山東建筑大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)答案

山東建筑大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)答案班級姓名學(xué)號第一章行列式.利用對角線法則計算下列三階行列式：abcacaacbbaccbabbbaaacccb(1)be3abca3b3c3bb21cbc2ca2ab2ac2ba2cb2c2(2)aa2(ab)(bc)(ca)2.按自然數(shù)從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數(shù)：(1)2413；13…(2n1)24…(2n)；13…(2n1)(2n)(2n2)…2.解(1)逆序數(shù)為工(2)逆序數(shù)為逆序數(shù)為n(n1).3.寫出四階行列式中含有因子alla23的項.解由定義知，四階行列式的一般項為1n(n1).(3)2班級姓名學(xué)號(1)talpla2P2a3P3a4P4,其中t為pip2P3P4的逆序數(shù).由于pl1,p23已固定，pip2P3P4只能形如13□口,即1324或1342.對應(yīng)的t分別為00101或00022alla23a32a44和alla23a34a42為所求.4.計算下列各行列式：解21412140(1)3121c4c23122123212305062506221402140r4r2312231221230r4rl1230=021400000abacaebee(2)bdcdde=adfbcebfcfefbce2班級姓名學(xué)號1111111二11=4abcdefale001a100lb1001c001abOrlar2Ibl0010IdId1abac011ab10ac132(1)(1)2110Idc3de2adlcdOadlcd=(1)(1)5、證明：⑴=abcdabcdad1xaybzazbx按第一■列左邊ayazbxaxby分開zaxbyaybz3班級姓名學(xué)號ybzaybzazbxazbxaxbyxaxbyaybzxaybz分別再分2ayazbxzyx00bzzazbxxaxbyzaxbyyxyaybz分別再分xyzyzxa3yzxb3zxyzxyxyzxyzxyza3yzxb3yzx(1)2右邊zxyzxya2a2(2a1)(a2)2(a3)2(2)b2左邊b2(2b1)(b2)2(b3)2TOC\o"1-5"\h\zc2c2 (2c 1)(c 2)2(c 3)2d2d2 (2d 1)(d 2)2(d 3)2a22a 14a 46a 9c2clb22b14b46b9c23clc2c14c46c9c4c2ld2d14d46d9a2a4a46a9按第二列b2b4b46b9分成二項2c2c4c46c9d2d4d46d94班級姓名學(xué)號a2b22cd211114a44b44c44d4c3第一項c4c3第二項c46a96b96c96d94c26c24c29c21aa2a2b2c2c120baabcd444409a29b229c9d214al4bl4cl4d06a6b6c6d02da2ba2ca2da22a4b4a4c4a4d4a4bacadac2a2d2a2=b2a2b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)111(ba)(ca)(da)bacadab2(ba)c2(ca)d2(da)=(ba)(ca)(da)lbaOcbOdbb2(ba)c2(ca)b2(ba)d2(da)b2(ba)5班級姓名學(xué)號=(ba)(ca)(da)(cb)(db)11(c2beb2)a(cb)(d2bdb2)a(db)(cd)(abcd)(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明當n2時,D2xa2lxalx2alxa2,命題成立.假設(shè)對于(n1)階行列式命題成立，即Dn1xn1alxn2an2xan1,則Dn按第1列展開：1DnxDn1an(l)n1000xOOlx111xDn1an右邊所以，對于n階行列式命題成立.6、計算下列各行列式(D為k階行列式)：k6班級姓名學(xué)號(l)Dna1la,其中對角線上元素都是a 未寫出的元素都是0解Dn0OlOaOOOOOa00000 aOIOO OaOa(l)n10 000aalOO0000 0 000alOO0(n1)(n1) (l)2naaaa(n1)(n1)ana(n2)(n2) (l)n1(l)nanan2an2(a21)(2)xaDn aax a aa解將第一行乘(1)分別加到其余各行 得7班級姓名學(xué)號xaaaxxaODnaxOxaaxOOOaOOxa再將各列都加到第一列上得x(nl)aaaOxaODnOOxa000a0On1[x(n1)a](xa)Oxaal1clc2,c2c3c3c4,(3)Dnala200000a2a30001a21an00a30000000000111111an按最后一列展開(由下往上)a4anlan10an8班級姓名學(xué)號alOO00a2a20000a3a300(1an)(ala2an1)00a400000an2an200000alOO00a2a20000a3a300000anlan10000ana2a20000a3a30000a400000anlan10000an(1an)(ala2an1)ala2an3an2ana2a3an(ala2an)(1nl)ilaiOOOO0an9班級姓名學(xué)號anObn(4)Dalbl2nOcldlcnOdnanlObn10按第一行albl展開a0ncOldlcnlOdn100OdnOanlObn1albl(l)2nIbOcOnidicnIdn1cnOO都按最后一行展開andnD2n2bncnD2n2由此得遞推公式：D2n(andnbncn)D2n2即nD2n(aidibici)D2i210班級姓名學(xué)號而D2alblcaldlblclIdln得D2n (aidibici)i1TOC\o"1-5"\h\z(5)aij i j0123n11012n2Da2101 n 3n det(ij)3210n4nIn 2n 3n 4 01111 111111rlr21111lc2cl,c3clr2r3, 11111c4cl,1000012000122001222=(l)nl(nl)2n20n12n32n42n5n111班級姓名學(xué)號7.用克萊姆法則解卜列方程組：11111111解D121423150123053731211021811111111012301380123000154 1420051400014251115111D221405091 2315 231501211012111519151905090121101332305090121101332315191519012110121100104600138 142002312000015111511D407232121221501237302110151812班級姓名學(xué)號1501001001211121131210050013101219 2840123113931520114115142 426D4131222312DITOC\o"1-5"\h\zxl 1,DD2x2 2,DD3x3 3,DD4x41Dxlx2x309.問，取何值時，齊次線性方程組xlx2x30x2xx0231有非零解？解D3121齊次線性方程組有非零解，則D300,得13班級姓名學(xué)號不難驗證，當0或1時，該齊次線性方程組確有非零解.第二章矩陣及其運算2y3,3z233xl2yly312y3,3z233x4yy5yl233yl3zlz2y22zlz3,求從變量z,zl2,z3到變量xl,x2,x3的線性變換。解由已知xl2012322012y415yl2013201310z2415zlx232y6131249z210116所以有xl6zlz23z312zl4z29z3lOz16zl233231112、設(shè)A1124，求3AB2Axl2012322012y415yl2013201310z2415zlx232y6131249z210116所以有xl6zlz23z312zl4z29z3lOz16zl233231112、設(shè)A1124，求3AB2A及ATB.111051解111 123 111111 051 13AB112A143111242111班級姓名學(xué)號058290 1111 21322 3056 2111 2172011 4292111123 0ATB58111124111056.TOC\o"1-5"\h\z051 2903,計算；⑴ 431123 72570 1解：431 7 473211123 27(2)23135570 1 6.577201 49(2) 2123解：2121(1)124.A312A2A2A3(1)323610,求A2,A3,10 101010 101015班級姓名學(xué)號利用數(shù)學(xué)歸納法證明:10Ak1時,顯然成立,假設(shè)k時成立,則k10 10lAkAkAl(k1)1由數(shù)學(xué)歸納法原理知:Ak10105、設(shè)A00首先觀察20010001000A20223323A3A2A03300k(kl)k2推測kk2kkk1A由此(***)(k2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當k2時,顯然成立.假設(shè)k時成立，則k1時，16班級姓名學(xué)號Aklk(kl)k2kk1

