彈塑性本構(gòu)關(guān)系

第四章本本構(gòu)關(guān)系4.1概述本構(gòu)關(guān)系與本本構(gòu)方程——應(yīng)力張量與應(yīng)應(yīng)變張量之間間存在的對應(yīng)應(yīng)關(guān)系，稱為為本構(gòu)關(guān)系或或物理關(guān)系；；描述其本構(gòu)構(gòu)關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)方程稱為本本構(gòu)方程或物物理方程。在單向應(yīng)力狀狀態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(低碳鋼拉伸））如圖所示．．１）彈性階段段OB無論加載還是是卸載與間呈線性關(guān)系系圖４.12)當(dāng)應(yīng)力時，試件屈服服，進入塑性性階段加載，新的塑性變形形產(chǎn)生卸載從D點開始卸載，，應(yīng)力的改變變量（卸除的的應(yīng)力）與應(yīng)應(yīng)變的改變量（卸除除的應(yīng)變）服服從彈性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系當(dāng)荷載卸為0時，變形并不不為0。這部分變形形為塑性變形形（殘余變形）），用表示卸載過程中恢恢復(fù)的那部分分變形稱彈性性變形，用表示。則D點的應(yīng)變?yōu)槿魪腉點重新加載，，直到D點才再次屈服服。到達D點之前，服從彈性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系；D點的應(yīng)力稱為后繼屈服服應(yīng)力，用對于理想彈塑性材材料，強化材料，即后繼屈服應(yīng)應(yīng)力大于初始始屈服應(yīng)力，，這種現(xiàn)象稱為為強化現(xiàn)象本章討論的主主要內(nèi)容分為為以下四部分分1、屈服條件屈服條件是用用來判斷某點點是否從彈性性狀態(tài)進入塑塑性狀態(tài)的準準則。對于單向應(yīng)力力狀態(tài)，判斷斷它是否屈服服時，只需判判斷應(yīng)力是否達到屈服服應(yīng)力對于復(fù)雜應(yīng)力力狀態(tài)，相應(yīng)應(yīng)的應(yīng)力張量量是由6個應(yīng)力分量決決定的。必須依據(jù)一定定的準則判斷斷，這個準則則稱為屈服條條件（屈服準準則）。(無強化階段)2、加載條件加載條件是塑塑性狀態(tài)下判判斷某一點應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)的變化過程是是否加載過程程的準則．．由屈服準則判判斷出受力物物體中某點處處于塑性狀態(tài)態(tài)后，不能說明就一一定符合塑性性本構(gòu)關(guān)系．．還需要進進一步判斷在這一時間段段內(nèi)是加載過過程還是卸載載過程．對這兩個過程程，材料服從從不同的本構(gòu)構(gòu)關(guān)系。判斷斷時所依據(jù)準準則稱為加載載條件（加載載準則）．單單向應(yīng)力狀態(tài)態(tài)時，加載條條件可寫為3、強化條件強化條件是判判斷某點再次次進入屈服的的準則。由單單向應(yīng)力狀態(tài)態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變曲線可看看出，對于強強化材料，后后繼屈服應(yīng)力力應(yīng)大于初始始屈服應(yīng)力。。同樣在復(fù)雜雜應(yīng)力狀態(tài)下下，當(dāng)加載至至強化階段后后卸載，卸載載后再次加載載，此時用來來判斷是否再再次屈服的準準則應(yīng)不同于于初始屈服準準則，此準則則稱為強化條條件（強化準準則）。4、本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系分為為兩大類，即即彈性本構(gòu)關(guān)關(guān)系與塑性本本構(gòu)關(guān)系。材料在不同的的加載情況與與加載歷史下下服從不同的的本構(gòu)關(guān)系，，即在塑性的的加載過程中中服從塑性本本構(gòu)關(guān)系，在在其他情況下下服從彈性本本構(gòu)關(guān)系。彈性本構(gòu)關(guān)系系是虎克定律律的基礎(chǔ)上的的推廣，稱為為廣義虎克定定律。塑性本構(gòu)關(guān)系系目前有兩套套理論，即增增量理論與全全量理論。本章主要研究究復(fù)雜應(yīng)力狀狀態(tài)下的屈服條件，強強化條件及彈彈塑性本構(gòu)關(guān)系。4．2．1屈服條件當(dāng)作用在物體體上的荷載逐逐漸增加時，，物體內(nèi)某一一點的應(yīng)力狀態(tài)也也隨著改變，，由彈性狀態(tài)態(tài)過渡到塑性性狀態(tài)，用屈服條件判判斷某點是否否屈服．即即式中，f為屈服函數(shù)，，常數(shù)c為材料常數(shù)，，不同的材料料c取值不同。(4.1)因為某點的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)也可可以由此點的的三個主應(yīng)力力決定，因此，屈服條條件可寫成如果是各向同同性材料，在在各個方向材材料性質(zhì)相同同，上式應(yīng)該是三個主主應(yīng)力的對稱形式。。屈服函數(shù)還可可以寫成應(yīng)力力偏張量的三三個不變量的的形式，因為應(yīng)力偏張張量的第一個個不變量是零，相應(yīng)應(yīng)屈服條件表表示為(4.2)(4.3)4．2．2屈服曲面描述物體內(nèi)某某點的應(yīng)力狀狀態(tài)需要用6個應(yīng)力分量。。若以6個應(yīng)力分量為為坐標(biāo)軸建立立坐標(biāo)系，則則在此坐標(biāo)系系中屈服曲面代表表一個超曲面面。為坐標(biāo)軸建立立坐標(biāo)系。此此坐標(biāo)系描述述的空間稱為為主應(yīng)力空間間，簡稱為應(yīng)力空空間。應(yīng)力空空間中每一點點對應(yīng)一個應(yīng)應(yīng)力張量，也也代表一個應(yīng)力力狀態(tài)。方程程為了研究問題題的方便，一一般以三個主主應(yīng)力在應(yīng)力空間中中代表一曲面面，此曲面稱稱為屈服曲面。屈服曲面內(nèi)的的點滿足不等等式時，代表彈性狀態(tài)態(tài)。