二次根式的乘除法-知識(shí)講解(提高)

二次根式的乘除法-知識(shí)講解(提高)二次根式的乘除法-知識(shí)講解(提高)二次根式的乘除法-知識(shí)講解(提高)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月二次根式的乘除法-知識(shí)講解(提高)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：二次根式的乘除法—知識(shí)講解（提高）責(zé)編:康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握二次根式的乘除法則和化簡(jiǎn)二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

1。乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開(kāi)方數(shù)相乘.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).

(2)該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：

;≥0，≥0，…..≥0）;

(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如.

2.積的算術(shù)平方根

（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無(wú)論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0，≥0,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，如果不滿足這個(gè)條件，等式右邊就沒(méi)有意義，等式也就不能成立了；

(2)二次根式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵是將被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號(hào)外面.

知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根

1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開(kāi)方數(shù)相除..

要點(diǎn)詮釋：

(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開(kāi)方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.

(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡(jiǎn)，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)

（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

要點(diǎn)詮釋：

運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)三、最簡(jiǎn)二次根式

（1）被開(kāi)方數(shù)不含有分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開(kāi)方的因數(shù)或因式.【典型例題】類型一、二次根式的乘除【高清課堂：二次根式及其乘除法（下）例9（2），（3）】1.計(jì)算：（1）×（﹣2）÷．（2）【答案與解析】解：（1）×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．(2)原式=【總結(jié)升華】根據(jù)二次根式的乘除法則靈活運(yùn)算，注意最終結(jié)果要化簡(jiǎn).舉一反三：【高清課堂：二次根式及其乘除法（下）例9（4）】【變式】【答案】原式==2.計(jì)算

(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).【思路點(diǎn)撥】復(fù)雜的二次根式計(jì)算，要注意在化簡(jiǎn)過(guò)程中運(yùn)用冪的乘除運(yùn)算和因式分解運(yùn)算.【答案與解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=-a.【總結(jié)升華】熟練乘除運(yùn)算，更要加強(qiáng)運(yùn)算準(zhǔn)確的訓(xùn)練.舉一反三：【變式】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值．【答案】由題意得，即

∴6＜x≤9，∵x為偶數(shù)，∴x=8

∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=

∴當(dāng)x=8時(shí)，原式的值==6．類型二、最簡(jiǎn)二次根式

3.已知0<<,化簡(jiǎn).【答案與解析】原式===【總結(jié)升華】成立的條件是>0;若<0,則.4.（2016?黃石）觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1==﹣1，第2個(gè)等式：a2==﹣，第3個(gè)等式：a3==2﹣，第4個(gè)等式：a4==﹣2，按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫出第n個(gè)等式：an=；（2）a1+a2+a3+…+an=．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n個(gè)等式：an==﹣；（2）將每一個(gè)等式化簡(jiǎn)即可求得答案．【答案與解析】解：（1）∵第1個(gè)等式：a1==﹣1，第2個(gè)等式：a2==﹣，第3個(gè)等式：a3==2﹣，第4個(gè)等式：a4==﹣2，∴第n個(gè)等式：an==﹣；（2）a1+a2+a3+…+an=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1．故答案為=﹣；﹣1．【總結(jié)升華】此題考查