0010AkA0kkk10(kl)kk100k1l(k1)k2kIk1 0(k1)由數(shù)學(xué)歸納法原理知：(***)成立.要條件是ABBA.6、設(shè)A、B都是n階對稱陣，證明AB是對稱陣的充證明：由已知：ATATBBTT充分性：ABBAABB即AB是對稱矩陣必要性：(AB)17.設(shè)A10B12問：,3TA12AB(AB)TABBTATABBAAB.(l)ABBA嗎？(2)(AB)A2ABB嗎？(3)(AB)(AB)AB嗎？2222212學(xué)號A12BA1310142938BABBA12 ,則34AB46 17班級姓名822A22AB1022B210168(AB)2411123425251527(2)1438故(AB)(3)2A22ABB222 02 06(AB)(AB)25010938 10A2B2 41134 28 17而故2(AB)(AB)A2B28.舉反例說明下列命題是錯誤的：(1)若A0,則A0;(2)若AA,貝IJA0或AE;(3)若AXAY,且A0,則XY.20解⑴取A01(2)取A01 ,01 ,0A20,但A0A2A,但A0且AE,(3)取AXAY10A00 11X 11, 11Y01.且A0但XY.18班級姓名學(xué)號xl2yl2y2y39.已知線性變換 x23yly25y3,求從變量xl,x2,x3到x33yl2y23y3變量yl,y2,y3的線性變換。解：xl22x1yl32x3 15 323y2所以yl221xl7y2 315 49xlx2 637x2,y3323x3324x3yl7x14x29x即3y26x13x27x3.y33x12x24x310、求下列方陣的逆陣：(1) 1225解：A1225A1.A115,A212(1),A122(1),A221.AA11A21 52AA21.Allcos9-sin。sin0cos0解：A10故A1存在，19班級姓名學(xué)號AllcosA21sinA12sinA22cos從而A1cossinsineosalOO00 (3) Oa2000a30 (ala2an0)000an1allO解：由對角矩陣的性質(zhì)知A1a2 .012X11210 11311432解1101X113211111343221023222185211134323303320：班級姓名學(xué)號010100 143(2)100X001201001010120010 143100解：X10020100100112001011010 143100210100201 001134.001120010102xl2x23x3112、利用逆陣解線性方程組2x12x25x32.3x5xx3231解：解、（1）方程組可表示為1123351xxl1 225 x2 23 3故xlx351123 1 1 x2252 2 03 0 3xl1x20. x30從而有13、設(shè)Ak0(k為正整數(shù))，證明：21EA1EAA2Ak1.班級姓名學(xué)號證明：一方面，E(EA)1(EA)另一方面，由Ak0有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時右乘(EA)1就有(EA)1EAA2Ak1.03314、設(shè)A=110AB=A+2B,,求B.-123解由ABA2B可得(A2E)BA1故233B(A2E)1A 033 033110110123班級姓名學(xué)號15、設(shè)PIIP11