時，代表塑性狀態(tài)態(tài)。因此，屈服服曲面是彈、塑性狀態(tài)態(tài)的分界面。屈服曲面上及及屈服曲面外外的點滿足4．2．3等傾線與平面等傾線在應(yīng)力空間中中，過坐標(biāo)原原點與三個坐坐標(biāo)軸成相同同傾角的直線線叫等傾線。如圖所示OL線為等傾線。。OL線的方向余弦弦是等傾線的方程程為由上一章論述述的內(nèi)容可知知，OL線上的每一點點對應(yīng)的應(yīng)力力張量是應(yīng)力球張量量，代表均勻勻應(yīng)力狀態(tài)。。平面２圖４.2在平面上任取一一點，坐標(biāo)為為它代表一個應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)，對對應(yīng)的應(yīng)力張張量分量為相應(yīng)的平均應(yīng)應(yīng)力為易見有將應(yīng)力張量分分解為應(yīng)力球球張量和應(yīng)力力偏張量，即即上式表明，與與此應(yīng)力狀態(tài)態(tài)相應(yīng)的應(yīng)力力球張量為零零，應(yīng)力張量量平面上每一點點對應(yīng)的應(yīng)力力張量是應(yīng)力力偏張量。在應(yīng)力空間中中，過坐標(biāo)原原點并且以O(shè)L線平面，其方程程是為法線的平面面是等于應(yīng)力偏張張量。如圖所示，在在應(yīng)力空間中中，P點代表一個應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)。從從P點向等傾線作垂線，，與OL線相交于Q點，再從P點向平平面作垂垂線，與平面相交與R點。若P點坐標(biāo)為，，可計算出出Q點的坐標(biāo)是，，R點的坐標(biāo)是。。即Q點代表應(yīng)力球球張量，R點代表應(yīng)力偏張張量。圖４.2PR線上每一點都都代表一個應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)。PR線上的點有相相同的應(yīng)力偏張量和不同的應(yīng)力球張量。因為應(yīng)力球張張量不影響屈屈服，所以如如果P點在屈服曲面面上，那么PR線上所有點都都應(yīng)該在屈服服面上。因此此屈服曲面實實際上是一個柱面，，并且柱面的的母線平行于于等傾線OLP4．2．4屈服軌跡屈服曲面與屈服軌跡具有有以下重要性性質(zhì):平面的的交線線定義為屈服軌跡對稱性對于各向同性性材料，屈服服函數(shù)關(guān)于三三個主應(yīng)力是對稱的即若某點在屈服曲面上上，則點也也在屈服曲曲面上。所以，屈服曲曲面存在一個個對稱面，該該對稱面含軸并平分軸、軸所形成的坐坐標(biāo)面的1、3象限同理可知，屈屈服曲面還存存在另外兩個個對稱面，分別是含軸并平分由軸，軸所形成的坐坐標(biāo)的對稱面面的1，3象限和含軸并平分由軸，軸所形成的坐坐標(biāo)面的1，3象限的對稱面面。因為大多數(shù)韌韌性金屬材料料具有拉壓對對稱的性質(zhì)，，所以如果某某點則點也是在屈服服曲面上觀察B點與C點可知，平分分由軸、軸所形成的坐坐標(biāo)面的2、4象限的線是屈屈服曲面的一一個對稱軸將應(yīng)力空間中中的三個坐標(biāo)標(biāo)軸投影到平面上，分別別為軸、軸、軸，如圖所示示。平面投影分別別是軸、軸、軸和軸正向與軸反向的分角角線、軸正向與軸反向的分角角線及軸正向與所以屈服軌跡跡共有6個對稱軸，并并將屈服軌跡跡分成12等份。只要知道了屈屈服軌跡的十十二分之一，，就可得到整整個曲線。應(yīng)力空間中的的三個對稱面面與三個對稱稱軸在軸反向的分角角線。Ｓ１Ｓ２Ｓ３o2、外凸性屈服曲面一定定是外凸的，，這是由Drucker公設(shè)得出的。。Drucker公設(shè)為：在加加載和卸載的的整個循環(huán)過過程中，附加應(yīng)力作功功非負。圖４.3屈服曲線在等等傾面上的投投影Drucker公設(shè)適用于穩(wěn)穩(wěn)定材料。所所謂穩(wěn)定材料料（或強化材材料）和不穩(wěn)定材料料（或軟化材材料）定義為為：如果某一一種材料，當(dāng)當(dāng)應(yīng)力的單調(diào)變變化會引起應(yīng)應(yīng)變同號的單單調(diào)變化，或或者當(dāng)應(yīng)變的的單調(diào)變化會引引起應(yīng)力同號號的單調(diào)變化化，就稱這種種材料為穩(wěn)定定材料或強化材材料；否則稱稱為不穩(wěn)定材材料或軟化材材料。下圖顯示材料料在簡單拉伸伸下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的幾幾種可能形式式(圖４.4)Drucker公設(shè)從右邊的單向拉拉伸應(yīng)力應(yīng)變變曲線看,對于穩(wěn)定材料料,如果從開開始加載到再再到,然后卸載,此時彈性應(yīng)變變可以恢復(fù),相應(yīng)的彈性應(yīng)應(yīng)變能完成釋釋放,但塑性變形不不能恢復(fù)被保保留下來,消耗的塑性應(yīng)應(yīng)變能是圖上上的紅框包圍圍的兩塊面積積A,B被保留下來.它們是恒大于于零的:第二式中的等等號適用于理理想塑性材料料.Drucker把它引伸到復(fù)復(fù)雜應(yīng)力情況況,這就是Drucker公設(shè).Drucker公設(shè)在塑性力力學(xué)中有重要要意義.屈服面的外凸凸性和塑性應(yīng)應(yīng)變增量的法法向性我們?nèi)鐚⑺苄孕詰?yīng)變空間與與應(yīng)力空間重重合起來,由Drucker公設(shè)的第一式式,把它看成是兩兩個矢量的點點積.圖示即為這兩個矢量的的夾角,必定為銳角.在這種情況下下,一定在屈服面面點點的外外法線方向上上,因為點點在屈服面面內(nèi),的活動范圍是是點點的切線線方向到反切切線方向(),要與它夾角是是銳角就一定定在法線方向向上,并且屈服面一一定是外凸的的.如果屈服面不不是外凸的,如左圖所示,夾角有可能是是鈍角,Drucker公設(shè)不成立.上面提到是是在屈服面的的點點的外法線線方向上.這稱為塑性應(yīng)應(yīng)變增量的法法向性.我們知道如果果屈服函數(shù)為為勢函數(shù),屈服面即為等等勢面,它的外法線方方向和它的梯梯度方向一致致,則和和梯度矢量量的分量成正正比,即其中為為一個個大于零的比比例系數(shù).