菱形知識講解

菱形知識講解菱形知識講解菱形知識講解xxx公司菱形知識講解文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度菱形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）知識要點(diǎn)】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個(gè)特殊條件.要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點(diǎn)就是對稱中心.要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì) 1、（2015?石景山區(qū)一模）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，AB上的點(diǎn)，且AE=AF，連接EF并延長，交CB的延長線于點(diǎn)G，連接BD．（1）求證：四邊形EGBD是平行四邊形；（2）連接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的長．【思路點(diǎn)撥】（1）連接AC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EG∥BD，根據(jù)對邊分別平行證明是平行四邊形即可．（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【答案與解析】（1）證明：連接AC，如圖1：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四邊形EGBD是平行四邊形．（2）解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根據(jù)勾股定理得，AG=．【總結(jié)升華】本題考查了菱形性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定以及直角三角形的性質(zhì)解題．舉一反三：【變式1】（2015?溫州模擬）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)O，連接BO，且∠AED=50°，則∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）例1】【變式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周長為8，則此菱形的高等于()．A. 【答案】C；提示：由題意，∠A＝30°，邊長為2，菱形的高等于×2＝1.類型二、菱形的判定 2、如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥AC，DF∥BC，四邊形DECF是菱形嗎試說明理由．【思路點(diǎn)撥】由菱形的定義去判定圖形，由DE∥AC，DF∥BC知四邊形DECF是平行四邊形，再由∠1＝∠2＝∠3得到鄰邊相等即可．【答案與解析】解：四邊形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四邊形DECF是平行四邊形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四邊形DECF是菱形．【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，首先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由一對鄰邊相等來判定它是菱形．舉一反三：【變式】如圖所示，AD是△ABC的角平分線，EF垂直平分AD，分別交AB于E，交AC于F，則四邊形AEDF是菱形嗎請說明理由．【答案】解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分AD，∴△AOF與△DOF關(guān)于直線EF成軸對稱．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴EO＝OF又∵AEDF的對角線AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE平分∠ACD，交AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F．求證：四邊形AEFG是菱形．【思路點(diǎn)撥】由角平分線性質(zhì)易知AE＝EF，欲證四邊形AEFG是菱形，只要再證四邊形AEFG是平行四邊形或AG＝GF＝AE即可．【答案與解析】證明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．∴EFAG．∴四邊形AEFG是平行四邊形．又∵AE＝AG，∴四邊形AEFG是菱形．方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四邊形AEFG是菱形．【總結(jié)升華】判定一個(gè)四邊形是菱形，關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件．舉一反三：【變式】如圖所示，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，過A點(diǎn)作AG∥DB交CB的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求證四邊形DEBF是菱形．【答案】證明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)∴DF＝DC，BE＝AB∴DF∥BE．DF＝BE∴四邊形DEBF為平行四邊形∴DE∥BF(2)證明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC為直角三角形又∵F為邊CD的中點(diǎn)．∴BF＝DC＝DF又∵四邊形DEBF為平行四邊形∴四邊形DEBF是菱形類型三、菱形的應(yīng)用4、如圖所示，是一種長，寬的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊BC、CD、DA、AB的中點(diǎn)，陰影部分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長，寬的墻壁準(zhǔn)備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚．試問：(1)這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊(2)全部貼滿后，這面墻壁會出現(xiàn)多少個(gè)面積相同的菱形【答案與解析】解：墻壁長，寬，矩形瓷磚長，寬，÷＝14，÷＝14，則可知矩形瓷磚橫排14塊，豎排14塊可毫無空隙地貼滿墻面．(1)則至少需要這種瓷磚14×14＝196(塊)．(2)每塊瓷磚中間有一個(gè)白色菱形，則共有196個(gè)白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一半．另外在同一個(gè)頂點(diǎn)處的瓷磚能夠拼成一個(gè)淡黃色