1AP10PAP1所以All其中PIIP11402，求IIP11

1AP10PAP1所以All其中PIIP11402，求A.1111114100202111110114683168411021127312732103311316.設(shè)矩陣A可逆，證明其伴隨陣A也可逆，且(A)1(Al)*e證因A=AA,由A的可逆性及A0,可知A可逆，*1123班級姓名學(xué)號且(A)1(A1)1=1A；A1另一方面，由伴隨陣的性質(zhì)，有A用A左乘此式兩邊得（A1*(A1)*=AIE.1A,A)=A1A=A1A二比較上面兩個式子，即知結(jié)論成立。17、設(shè)n階方陣A的伴隨陣為A,*證明：⑴若A=0,則AA*An1*0；(2)A0證明(D用反證法證明.假設(shè)A(A)1E.則有由此得AAA(A)E(A)10A0.這與A0矛盾，故當0時，有A0.(2)由于由AEAAAn1n取行列式得到：若A0則AA24若A0由(1)知A0此時命題也成立班級姓名學(xué)號故有AAn1.*2BA-8E,求B。18.設(shè)A=diag(l,-2,1),ABA=

解由于所給矩陣方程中含有A及其伴隨矩陣A, 因此仍從公式AA二AE著手。為此，用A左乘所給方程兩邊，得AABA2ABA8A,*又，B=2AB-8E(2A2E)B=8E(AE)B=4E.注意到AE=diag(l,2,1)diag(l,1,l)=diag(2,1,2),是可逆矩陣，且11(AE)l=diag(,1,),22TOC\o"1-5"\h\z于是B=4(AE)=diag(2,4,2). 134 4319>設(shè)A00 0000 00A8,求2022及A及A.41解340 43,A200 22令A(yù)34 143 ,20A2.22貝ijAOA1.0A2 25班級姓名學(xué)號故88AOA10A2 88A180 0A8 2 .8A8A18A2A1A21016.Al4A045400 0 054. 44A22002624000TOC\o"1-5"\h\z1 2Al11A4302525 430 2525 11A2 002100 2.第三章矩陣的初等變換與線性方程組.把下列矩陣化為行最簡形：32 33 3541 2320 34211342 33 3541 2320 3421134343541343541解(下32042111343 00488r43rl)~003660051010 1323 1323一步r23rlr32rl(下一步 r2(4) r3(3) 26班級姓名學(xué)號11340012r4(5) )~0012001211023 00122?00000 00000321 315 323 32(下一步 r3rrrrr)12324222 2.利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆：⑴014014110?010112002101 0021010017/229/2 1007/62/33/2112?0101120011/201/2 1/201/211 202 32解723 632故逆矩陣為 11 202 32解3132 30~0100153001(2) 3201 0221 1232012127班級姓解27班級姓名學(xué)號0121322100000101 049510221001300 01232001" 1232001" 001210000100001112101 36 104100?100000000111121034610010故逆矩陣為 0124 1110311061641-2-33.設(shè) 1A=221B=2231-1 3-1解因為012132210000010100111034 0021010212001200 210100000010101T 121136106求X使AXB.28班級姓名學(xué)號TOC\o"1-5"\h\z41213r100102 (A,B)22122?010 15331131 001124102所以XAIB153 1244.求作一個秩是4的方陣，使它的兩個行向量10100,11000.解用已知向量容易構(gòu)成一個有4個非零行的5階下三角矩陣11100010000010000010000此矩陣的秩為4 00其第2行和第3行是已知向量5.求下列矩陣的秩,并求一個最高階非零子式.02 31 1121 13443102 1121解1121(下一步 rlr23102(下一1344 1344步r23rlr3rl)11211121 ?0465(下一步r3r2)~0465矩陣的0465 0000 29解?32131 132 137051 82 13 13 2 131 3 7051 8(下一步 rlr2r2 2rlr37rl )13441 071195 00001 3442 1 7 071190 213327 22 (下一步r3 3r2 )~矩陣的秩是3 321137是一個最高階非零子式708

⑴xl2x2x3x40 3x16x2x33x405xlOxx5x02341解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有xl2x2x41211 1201x2x2A3613~0010于是x051015 0000x3x 44故方程組的解為數(shù)）xl2 1x1 0x2kl0k20（klk23 0 1x4 為任意常30班級姓名學(xué)號⑵3x14x25x37x402x3x3x2x012344xllx13x16x023417x12x2x33x40解對系數(shù)矩陣A進行初等行變換有345719170000x217x301721300 3173x13x11731741920345719170000x217x301721300 3173x13x11731741920131720 1700于是17x4xxx3x344故方程組的解為 3 13 17xl17x19 20（kl2xklk217 3 17 0x41 0 1k2為任意常數(shù)）7 2 2 3 4寫出一個以xcl1c20為通解的齊次線性方0 1程組解根據(jù)已知可得xl2 2x3 4x2cl1c200 1x4與此等價地可以寫成31班級姓名學(xué)號xl2cl2c2x23c14c2xl2cl2c2x23c14c2clxc42或xl2x32x4x23x34x40x23x34x4或xl2x32x40這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組非齊次線性方程組.8解下列非齊次線性方程組:⑴ 2x1x2x3x414x12x22x3x422xxxx11234解對增廣矩陣B進行初等行變換211112111111/21/201/2000004221200010于是1111x2xx22x30 10x401xx1即0x3xklx3k2123020（kl