稱為與屈服條條件相關(guān)聯(lián)的的塑性流動法法則.也稱為塑性應(yīng)應(yīng)變增量的正正交流動法則則對研究塑性力力學(xué)的本構(gòu)關(guān)關(guān)系有重要意意義.Drucker公設(shè)的第二式式是加載準則則.它的幾何意義義是當(dāng)不不為零時,的方向必須指指向加載面外外法線一側(cè),即因為,所以這就是加載準準則.Drucker公式得出的推推論屈服曲面一定定是凸的２、塑性應(yīng)變增量量的方向一定指指向屈服曲面面的外法向４.2.5常用的屈服條條件（屈服準準則）Tresca屈服條件Tresca屈服條件又稱稱最大剪應(yīng)力力屈服條件，，是Tresca在1864年根據(jù)試驗總總結(jié)出來的。。Tresca認為當(dāng)物體內(nèi)內(nèi)某點的最大剪應(yīng)力達達到某一數(shù)值值時，此點屈屈服。即式中，C是材料常數(shù)，，與材料性質(zhì)質(zhì)有關(guān)而與應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)關(guān)(4.4)在前面曾證明明某點的最大大剪應(yīng)力與三個主應(yīng)力力之間的關(guān)系系是因此，屈服條條件的另外一一種形式是在單向拉伸應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)下，，屈服時的三三個主應(yīng)力分分別為故(4.5)當(dāng)主應(yīng)力大小小順序為時，Tresca屈服條件為當(dāng)主應(yīng)力的順順序未知時，，Tresca屈服條件為即因為上式形式式復(fù)雜，應(yīng)用用起來非常不不方便，所以Tresca屈服條件常用用在主應(yīng)力大大小順序已知知的問題上。。(4.6)在應(yīng)力空間中中，Tresca屈服條件對應(yīng)應(yīng)的曲面是一一個正六角柱柱面，稱為Tresca正六角柱面。。屈服面內(nèi)的的點代表彈性性狀態(tài)，屈服服面上及屈服面外外的點代表塑塑性狀態(tài)。它它的屈服軌跡跡是正六邊形形ABCDEF,如圖所示式(4.6)中每一個方程程對應(yīng)正六邊邊形的一邊，，正六邊形的的邊長是圖４.5在平面應(yīng)力狀狀態(tài)下，三個個主應(yīng)力中有有一個為零。。令將式(4.7)代入式（4.6），得此時的的Tresca屈服條件為(4.7)(4.8)如圖所示，以以為坐標(biāo)軸建立立一直角坐標(biāo)標(biāo)系在此坐標(biāo)系中中Tresca屈服條件對應(yīng)應(yīng)于斜六邊形形ABCDEF。式(4.8)中的每一個方方程分別對應(yīng)應(yīng)斜六邊形的的一個邊．．在應(yīng)力空間中中，此斜六邊邊形位于的坐標(biāo)面上，，是這一平面與Tresca正六角柱面的的交線。Tresca屈服條件經(jīng)過過了實驗的驗驗證，它的優(yōu)優(yōu)點是當(dāng)主應(yīng)應(yīng)力大小順序已知時，，表達式簡單單。它的缺點點是：①當(dāng)主應(yīng)力大大小順序未知知時，表達式式過于復(fù)雜；；②只考慮了最最大的和最小小的主應(yīng)力，，而沒有考慮慮中間大小的的主應(yīng)力對屈服的的影響；③Tresca正六角柱面具具有六個棱邊邊，在棱邊處處柱面的切平平面不唯一，屈服函函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不不連續(xù)，這給給以后的塑性性理論的研究究帶來困難。圖４.62．Mises屈服條件到了1913年，Mises提出一個屈服服條件，彌補補了Tresca屈服條件的不足。。此屈服條件件稱為Mises屈服條件Mises屈服條件是：：當(dāng)物體內(nèi)一一點的應(yīng)力張張量偏量的第第二不變量達到某一一數(shù)值時，此此點開始屈服服，即式中，K為材料常數(shù)。。Mises屈服條件還可可以寫成三個個主應(yīng)力的形形式，即對于單向應(yīng)力力狀態(tài)，材料料開始屈服時時的應(yīng)力狀態(tài)態(tài)是(4.9)(4.10)(4.11)將(4.11)代入(4.10),得(4.12)將式(4.12)代入式（4.9），得Mises屈服條件為(4.13)式（4.13）是應(yīng)力偏量量張量的第二二不變量表示的Mises屈服條件換成為應(yīng)力強強度屈服條件為(4.14)將式(4.12)代入式(4.10)，得到用三個個主應(yīng)力表示示的屈服條件為(4.15)在應(yīng)力空間里里，Mises屈服條件對應(yīng)應(yīng)的屈服曲面面是一圓柱面面，稱為Mises圓柱面，是Tresca正六角柱面的的外接圓柱面面。屈服軌跡是一個圓圓，是正六邊邊形ABCDEF的外接圓，如如圖4.5所示。在平面應(yīng)力狀狀態(tài)下此時，式（4.15）變?yōu)椋ǎ?１6）式（４.１6）是以軸、軸為坐標(biāo)軸組組成的平面坐坐標(biāo)系里代表一個斜斜橢圓。它外接于斜六六邊形ABCDEF。在應(yīng)力空間里里，它是軸、軸組成的坐標(biāo)標(biāo)面與Mises圓柱面的交線線。Mises圓柱面與Tresca正六角柱面都都過A、B、C、D、E、F六個頂點，表示它它們在單向應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)下是是一致的。在在純剪切應(yīng)力力狀態(tài)下它們的差異異最大。在純剪切應(yīng)力力狀態(tài)下，設(shè)設(shè)剪切屈服應(yīng)應(yīng)力為，屈服時的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)相應(yīng)應(yīng)的三個主應(yīng)應(yīng)力為將主應(yīng)力代入入Tresca屈服條件，得得到上式說明，按按照Tresca屈服條件，純純剪切時的屈屈服應(yīng)力是單向拉伸時時屈服應(yīng)力的的一半。再將此應(yīng)力狀狀態(tài)代入Mises屈服條件，得得（４.17)(4.18)(4.19)Mises屈服條件克服服了Tresca屈服條件的缺缺點，具體表表現(xiàn)在以下的三個方方面：①不論主應(yīng)力大大小順序是否否已知，Mises屈服條件的表表達式都比較簡單單；②Mises屈服條件考慮慮了三個主應(yīng)應(yīng)力對屈服的的影響；③Mises圓柱面是光滑滑曲面。