C，AD均分∠BAC交BC于D，求證：AC=AB+BD證法1：截長(zhǎng)在AC上截取AE=AB，連結(jié)DEAB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD∴⊿ABD≌⊿AED（SAS）∴BD=DE，∠B=∠AED∵∠AED=∠C+∠EDCB=2∠C∴∠C=∠EDC∴CE=DE=BDAC=AE+CE=AB+BD證法2：補(bǔ)短1在AB的延伸線上截取BF=BD，連結(jié)DF則∠F=∠BDF∵∠ABC=∠F+∠BDF=2∠FABC=2∠C∴∠F=∠C又∵∠FAD=∠CAD，AD=AD∴⊿AFD≌⊿ACD（AAS）AC=AF=AB+BF=AB+BD證法3：補(bǔ)短2延伸AB到G，使AG=AC，連結(jié)DG∵AG=AC，∠CAD=∠CAD，AD=AD∴⊿AGD≌⊿ACD（SAS）∴∠G=∠C∵∠ABC=∠G+∠BDGABC=2∠C=2∠G∴∠C=∠BDG∴BG=BDAC=AG=AB+BG=AB+BD如圖4，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)。①AD均分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三此中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可組成三個(gè)命題，即：①②③,①③②，②③①。（1）試判斷上述三個(gè)命題能否正確（直接作答）；（2）請(qǐng)證明你以為正確的命題。答案：（1）正確的有①②③，②③①錯(cuò)誤的有①③②2）②③①證明超出此刻學(xué)生水平，可用四點(diǎn)共圓證明，也可用下述方法。證明：①②③：AD是角均分線∴∠BAD=∠CAD又∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED=∠AFD又公共邊AD=AD∴三角形AED與三角形AFD全等AE=AF設(shè)AD、EF交點(diǎn)為O又公共邊AO=AO，夾角∠AED=∠AFD∴三角形AEO與三角形AFO全等∴∠AOE=∠AOF又∠AOE+∠AOF=180°∴∠AOE=∠AOF=90°AD⊥EF②③①：設(shè)AD、EF交點(diǎn)為ODE⊥AB，DF⊥AC且AD⊥EF（即AD⊥EO，AD⊥FO）∴EO、FO分別為直角三角形AED和AFD的高直角三角形中，存在直角三角形AOE與EOD相像直角三角形AOF與FOD相像∴可得相像邊成比率，即OD/OE=OE/OA，OD/OF=OF/OA整理得OE2=OF2=OD*OAOE=OF又∵AD⊥EF，∠AOE=∠AOF=90°，公共邊AO=AO∴三角形AEO與三角形AFO全等∴∠EAO=∠FAO，即∠BAD=∠CAD即：AD均分∠BAC如圖5，以△ABC兩邊AB、AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結(jié)BE、CD交于O點(diǎn)，求證：OA均分∠DOE提示：證△ADC△ABE,依據(jù)對(duì)應(yīng)高相等可得結(jié)論。如圖6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延伸線于點(diǎn)F，連結(jié)CF.1）求證：AD⊥CF；（2）連結(jié)AF，試判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明原因。證明：（1）因?yàn)镈E⊥AB所以∠FDB=45°又BF∥AC獲得△DBF是等腰直角三角形所以BD=BF由AC=BC所以△ACD和△CBF全等所以∠CAD=∠FCB∠CAD+∠ADC=∠FCB+∠ADC=90°AD⊥CF2）因?yàn)镈BF是等腰直角三角形，BE垂直于DF所以DE=EF所以直角三角形ADE和AFE全等AD=AF上邊獲得AD=CF所以AF=CF三角形ACF為等腰三角形6.如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD均分∠ABC，CE⊥BD于E求證：CE=1BD2證明：延伸BA、CE，兩線訂交于點(diǎn)F∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)EF=ECCF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA)BD=CFBD=2CE7.如圖3-①所示，OP是∠MON的均分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。同時(shí)請(qǐng)你參照這個(gè)作全等三角形的方法，解答以下問題：1）如圖3-②,在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的均分線，AD、CE訂交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)目關(guān)系；2）如圖3-③，在△ABC中，假如∠