x41222k2為任意常數(shù)）⑵ 2x1x2xc42或xl2x32x4x23x34x40x23x34x4或xl2x32x40這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組非齊次線性方程組.8解下列非齊次線性方程組:⑴ 2x1x2x3x414x12x22x3x422xxxx11234解對增廣矩陣B進行初等行變換211112111111/21/201/2000004221200010于是1111x2xx22x30 10x401xx1即0x3xklx3k2123020（kl

x41222k2為任意常數(shù)）⑵ 2x1x2x3x413x12x2x33x44x4x3x5x22341解對增廣矩陣B進行初等行變換有32班級姓名學(xué)號21111101/71/76/7B32134"015/79/75/71435200000116xxx173747x5x9x5273747x3x3x44于是x5952k（kk為任意常數(shù)）1727 712100x402x1x2x329.xl2x2x3xlx22x3當取何值時有解？并求出它的解

TOC\o"1-5"\h\z2112 1212解B121?011( 1)1122 3 000( 1)( 2)要使方程組有解必須(1 )( 2)0即1 22112 1011當1時B1211"01101121 0000xlx31x1x3方程組解為 xx或x2x323x3x333xlx31x1x3班級姓名學(xué)號0(k為任意常數(shù))xl1 1即0(k為任意常數(shù))x1 0 32112 1012當2112 1012當1124 00002時B1212"0112xlx32x1x32xlx32x1x32方程組解為 xx2或x2x3223x3x3xl1 2BPx2k11 0 32(k為任意常數(shù))xl1 2BPx2k11 0 32(k為任意常數(shù))101123(2-X)xl+2x2-2x3=l設(shè)2x1+(5-A.)x2-4x3=2-2x-4x+(5-A)x=-A■問為何值時此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求解問為何值時此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求解B221 225 42 2454225 01B221 225 42 2454225 011 1 00(1 )(10要使方程組有唯一解

)(1 )(4 )必須R(A)R(B)3即必須(1 )(10 )0所以當1且10時方程組有唯一解.34班級姓名學(xué)號要使方程組無解 必須R(A)R(B)即必須(1 )(10 )0且(1 )(4 )0所以當10時方程組無解.要使方程組有無窮多解必須R(A)R(B)3即必須(1 )(10 )0且(1 )(4 )0所以當1時方程組有無窮多解此時，增廣矩陣為1221B?0000方程組的解為0000 xlx2x31x2x23x3xxl2 2 1或x2kl1k20 0(klk2為任意常數(shù))x0 1 0 3線性代數(shù)期中復(fù)習(xí)答案一、選擇題(1)設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為mn矩陣，現(xiàn)有4個命題：若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B),則Ax=0的解均是Bx=0的35班級姓名學(xué)號解；③若Ax=0與Bx=0同解，則秩秩)=秩秩):④若秩8)=秩＞),則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是(A)①②.(B)①③.(0②④.(D)③④.[B]【分析】本題也可找反例用排除法進行分析，但①②兩個命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓?、叟c④，迅速排除不正確的選項.【詳解】若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n-秩(B),即秩(正秩⑻，命題③成立，可排除(A),(C)；但反過來，若秩6)=秩小)，則不能推出

lAx=O與Bx=OlAx=O與Bx=O同解，如A0 001,則秩(A)=B00 01秩(B)=l,但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題④不成立，排除(D),故正確選項為(B).(2)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*0,若，，口2,；3,g4是非36班級姓名學(xué)號齊次線性方程組Axb的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.(0含有兩個線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個線性無關(guān)的解向量.[B]【分析】要確定基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù)，實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】因為基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù)=nr(A),而且r(A)n,n,r(A*) 1,r(A)n1, 0,r(A)n1.根據(jù)已知條件A*0,于是r(A)等于n或n1.又Axb有互不相等的解，即解不惟一，故r(A)n1.從而基礎(chǔ)解系僅含一個解向量，即選(B).(3)設(shè)n階矩陣A與B等價，則必須(A)當|A|a(a0)時，|B|a.B|a.(B)當'A|a(a0)時，(0當|A|0時，|B|0.(D)當|A0時，37班級姓名學(xué)號|B|0.[D]r(A)r(B)【分析】利用矩陣A與B等價的充要條件：立即可得.【詳解】因為當|A 0時，r(B)n,r(A)n,又A與B等價，故即⑻0,從而選(D).二、填空題(1)設(shè)三階方陣A,B滿足ABABE,其中2E1011,則020為三階單位矩陣，若AB2 201 .【分析】先化簡分解出矩陣B,再取行列式即可.【詳解】由ABABE知，2(A2E)BAE,即(AE)(AE)BAE,(AE)BE.易知矩陣A+E可逆，于是有再兩邊取行列式，得001AEB1,B12因為AE0102,200所以.(2)設(shè)矩陣210A120 001 ,矩陣B滿足38班級姓名學(xué)號ABA*2BA*E,其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則B1.9【分析】可先用公式AAAE進行化簡*【詳解】已知等式兩邊同時右乘A,得ABA*A2BA*AA,3AB6BA,而A3,于是有(3A6E)BA,即再兩邊取行列式，有而3A6EB3,13A6E27,故所求行列式為B.9(3) 010設(shè)A100,BP1AP,其中P為三階可逆001矩陣，則B20042A2 300 030001 .2【分析】將B的箱次轉(zhuǎn)化為A的某次，并注意到A