3.Tresca屈服條件及Mises屈服條件的實實驗驗證為了驗證這兩兩個屈服條件件，可采用軟軟鋼、鋁及鋁鋁合金等薄壁圓筒試件，，進行軸向拉拉伸、內(nèi)壓及及扭轉(zhuǎn)的不同同組合。對于每種荷載組組合，試件內(nèi)內(nèi)各點處于二二向應(yīng)力狀態(tài)態(tài)。從實驗結(jié)果看，這兩兩種屈服條件件基本符合實實驗結(jié)果，并并且Mises屈服條件比Tresca屈服條件更接接近實驗結(jié)果果。4．2．6其他屈服條件件除了上述兩個個屈服條件外外，其他幾個個屈服條件應(yīng)應(yīng)用也比較廣廣泛。最大應(yīng)力偏量量屈服條件最大應(yīng)力偏量量屈服條件是是：當(dāng)某點的的主應(yīng)力偏量量絕對值的最最大值達到某數(shù)數(shù)值時，此點點開始屈服。。設(shè)三個主應(yīng)力力偏量分別為為，則式中，為平均應(yīng)力，，即整理上兩式，，得(4.20)最大應(yīng)力偏量量屈服條件是是將式（4.20）代入式（4.21），得在單向拉伸應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)下，，屈服時的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)是將式（4.23）代入式（4.22）,得(4.21)(4.22)(4.23)(4.24)將式(4.24)代入(4.22),整理得(4.25)上式即為最大大應(yīng)力偏量屈屈服條件。在在應(yīng)力空間中中，它對應(yīng)的的曲面也是正六六角柱面。此此柱面外切于于Mises圓柱面。屈服服軌跡是正六邊形，，外切于Mises圓，如圖4.5所示。在二維平面應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)下，，式（4.25）變?yōu)?4.26)在的平面里，式式（4.26）對應(yīng)一斜六六邊形。此六六邊形外切于Mises斜橢圓，如圖圖(4.6)所示最大應(yīng)力偏量量屈服條件是是繼Tresca屈服條件及Mises屈服條件之后的又一個個比較重要的的屈服條件，，它有著重要要的理論意義義和實用價值。它的理論意義義在于：平面上，Tresca屈服條件和最最大應(yīng)力偏量量屈服條件相應(yīng)應(yīng)的屈服軌跡分別是Mises圓的內(nèi)切正六六邊形與外切正六邊邊形，A、B、C、D、E、F六點分別代表表單向拉伸與單向壓縮應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)。因因此，所有的屈服服曲面都必須須過次六點，，并且屈服曲面面一定是外凸凸的。可以證明，這這兩個正六邊邊形分別是所所有屈服軌跡跡的內(nèi)界和外外界。從薄壁圓筒的的實驗結(jié)果可可看出，一些些實驗結(jié)果接接近于最大應(yīng)應(yīng)力偏量屈服條件件。所以最大大應(yīng)力偏量屈屈服條件是有有實用價值的的。2．巖石、土和和混凝土常用用的屈服條件件Tresca屈服條件與Mises屈服條件主要要是對金屬材材料成立的屈服條件，它它們已經(jīng)被金金屬材料的實實驗結(jié)果所證證實，但是這兩個屈服條條件如果簡單單地應(yīng)用于巖巖石、土和混混凝土等一類材料，會引引起不可忽視視的偏差。因因為實驗結(jié)果果表明，這一類材料的塑塑性性質(zhì)與金金屬材料的塑塑性性質(zhì)有明明顯的不同，，主要反映在以以下兩個方面面:一般認為，金金屬材料的體體積變化是彈彈性的，無塑塑性體積變形形。這對大多數(shù)金金屬材料在壓壓力不太大的的情況下是大大致成立的。。對巖石、土和和混凝土一類類材料，實驗驗表明這類材材料往往有塑塑性體積變形。2.金屬材料的屈屈服與靜水壓壓力無關(guān)，而而這一類材料料的屈服則受到靜水壓壓力的很大影影響。考慮靜水壓力力對屈服的影影響，則屈服服函數(shù)不僅與與應(yīng)力偏量有有關(guān)，而且還與應(yīng)力力球張量有關(guān)關(guān)。所以，對對巖石、土、、混凝土一類類材料，屈服條件件一般寫成如如下的形式式中，就是反映靜水水應(yīng)力的影響響。巖石、土、混混凝土一類材材料常用的兩兩個屈服條件件。Mohr-Coulomb屈服條件1900年，Mohr提出這樣一個個假設(shè)：當(dāng)材材料某個平面面上的剪應(yīng)力力達到某一極限限值時，材料料發(fā)生屈服。。這也是一種剪剪應(yīng)力屈服條條件，但是與Tresca屈服條件不同同，Mohr假設(shè)的這個極極限值不是一一個常數(shù)，是與該平面上上的正應(yīng)力有關(guān)，它可以以表示為(4.27)(4.28)式(4.28)中，C是材料的黏聚聚強度；函數(shù)關(guān)系可以以通過實驗確確定。是內(nèi)摩擦角。。一般情況下，，材料的內(nèi)摩摩擦角而逐漸減小，，隨靜水應(yīng)力的的增加因而假設(shè)函數(shù)數(shù)對應(yīng)的曲線線在-平面上呈雙曲曲線、拋物線線或擺線[如圖]但在靜水應(yīng)力力不太大的情情況下，屈服服曲線常用等于常數(shù)的直線來代替替，它可以表表示為式(4.29)就稱為Mohr-Coulomb屈服條件。設(shè)主應(yīng)力的大大小次序，(4.29)寫成用主應(yīng)力力的形式(4.29)(4.30)如果不考慮材材料內(nèi)摩擦角角的影響，即即令則式(4.30)化為這就是Tresca屈服條件。由由此可見，Mohr-Coulomb屈服條件是Tresca屈服條件的推推廣形式。在簡單拉伸下下材料屈服時時，由于由Mohr-Coulomb屈服條件得在單向壓縮材材料屈服時，，由于則由Mohr-Coulomb屈服條件得(4.31)(4.32)在式（4.31）和式（4.32）中，表示由Mohr-Coulomb屈服條件確定定的拉伸屈服服應(yīng)力和屈服應(yīng)力.可以看出，壓壓縮屈服應(yīng)力力遠大大于于拉拉伸伸屈屈服服應(yīng)應(yīng)力力.