為對角矩陣即得答案.【詳解】因為TOC\o"1-5"\h\z1002A010,B2004P1A2004P. 001 39班級姓名學(xué)號故B2004P1(A2)1002PP1EPE,2004B300 22A030. 001k1(4)已知矩陣A1 1k.Ikllllkll1 ,且A的秩rA3,則1k(5)已知線性方程組xy02x3y52xya有解，則a--1_.三證明R(A)1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量b使Aab證明必要性10,0)由證明必要性10,0)由R(A)1知A的標準形為000 0000 10TT0(1,0,即存在可逆矩陣P和Q使40班級姓名學(xué)號10或1 0PAQ(1,0, ,0) 0 10或AP (1,0, ,0)Q1 01T10令aP是非零列向b(1 00)Q1 0貝Ija量 bT是非零行向量 且AabT充分性因為a與bT是都是非零向量 所以A是非零矩陣從而R(A)1所以R(A)1因為1所以R(A)1四、設(shè)n階矩陣A和B滿足條件：ABAB.⑴證明：AE是可逆矩陣，其中E是n階單位.⑵ 130 已知矩陣B210,求矩陣A.002解：⑴由等式ABAB,得ABABEE,即AEBEE因此矩陣AE可逆，而且AE11BE.1(2)由(D知，AEBE,即ABEEABEE141班級姓名學(xué)號1030 200 001 0100 1 010 30010 1200 0 1100 10 010 3 1 0010 1210002五、當a、b為何值時，線性方程組x3x40xlx2x22x32x41x2a3x32x4bx3ax413x12x2有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時的通解.解：將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣：110 11101 0221 0la32b0 321a1 0111012210a10b1 00a10所以，(1)當a1時，rrA4,此時線性方程組有唯一解.(2)當a1,b1時，rA2,r3,此時線性方程組無解.⑶當a1,b1時，rrA2,此時線性方42班級姓名學(xué)號程組有無窮多組解.x此時，原線性方程組化為 1x2x3x40x22x32x40因此，原線性方程組的通解為或者寫為xlx3x41x22x32x41x3x3x4x4xl 1 1 1x2 2x11kk2 0 120 3x3 0 1 0第四章向量組的線性相關(guān)性43班級姓名學(xué)號.設(shè)解vl(1,l,0)T,v2(0,1,1)T,v3(3,4,0)T,求vlv2及3vl2v2v3.vlv2(1,l,0)T(0,1,1)T(10,11,01)T(1,0,1)T3vl2v2v33(1,l,0)T2(0,1,1)T(3,4,0)T(31203,31214,30210)T(0,1,2)T.設(shè)(ala)2(a2a)5(a3a)其中al(2,5,1,3)Ta2(10,1,5,10)T,a3(4,1,1,1)T,求a.解由3(aa)2(a2a)5(a3a)整理得(3al2a25a3)6a1[3(2,5,1,3)T2(10,1,5,10)T5(4,1,1,1)T]6(1,2,3,4)T3.設(shè)12,2 2 3,3 3 4,4 4 1,證明向量組1,2,3,4線性相關(guān).證明設(shè)有x,x,x,x使得xl 1x22 x3 3x44 0貝IJxl( 1 2) x2( 2 3) x3( 3 4)x4(4 1)044班級姓名學(xué)號(xlx4)1(xlx2)2(x2x3)3(x3x4)40(1)若，，，線性相關(guān)，則存在不全為零的4數(shù)k,k,1234klxl?k2xlk3x2k4x3由k,k,12341234x4x2x3x4;k不全為零,知x,x,x,x不全為零，即2,3,4線性相關(guān).(2)若11 0001100011al,a2,a3,a4線性無關(guān)，則xlx40xlx20xx032x3x401xl0x200x31x411004由0110001110001知此齊次方程存在非零解.則，，，線性相關(guān).12綜合得證..設(shè)，且向量組al,a2,,ar線性無關(guān)，證明向量組1,2,,r線性無關(guān).45班級姓名學(xué)號證明設(shè)kbkb1122krbr0則(klkr)1(k2kr)2(kpkr)pkrr0因向量組，，，線性無關(guān)，故12rklk2kr0k2kr0kr0100101001 0kr0因為則k1110 1故方程組只有零解.1k2kr0.12r線性無關(guān)，向量可由向量12所以，，，線性無關(guān)5,設(shè)向量組A:,2,,m組A線性表示，而向量不能由向量組A線性表示.證明:m1個向量證明2,m,112必線性無關(guān).46班級姓名學(xué)號kl1kmkl1kmmk112 0設(shè)存在不全為零的數(shù)kl,k2...km,k使得代入1,得klkll1kmklmmk20 2不能由A表示k0kikli0ki0,i1,2,,m,m,11 2線性無關(guān).又1可由1,,m線性表示， 1111Imm.當為何值時，向量組2,4,DT,10 110 2303(3,0,,0)T線性相關(guān).1(3,2,0,DT,2(2,4,DT,10 110 23032TTTA(1,2,3) 0 1 12413 1023 0~、 040 000 0000所以當6時，R(A)3,所以6..CCBC.(1).線性相關(guān)；(2).a2b0；(3),線性相關(guān)；(4).線性無關(guān)。.求下列向量組的秩，并求一個最大無關(guān)組：47班級姓名學(xué)號1 1,2,1,4,2 9,100,10,4,3 2,4,2,8T.解2ala3al,a3線性相關(guān).Tal1214 1214T“0821932由a29100104T2428 000a30秩為2,一組最大線性無關(guān)組為a,a.1210.25 75利用初等變換求矩陣75253117439453132的列向量組9454134322048的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.解25757525319494321753542043r3rll32248r4rl0025000311111723343rr343TOC\o"1-5"\h\z“5rr325 25000311001721043 3 301 00 08 5101 012000所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組,a48ala22a3o51(0,1,1)2(a,2,1)T3(b,l,0)T與向48班級姓名學(xué)號量組31(1,2,3)Tr2(3,0,1)T93(9,6, 7)T具有相同的秩,,2,3線性表示，求a,b的值.3解因為，線性無關(guān)，而1233122，所以，，線性123123可由相關(guān)，且向量組，，的秩為2,所以向量組，，的秩也為2.由于可由,,線性表示，故可由，線31312性表示，即，12,3線性相關(guān).13b2010310于是有故a150abl210110,解得a3b,另外，解得b5.,b5.12.DC13.由al1,量1,0,0,a21,0,1,1T所生成的向由空間T記作VITbl2,1,3,3,b20,1,1,1所生成的向量空間記作V,試證：V21V2.證明設(shè)VIxklalk2a2kl,klR,V2x11 221,1R任取V中一向量,可寫成ka1要證ka11k2a2V2,從而得VIV249班級姓名學(xué)號TOC\o"1-5"\h\z由kailk2a211 22得klk221kl2 121klk2k3 k122112k231 2上式中，把k,k看成已知數(shù)，把，看成未知1212數(shù)D12020 11 1,2有唯一解VIV2同理可證：VIV2V2VI(D2100)故14.驗證1 1,3 1,0,2 2,1,3,3 3,1,2TTT為R的一個基，并把vl5,用這個基表示.解0,7T,v29, 8,13T123由于al,a2,a3111 60032即矩陣(a,a,a)的秩為3.故a,a,a線性無關(guān)，則123123為R的一個基.31klalk2a2k3a3,則50班級姓名學(xué)號kl2k23k35k31klk2k303k22k37kl2k23故vl2al3a2a3lai2a2 3a3,則12k3kl313設(shè)v2k2故線性表示為v23al3a22a315.求下面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解104044xl386xl得xl34礎(chǔ)解系為,班級xlx16.8x210x32x40 2x118102初等行變換314x25x3

(1)Ax42458x016x023410 0004x3所以原方程組等價于l,x44,x23xlx234440;取x30,x40,x20通解為姓名學(xué)號102135101因此基cl5282矩陣B,使AB0,且R(B)2.1001則由由于R(B)2,所以可設(shè)Bxlx2XX3420AB0010230800； 9x39528xl82x4XX00可得,35 1012xxx22342213010011 2xl1x22 解此非齊次線性方程組可得唯一解，x35TOC\o"1-5"\h\zx2 4 1 2故1 0所求矩陣B 1125 20 11.21 217.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,52班級姓名學(xué)號2 3已知1,2,3是它的三個解向量，且4 52 2 3 ,求該方程組的通解。3 4 ,解由于矩陣的秩為3,nr431,一維.故其對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量，且由于，，均為方程組的解，由非齊次線123性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得3 421(2 3)(1 2)(1 2)齊次解5(齊次解)(齊次解) 63 2 4 3 為其基礎(chǔ)解系向量，故此方程組的通解：xk,5 4 6 5(kR)18.求下列非齊次方程組的通解.xl5x22x33x411 5x13x26x3x412x4x2xx6234153班級姓名學(xué)號10911解：B152311初等行變換72 5361101112 242160,1,TOC\o"1-5"\h\z0 720 0xl1 9 1通解為x 220 3x40 0 222 0c117c12,3 1 11 32,3 1 11 3bl,bl3219.DBCAD第五章相似矩陣及二次型11.試用施密特法把向量組111101正10 54班級姓名學(xué)號交化.解：根據(jù)施密特正交化方法:1 1 0bl,a2ba令blal,,221 1b,ab,a13b3a313bl23b2 ,bl,blb2,b2534TOC\o"1-5"\h\z1 0(bl,b2,b3)1113123131 5353 54 5故正交化后得2.判斷下列矩陣是不是正交陣，并說明理由：1(1) 21 312; 1 13121121 98(2) 94 98919494 94 .97 9解：(1)第一個行向量非單位向量，故不是正交陣.(2)該方陣每一個行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣.55班級姓名學(xué)號56班級姓名學(xué)號.設(shè)x為n維列向量，xTx1,令HE2xx,求證：TH是對稱的正交陣.證明因為HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是對稱矩陣因為HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩陣.設(shè)A與B都是n階正交矩陣，證明：A1,A*,AT也是正交陣;AB也是正交陣.證明(1)因為A是n階正交陣，故A1AT,所以A1TA1ATTA1AA1E故A1也是正交陣.57班級姓名學(xué)號A*(A*)TAA1(AA1)TAA11A(A1)TEA*正交.AT(AT)TATAEAT正交.(2)因為A,B是n階正交陣，故A1AT,B1BT