壓縮縮這一一點點恰恰好好與與巖巖石石、、土土和和混混凝凝土土這這類類材材料料的的力力學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)相相符符。。Mohr-Coulomb屈服服條條件件在在主主應(yīng)應(yīng)力力空空間間中中的的幾幾何何圖圖形形在平面面上上的的投投影影是是一一個個封封閉閉的的不不等等邊邊六六邊邊形形兩種種屈屈服服條條件件的的比比較較圖4.7補充充:(補充充)彈塑塑性性力力學(xué)學(xué)中中的的幾幾個個常常用用模模型型1、理理想想彈彈塑塑性性力力學(xué)學(xué)模模型型當(dāng)材材料料進進入入塑塑性性狀狀態(tài)態(tài)后后，，具具有有明明顯顯的的屈屈服服流流動動階階段段，，而而強強化化程程度度小小，，因因此此不不考考慮慮材材料料的的強強化化。。這時時的的在在單單向向拉拉伸伸情情況況的的應(yīng)應(yīng)力力-應(yīng)變變曲曲線線如如下下圖圖所所示示當(dāng)材材料料有有顯顯著著強強化化率率，，而而流流動動屈屈服服不不明明顯顯時時，，可可不不考考慮慮材材料料的的塑塑性性流流動動。。這這時時的的單單向向應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)下下的的應(yīng)應(yīng)力力-應(yīng)變變關(guān)關(guān)系系曲曲線線如如下下圖圖。。方方程程表表示示為為4．3加載載準準則則由圖圖4.9中線線性性強強化化材材料料的的單單向向拉拉伸伸應(yīng)應(yīng)力力、、應(yīng)應(yīng)變變曲曲線線可可以以看看出出，，當(dāng)拉拉應(yīng)應(yīng)力力達到到屈屈服服應(yīng)應(yīng)力力時，，材材料料開開始始屈屈服服。。至D點后后，，繼續(xù)續(xù)加加載載若從從D點繼繼續(xù)續(xù)加加載載，，應(yīng)力力與應(yīng)應(yīng)變變塑性性本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系。。間應(yīng)應(yīng)服服從從加載載時時的的路路徑徑若從從D點開開始始卸卸載載，，卸卸載載的的路路徑徑應(yīng)應(yīng)平平行行于于彈彈性性，即即平行行于于OA，的改改變變量量之之間間應(yīng)應(yīng)服服從從由D點至至C點應(yīng)應(yīng)力力的的改改變變量量與與應(yīng)變變彈性性本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系，，即即塑性性狀狀態(tài)態(tài)后后，，并并不不一一定定服服從從由以以上上討討論論看看見見，，當(dāng)當(dāng)材材料料進進入入塑性性本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系。。圖4.9是線線性性關(guān)關(guān)系系。。當(dāng)材材料料處處于于塑塑性性的的加加載載過過程程時時，，才才服服從從塑塑性性的的本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系；處于于卸卸載載過過程程時時，，應(yīng)應(yīng)力力改改變變量量與與應(yīng)應(yīng)變變改改變變量量間間服服從從彈彈性性的本本構(gòu)構(gòu)關(guān)關(guān)系系，，即即在卸卸載載過過程程中中恢恢復(fù)復(fù)應(yīng)應(yīng)力力與與恢恢復(fù)復(fù)應(yīng)應(yīng)變變之之間間在單單向向拉拉伸伸應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)下下，，根根據(jù)據(jù)拉拉應(yīng)應(yīng)力力判斷斷出出是是加加載載過過程程還還是是卸卸載載過過程程。。的變變化化就就可可在塑塑性性狀狀態(tài)態(tài)下下，，值增增加加,即反過過來來是是卸卸載載過過程程。。準則則來來判判斷斷該該點點的的應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)的的改改變變?yōu)榕信袛鄶辔镂矬w體內(nèi)內(nèi)某某點點是是加加載載還還是是卸卸載載，，復(fù)雜雜應(yīng)應(yīng)力力狀狀態(tài)態(tài)需要要建建立立一一個個是加加載載過過程程，，是否否加加載載判斷斷物物體體內(nèi)內(nèi)某某點點是是否否屈屈服服時時要要依依據(jù)據(jù)以以下下屈屈服服準準則則：：表示示以Mises屈服條件為例，相應(yīng)的屈服曲面是圓柱面，用表示，如圖4.10所示。

對于強化材料，滿足的點落在內(nèi)，表示處于彈性應(yīng)力狀態(tài)；滿足的點落在屈服曲面外，處于塑性狀態(tài)。而滿足點落在屈服面上，屈服面是彈性區(qū)與塑性區(qū)的分界面。設(shè)A點在在屈屈服服曲曲面面上上，，由由A點向向屈屈服服曲曲面面外外的的點移移動動，，屈服服函函數(shù)數(shù)值值增增加加，，代表表加加載載過過程程；；當(dāng)A點向向屈屈服服曲曲面面內(nèi)內(nèi)的的點移移動動時時，，屈屈服服函函數(shù)數(shù)值值減減小小，，代表表卸卸載載過過程程；；當(dāng)A點在在屈屈服服曲曲面面上上移移動動時時，，如A點移移動動到到B點，，屈屈服服函函數(shù)數(shù)值值不不變變，，代表表中中性性變變載載。。出現(xiàn)現(xiàn)屈屈服服函函數(shù)數(shù)值值增增加加的的現(xiàn)現(xiàn)象象。。對于于理理想想彈彈塑塑性性材材料料，，因因為為不存存在在屈屈服服曲曲面面外外的的點點，，所所以以不不會會當(dāng)從從A點向向屈屈服服曲曲面面內(nèi)內(nèi)的的點移移動動時時，，屈服服函函數(shù)數(shù)值值減減小小，，，表表示示卸載載過過程程；當(dāng)A點在在屈屈服服曲曲面面上上移移動動時時，，屈屈服服函函數(shù)數(shù)值值不不變變，，表示示加加載載過過程程。。對于于Mises屈服服條條件件，，表表達達式式見見(4.13)和(4.14)。相應(yīng)應(yīng)的的屈屈服服函函數(shù)數(shù)f為應(yīng)應(yīng)力力偏偏張張量量不不變變量量過程程的的準準則則———加載載準準則則，，可可用用下下表表來來表表示示4.1表示示或應(yīng)應(yīng)力力強強度度。此時時，，可根據(jù)據(jù)或的增加加或減減小判判斷是是加載載過程程還是是卸載載過程程。判斷物物體內(nèi)內(nèi)某點點在塑塑性狀狀態(tài)下下處于于加載載過程程還是是卸載載表4.1當(dāng)屈服服條件件采用用Mises屈服條條件時時，加加載準準則如如表4.2所示表4.2使用加加載準準則時時，需需要計計算某某一時時刻到下一一時刻刻時間段段內(nèi)屈屈服函函數(shù)值值的變變化然后根根據(jù)的變化化判斷斷是加加載過過程還還是卸卸載過過程。。塑性本本構(gòu)關(guān)關(guān)系；；用加載載準則則判斷斷出物物體內(nèi)內(nèi)某一一點在在這一一時間間段內(nèi)內(nèi)是處處于塑塑性狀態(tài)且且是處處于塑塑性狀狀態(tài)下下的加加載過過程，，那么么這一一過程程應(yīng)該該服從從的改變變量間間應(yīng)該該服從從彈性性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系系。如果判判斷出出是卸卸載過過程，，則應(yīng)應(yīng)力的的改變變量與與應(yīng)變變4.4廣義虎虎克定定律（（彈性性本構(gòu)構(gòu)方程程）單向應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下線彈彈性材材料的的應(yīng)力力-應(yīng)變關(guān)關(guān)系即即為虎虎克定定律，，即所謂本本構(gòu)方方程是是指材材料的的應(yīng)力力與應(yīng)應(yīng)變間間的關(guān)關(guān)系，，又稱稱物理理方程程式中，，E為彈性性模量量（楊楊氏模模量））。各個分分量與與應(yīng)變變的各各個分分量之之間存存在線線性關(guān)關(guān)系，，在復(fù)雜雜應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)下，，描述述物體體內(nèi)一一點的的應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)需要要6個獨立立的應(yīng)力分分量，，而相相應(yīng)的的應(yīng)變變分量量也有有6個。在在彈性性狀態(tài)態(tài)下，，應(yīng)力力的式中為彈性性常數(shù)數(shù)，共共有36個。(4.33)對于各各向同同性材材料，，獨立的的只有有2個。本本構(gòu)關(guān)關(guān)系變變?yōu)樯鲜郊醇礊椴牟牧狭αW(xué)中中廣義義虎克克定律律的矩矩陣表表示形形式。。式中，，為泊松松比。。G為剪切切彈性性模量量，它它不是是一個個獨立的的材料料常數(shù)數(shù)，與與其它它兩個個材料料常數(shù)數(shù)之間間有如如下關(guān)關(guān)系(4.34)用下標(biāo)標(biāo)記法法可將將廣義義虎克克定律律表示示為由上式式可驗驗證令則K稱為體體積彈彈性模模量，，簡稱稱體積積模量量。(4.35)(4.36)(4.37)(4.38)將式（（4.38）及式式（4.36）代入入（4.37）得到到(4.39)表明體體積應(yīng)應(yīng)變是由均均勻應(yīng)應(yīng)力（球應(yīng)應(yīng)力））引起起的。。所以式式（4.39）在彈彈性及及塑性性狀態(tài)態(tài)下均均成立立。均勻應(yīng)應(yīng)力只只會使使體積積改變變，而而且體體積改改變是是完全全彈性性的，應(yīng)變偏偏張量量之間間的關(guān)關(guān)系如如下：：由式（（4.35）及及式（（4.37）得到到應(yīng)力力偏張張量與與整理以以上六六個式式子，，得因為,所以以以上六六個式式子中中獨立立變量量只有有5個(4.40)式（4.40）與(4.39)共同構(gòu)構(gòu)成了了偏張量量形式式的廣廣義虎虎克定定律，即(4.41)與應(yīng)變變偏張張量表表示的的。式(4.41)是廣義義虎克克定律律的又又一種種形式式，是是用應(yīng)應(yīng)力偏偏張量量上統(tǒng)一一起來來，利利用等等效應(yīng)應(yīng)變和和等效效應(yīng)力力的定定義：：為了將將彈性性本構(gòu)構(gòu)方程程與全全量形形式的的塑性性本構(gòu)構(gòu)方程程在形形式及式（（4.40）（兩兩邊自自乘））得于是虎克定定律式式（4.41）的等等價形形式為為(4.42)(4.43)4.5塑性本本構(gòu)關(guān)關(guān)系即流動動理論論（增增量理理論））和變變形理理論（（全量量理論論）。。在載荷荷作用用下，，當(dāng)物物體內(nèi)內(nèi)某點點處于于塑性性狀態(tài)態(tài)的加加載過過程時時，應(yīng)采采用塑塑性本本構(gòu)關(guān)關(guān)系。。塑性性本構(gòu)構(gòu)關(guān)系系理論論分為為兩大大類，，4.5.1依留申申理論論（全全量理理論））在小變變形條條件下下塑性性變形形規(guī)律律的假假設(shè)。。依留申申在實實驗研研究的的基礎(chǔ)礎(chǔ)上通通過與與彈性性本構(gòu)構(gòu)方程程的類類比，，將彈性性變形形的結(jié)結(jié)論進進行推推廣，，提出出了下下列各各向同同性材材料成正比比，從從而有有1.體積變變化是是彈性性的，，即應(yīng)應(yīng)變球球張量量和應(yīng)應(yīng)力球球張量量(4.44)或?qū)懗沙?4.45)2.應(yīng)變偏偏量和和應(yīng)力力偏量量成正正比，，即(4.46)形式上上與式（4.46）表示示了應(yīng)應(yīng)變和和應(yīng)力力之間間的定定性關(guān)關(guān)系，，它在在和應(yīng)力力主軸軸重合合），，而是應(yīng)變變廣義虎虎克定定律（（4.43）極為為相似似，即方向向關(guān)系系偏量主主軸與與應(yīng)力力偏量量主軸軸重合合（亦即應(yīng)應(yīng)變主主軸與應(yīng)力力偏張張量的的分量量成比比例。分配關(guān)關(guān)系是是應(yīng)變變偏張張量的的分量量之處在在于，，這里里的比比例系系數(shù)它與廣廣義虎虎克定定律的不同同不是一一個常常數(shù)，，質(zhì)點的的位置置以及及荷載載水平平有關(guān)關(guān)，而是與與以及不不同的的荷載載水平平，即固體體內(nèi)不不同的的點值將不不相同同.