(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交陣.5.求下列矩陣的特征值和特征向量：TOC\o"1-5"\h\z(1) 11 (2) 12324 ; 213336并問它們的特征向量是否兩兩正交？解：(D①A E24 ( 2)( 3).故A的特征值為12,23.②當12時,解方程(A2E)x0,由(A2E) 11 11 122 ? 00 ,得基礎(chǔ)解系P1123時,解方程(A3E)x0,所以klPl(kl0)是對應(yīng)于12的全部特征值向量.23時,解方程(A3E)x0,班級姓名學(xué)號(A3E) 21 21 121 ? 00 ,得基礎(chǔ)解系P2 21所以k2P2(k20)是對應(yīng)于33的全部特征向量.③[PT1,P2]P1P2(1,1) 1 30,故P121,P2不正交.0的全部特征值向量.10的全部特征值向量.1的全部特征值向量83?01 ,得基礎(chǔ)(2)① 23AE21 3 ( 1)( 9).336故A的特征值為10,2 1,39.②當10時，解方程Ax0,由123A213?123011 ,得基礎(chǔ)解系TOC\o"1-5"\h\zP 11336 000 1故klPl(kl0)是對應(yīng)于當2 1時,解方程(AE)x0,由AE223223 223 1? 001 ,得基礎(chǔ)解系P1337 000 0 故k2P2(k20)是對應(yīng)于當39時，解方程(A9E)x0,由59班級姓名學(xué)號1112 823 11A9E2解系P3 22 333 000 1

故kP(k3330)是對應(yīng)于39的全部特征值向量.③TOC\o"1-5"\h\z1 T[P1,P2]P1P2(1,1,1)1 00 ,1 2 1 0,[P2,P3]PTP(1,1,0)232 11 21T[P1,P3]P1P3(1,1,1) 0,所以P1,P2,P3兩兩正交.2 1設(shè)A為n階矩陣證明A與A的特征值相同T證明：因為|ATE||(AE)T||AE|TAE所以AT與A的特征多項式相同 從而AT與A的特征值相同設(shè)A23A2E0,證明A的特征值只能取1或2.證明：設(shè)是A的任意一個特征值x是A的對應(yīng)于60班級姓名學(xué)號的特征向量則(A3A2E)xx3x2x( 3 2)x0因為x0所以3 20即是方程3 20的根也就是說 1或28設(shè)0是m階矩陣A矩陣BA的特征值證明：設(shè)x是AB的對應(yīng)于。的特征向量則有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)從而是BA的特征值 且Bx是BA的對應(yīng)于的特征向量9已知3階矩陣A的特征值為1 2 3求A322222mnBnm的特征值 證明也是n階5A27A解：令() 3527貝lj(1)3 (2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)| (1) (2) (3)32318 10.61 124 5421設(shè)方陣Ay61 124 5421設(shè)方陣Ay相似,2x2與4求x,班級姓名學(xué)號解方陣A與相似，則A與的特征多項式相同，即245 00y0A EE2x20421 004x4.y511.設(shè)A與B都是n階方陣且A0,證明AB與BA相似.證明：A0則A可逆A1(AB)A(A1A)(BA)BA則AB與BA相似.201 12.設(shè)矩陣A31x可相似對角化 求x.405解由2|AE|3401Ox( 1)2( 6) 5 1得A的特征值為16 2 31因為A可相似對角化所以對于2 31 齊次線性方程組(AE)x0有兩個線性無關(guān)的解 因此R(AE)1由62班級姓名學(xué)號1 101 10r(AE)30x?OOx3404 000知當x3知當x3時R(AE)即x3為所求13.設(shè)3階方陣A的特征值為的特征向量依次為1 2 2 pl2,p22,p3 1,求2 1 2 11,20,3 1;對應(yīng)A.解：因為P1AP22122212又P12P11221所以APAP