但對于于同一一點和和同一一荷載載水平平，是常數(shù)數(shù)所以式式（4.46）實際際上是是一個個非線線性的的本構(gòu)構(gòu)關(guān)系系。把式（（4.46）兩邊邊自乘乘并求求和，，得(4.47)利用應(yīng)應(yīng)變強強度（（或等等效應(yīng)應(yīng)變））的定定義和應(yīng)力力強度度的定定義可得(4.48)這樣，，式（（4.46）可以以改寫寫為(4.49)應(yīng)力強強度是應(yīng)變變強度度的確定定函數(shù)數(shù)，即即(4.50)驗（如如簡單單拉伸伸實驗驗）來來確定定。并且認認為該該函數(shù)數(shù)的形形式與與應(yīng)力力狀態(tài)態(tài)無關(guān)關(guān)，而而只與與材料料特性有有關(guān)，，所以以，它它可以以由單單向應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)下下的材材料實實就是拉拉伸應(yīng)應(yīng)力,在簡單單拉伸伸狀態(tài)態(tài)下，，而就是拉拉伸正正應(yīng)變變曲線假假定。所以，，式（（4.50）代表表的曲曲線就就是與與材料的的簡單單拉伸伸應(yīng)力力-應(yīng)變曲曲線一一致的的，這這就是是所謂謂的單一綜上所所述，，依留留申提提出的的全量量型本本構(gòu)方方程可可以表表示為為(4.51a)這就是是強化化材料料滿足足的全全量本本構(gòu)方方程，，其分分量表表達式式為(4.51b)曲線假假定,它與彈彈性狀狀態(tài)下下的本本構(gòu)方方程形形式上上是相相同的的，本構(gòu)方方程（（4.51）成立立隱含含了式式（4.50）所要要求的的單一一只是和是非線線性關(guān)關(guān)系，，從而而導(dǎo)致致應(yīng)力力偏量量與應(yīng)變變偏量量的關(guān)系系也是是非線線性的的。-應(yīng)變關(guān)關(guān)系是是單值值對應(yīng)應(yīng)的。。此外，，不難難看出出，由由式（（4.51）所描描述的的全量量應(yīng)力力4.5.2．全量量理論論的適適用范范圍簡簡單單加載載定理理理論在在小變變形與與簡單加加載的的條件件下與實驗驗結(jié)果果是接接近的的。前面已已經(jīng)討討論了了全量量理論論的塑塑性本本構(gòu)關(guān)關(guān)系，，可以以證明明該簡單加加載是指在在加載載過程程中，，材料料內(nèi)任任意一一點的的應(yīng)力力狀態(tài)的各分分量都都按同同一比比例增增加，，即(式中，，t為單調(diào)調(diào)增大大的正正參數(shù)數(shù)。)是一條條通過過原點點的直直線。。由上式式可以以推出出在簡簡單加加載的的情況況下，，各主主應(yīng)力力分量量之間按按同一一比例例增加加，且且應(yīng)力力的主主方向向和應(yīng)應(yīng)變的的主方方向始終保保持不不變。。簡單加加載條條件下下的加加載路路徑在在應(yīng)力力空間間四個條條件：：現(xiàn)在問問題是是：在在什么么條件件下，，材料料才能能保證證其內(nèi)內(nèi)任一點始始終處處于簡簡單加加載狀狀態(tài)？？對此此，依依留申申提出出了以以下變形是是微小小的；；2.材料是是不可可壓縮縮的，，即是零位位移邊邊界條條件；；3.外載荷荷按比比例單單調(diào)增增長，，如有有位移移邊界界條件件，只只能4.材料的的曲線具具有的冪函函數(shù)形形式處于簡簡單加加載狀狀態(tài)，，此即即簡單單加載載定理理。滿足了了這四四個條條件，，即認認為材材料內(nèi)內(nèi)每一一個單單元體體都小變形形和載載荷按按比例例單調(diào)調(diào)增長長是必必要條條件，，進一步步的分分析表表明，，在簡簡單加加載定定理的的四個個條件件中，，而和是充分分但不不一定定是必必要條條件。。不滿足足簡單單加載載條件件時，，全量量理論論一般般是不不能采采用的的．但但全量量理論論求解解與非非線性性彈性性力學(xué)學(xué)相似似，計計算方方便，，因此此有時時在非非簡單單加載載條件件下也也使用用該理理論．．對于于偏離離簡單單加載載條件件不太太遠的的情況況，使使用全全量理理論計計算所所獲得得的結(jié)結(jié)果和和試驗驗結(jié)果果也比比較接接近．．所以以全量量理論論的適適用范范圍，，實際際上比比簡單單加載載條件件要求求寬一一些．．到目目前為為止，，已有有許多多學(xué)者者研究究了在在偏離離簡單單加載載情況況下該該理論論的使使用問問題．．4.5.3．卸載載定理理在前面面曾經(jīng)經(jīng)指出出，當(dāng)當(dāng)材料料承受受拉伸伸載荷荷而進進入塑塑性階階段后后如果載載荷減減小，，則卸卸載過過程中中應(yīng)力力和應(yīng)應(yīng)變符符合彈彈性規(guī)規(guī)律,即(4.52a)或：(4.52b)和應(yīng)變變同樣樣按彈彈性規(guī)規(guī)律變變化,對于復(fù)復(fù)雜應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)，，實驗驗證明明，如如果簡簡單卸卸載，，則應(yīng)應(yīng)力即：的改變變量可見，，在簡簡單卸卸載的的情況況下，，可先先根據(jù)據(jù)卸載載過程程中載載荷改變量量按彈性性力學(xué)學(xué)公式式算出出應(yīng)力力和應(yīng)應(yīng)變的的然后，，再從從卸載載開始始時的的應(yīng)力力和應(yīng)變變減去相相應(yīng)的的改變變量，，即可可得到到卸載載后的的應(yīng)力力(4.53)(4.54)不難看看出，，如果果將載載荷全全部卸卸去，，即因此卸卸載后后的應(yīng)應(yīng)力為為這時，，物體體內(nèi)不不僅留留有殘殘余變變形，，而且且還有有殘余余應(yīng)力力，其中，，是根據(jù)據(jù)按彈-塑性應(yīng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)關(guān)系計計算的的，而是根據(jù)據(jù)按彈性性規(guī)律律計算算的。。新的屈屈服。。同時還還要注注意，，上述述計算算方法法只適適用于于卸載載過程程中不不發(fā)生生第二次次塑性性變形形的情情形，，即卸卸載不不應(yīng)引引起改改變符符號而而達到到(4.55)(4.56)4.5.4．