112211210201222009 2 1 2122122212又P12P11221所以APAP

112211210201222009 2 1 212214.已知12Tp(1,1,D是矩陣A5a3的一個特征 lb2向量，試求參數(shù)a,b向量，試求參數(shù)a,b及特征向量p所對應(yīng)的特征值.解:特征值則63設(shè)是特征向量p所對應(yīng)的班級姓名學(xué)號2 1lb21班級姓名學(xué)號2 1lb21(AE)p0即05a3解之得15.設(shè)3階實對稱陣A的特征值為6,3,3,與特征值6對應(yīng)的特征向量為pl1,1,1T,求A.xlx2x31 1①xlx2x31 1①xxx1 1 3561解：設(shè)Ax2x4x5xlx2x36x2x4x56x3x5x663是A的二重特征值,根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)定理知A3E的秩為1,故利用①可推5出x3111xl3x2xx3xxx3x245245秩為x5x6x5x63x5x633x324(1,1,1)a(x,x3,x)則存在實的a,b使得356(1,1,1)b(x,x,x3)成立.356由①②解得x2x31,xlx4x64,x51.64班級姓名學(xué)號411 141得A11416.試求一個正交的相似變換矩陣，將下列對稱陣化為對角陣:20212020解:20212(1)(4)( 2)1故得特征值為2,1,4.420xl022x232時，由x20.解得xl1征向量可取:P1x2323單位特120 xl021 x201時,由0.P2365xl量可?。?解得k2單位特征向班級姓名學(xué)號220024x2k32xl14時，由2解得x20.位特征向量可取:1221 (P,P,P)P21123 3200221 23PAP0102.P3004231解：22 2 54AE254 ( 1)2( 10),AE254 ( 1)2( 10),2451故得特征值為當1 21 21,22 xl0 13時，由.解得310244x20 244x0xl0xklkxl0此二個向量正交,單位化后,得兩個單位正交的特征向量21Pl1 5014 050 1P25 14 050 1P25 3 12當310時，由-單2,單位化得66班級姓名學(xué)號5822xl0xl1254x20.解得x2k3245x30x322513位化得P1 1 5153 2 .得正交陣(P1452312,P2,P3)15302

10P1AP0010.00117.設(shè)142A034求A100.0435)1解方程5)1解方程(AE)x01 2)T67043得A的特征值為11 25 3 5對于1得特征向量pl(1 0 0)T對于15解方程(A5E)x0 得特征向量p2(2班級姓名學(xué)號對于1 5解方程(A5E)x0 得特征向量PT3(1 2 1)令P(plp2p3)則P1APdiag(l55)APP1 A100P100P1因為TOC\o"1-5"\h\z100diagd5100 5100)121P1012021所以1A100121 012 15100 505 01021 5100 02105100105100000510018.用矩陣記號表示下列二次型：(Dfx24xy4y22xzz24yz;解：121z521 68班級姓名學(xué)號⑵fx解：21222x2x3x42x1x24x1x32x1x46x2x34x2x4.32x211Ilf(xl,x2,x3,x4) 23 1221xl32x20x301x419.求一個正交矩陣化下列二次型成標準形:222f2x13x23x34x2x3;TOC\o"1-5"\h\z200 032解：二次型的矩陣為A, 0232 00AE03 2(2 )(5 )(1 )023故A的特征值為當112,25,31.2時,解方程(A2E)x0,得基礎(chǔ)解系 1 10.0000 012012?001由A2E . 0210001 Pl0 0取當25時，解方程(A5E)x0,300 100 01由A5E022"011,得基礎(chǔ)解系2 . 022 0001取69班級姓名學(xué)號當由31時，解方程(AE)x0,TOC\o"1-5"\h\z100 100AE022"Oil022 000得基礎(chǔ)解系03 1. 1取0P32, 2于是正交變換為0ylxl10x022y22x 022y3 322.f2yl25y2y3.且有2222解：二次型矩陣為A0 1111001111 0 1110111 10AE1011故A的特征值為23,班級姓名學(xué)號2 1,當11 2 1,P3P21122xl11 x21x31x24y0 3y41( 1)( 3)( 1)2,011 13 41701時，可得單位特征向量Pl 1當23時，可得單位特征向量P21當3 41時、可得單位特征向量1 0 12 0,.410 1 2 0 222于是正交變換為211 22120120021yl 2y2且有f222.yl23y2y3y4T20.證明：二次型fx的最大特征值.Ax在x1時的最大值為方陣A71班級姓名學(xué)號證明A為實對稱矩陣，則有一正交矩陣T,使得TAT1B成立.n1其中，，，為A的特征值，不妨設(shè)最大，12nT為正交矩陣，則T1TT且1,故AT1BTTTBT則當22.其中fxTAxxTTTBTxyTBylyl22y2 nynyTxyxx1時，即22yl2y2yn1即22yl2y2yn12f最大(lyl2nyn)最大yl11故得證.21.用配方法化下列二次形成規(guī)范形 并寫出所用變換的矩陣：(1)f(x,x1222,x3)xl2x32x1x32x2x3；解f(xlx2x3)xl2x32x1x32x2x3(xlx3)x32x2x3(xlx3)x2(x2x3)22222272班級姓名學(xué)號ylxlxx令3y2x2E|J1yly2y3x2yy3x2x32x3y2y3二次型化為規(guī)范形fy2221y2y3111所用的變換矩陣為c010011(2)f(x,x,x)2x2221231x24x32x1x22x2x3.解f(x2222(x111x2x3)2x1x24x32x1x22x2x32(x112x2)2122x24x322x2x3 2(x112x2)212(x22x3)22x32yl(xl1x2)xlyl1y21y3令yl2(x22x3)即x2y22y3y3x13x3y3二次型化為規(guī)范形fy2y2y2所用的變換矩陣為1C1 11202200122.判別下列二次型的正定性：f2x22216x24x32x1x22xlx3;73班級姓名學(xué)號211 160解：A, 1046104故f為21121all20, 110160 380,16104負定.2222fxl3x29x319x42x1x