全量量理論論的基基本方方程及及邊值值問題題的提提法平衡方方程幾何方方程本構(gòu)方方程(4.57)(4.58)(4.59)應(yīng)力邊邊界條條件位移邊邊界條條件解答。。往往往采用用逐次次逼近近或數(shù)數(shù)值積積分法法等近近似方方法進進行計計算。。從獨立立方程程及未未知量量的數(shù)數(shù)目看看，15個基本本方程程求解解15個未知量量，問問題是是可解解的。。與彈彈性力力學(xué)相相似，，可以以采用用兩種基基本解解法，，即按按位移移求解解和按按應(yīng)力力求解解。由由于基基本方程中中本構(gòu)構(gòu)方程程是非非線性性的，，因此此一般般情況況下問問題的的求解解要比彈彈性力力學(xué)問問題困困難得得多，，只有有某些些簡單單問題題能夠夠得到到求解，，且在在彈、、塑性性區(qū)交交界面面上還還應(yīng)滿滿足適適當(dāng)?shù)牡倪B續(xù)續(xù)條件件。上述是是針對對塑性性區(qū)而而言的的，對對彈性性區(qū)和和卸載載區(qū)應(yīng)應(yīng)按彈彈性力力學(xué)(4.60)(4.61)4.5.5增量理理論的根本本不同同。材料在在進入入塑性性狀態(tài)態(tài)后，，應(yīng)力力-應(yīng)變關(guān)關(guān)系的的重要要特點點是非線性性和不不唯一一性，，所謂謂非線線性是是指應(yīng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)關(guān)系不不是線性關(guān)關(guān)系；；所謂謂不唯唯一性性是指指應(yīng)變變不能能由應(yīng)應(yīng)力唯唯一確確定，應(yīng)力力也不不能由由應(yīng)變變唯一一確定定。塑塑性應(yīng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)關(guān)系的的不唯一一性實實質(zhì)上上是由由塑性性變形形的不不可逆逆性引引起的的，它它使材料在在塑性性狀態(tài)態(tài)下加加載和和卸載載服從從不同同的規(guī)規(guī)律。。因此此，如果不不指明明加載載歷史史或變變形歷歷史是是無法法由應(yīng)應(yīng)力確確定應(yīng)應(yīng)變或由應(yīng)應(yīng)變確確定應(yīng)應(yīng)力的的。也也就是是說，，固體體塑性區(qū)區(qū)內(nèi)一一點的的應(yīng)變狀態(tài)不不僅與其最最終的應(yīng)力力狀態(tài)有關(guān)關(guān)而且還依依賴于加載歷史。這實際上上就是塑性性本構(gòu)關(guān)系系和彈性本本構(gòu)關(guān)系由于在塑性性變形階段段，塑性應(yīng)應(yīng)變與加載載路徑有關(guān)關(guān)，因此，，一般情況下下，必須考考慮應(yīng)力發(fā)發(fā)生無窮小小變化時相相應(yīng)的應(yīng)變變變化特征，，然后再用用積分或求求和的辦法法求整個加加載歷史的的總應(yīng)變。從從這個角度度來看，塑塑性本構(gòu)關(guān)關(guān)系本質(zhì)上上只能采用增量形式。。目前常用用的增量理理論有兩個個：萊維-米澤斯（Levy-Mises）理論普朗特-路埃斯（Prandtl-Reuss）理論Levy-Mises理論量分量成比比例，用數(shù)學(xué)形形式可表示示為對塑性變形形規(guī)律首次次進行探討討是從1870年SaintVenant對平面應(yīng)變的的處理開始始的。他基基于對物理理現(xiàn)象的深深刻理解，，提出了應(yīng)變增量主主軸與應(yīng)力力增量主軸軸重合的假設(shè)。Levy在1871年引用了SaintVenant的這個假設(shè)設(shè)，并進一一步提出了了分配關(guān)系，，即假設(shè)應(yīng)變張量增增量各分量量與相應(yīng)的的應(yīng)力偏張張(4.62)式中的比例例系數(shù)取決于質(zhì)點點的位置和和荷載水平平。Levy-Mises流動法則。。這一假設(shè)在在塑性力學(xué)學(xué)的發(fā)展過過程中是具具有重要意意義的，但當(dāng)時并沒沒有引起人人們的重視視，他們的的這一成果果在本國以外很少被被人們所知知。直到40多年以后，，VonMises在1913年又獨立地地提出了相相同的關(guān)系系式后，它它才廣泛地地作為塑性力力學(xué)的基本本關(guān)系式，，這個關(guān)系系式因而被被稱為，固現(xiàn)在認認為這個關(guān)系式是適適用于理想想剛塑性體體的。后來的實驗驗表明，這這個關(guān)系式式并不包括括彈性變形形部分對理想剛塑塑性材料，按Levy-Mises流動法則，，有由于理想剛剛塑性材料料的加載面面和屈服面面重合，比比例常數(shù)可以根據(jù)屈屈服條件確確定。如采采用Mises屈服準則，，有(4.63)(4.64)將式（4.63）代人（4.64）可得(4.65)引進應(yīng)變增增量強度的的定義，并并記為它可表示為為于是有(4.66)(4.67)因此，理想剛塑性性材料的張張量形式增增量型本構(gòu)構(gòu)方程可寫寫成(4.68)由（4.68）可見：對對于特定的的材料（則可求得應(yīng)應(yīng)力偏量；；已知），若若已知應(yīng)變增量不能確定應(yīng)應(yīng)力球張量量。但由于體積積的不可壓壓縮性，另一方面，，若已知應(yīng)應(yīng)力分量，，能求得應(yīng)應(yīng)力偏量，，只能求得應(yīng)應(yīng)變增量各各分量的比比值而不能能求得應(yīng)變變增量的數(shù)數(shù)值。由式（4.68）才能確定應(yīng)應(yīng)變增量的的值。原因是對于于理想塑性性材料，應(yīng)應(yīng)變增量與與應(yīng)力之間間無單值對對應(yīng)關(guān)系，只有有當(dāng)變形受受到適當(dāng)?shù)牡南拗茣r，，利用變形形連續(xù)條件件2.普朗特-路埃斯（Prandtl-Reuss）理論即總應(yīng)變增增量偏量由由彈性和塑塑性兩部分分組成：普朗特-路埃斯（Prandtl-Reuss）理論是在在萊維—米澤斯理論基礎(chǔ)上上發(fā)展起來來的，該理理論考慮了了彈性變形形部分，(4.69)塑性應(yīng)變部部分為：(4.70)彈性部分為為：(4.71)于是，得到到