第5課時(shí) 總體百分位數(shù)的估計(jì)

第5課時(shí)總體百分位數(shù)的估計(jì)知識(shí)技能1．結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．2．了解幾個(gè)特殊的百分位數(shù)．思想方法學(xué)會(huì)計(jì)算樣本的百分位數(shù)能用百分位數(shù)合理估計(jì)個(gè)體在總體中的水平理解百分位數(shù)這一統(tǒng)計(jì)量的思想內(nèi)涵和本質(zhì)，體會(huì)程序化解題的思想方法．核心素養(yǎng)在學(xué)習(xí)和運(yùn)用百分位數(shù)的過程中把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和計(jì)算，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．重點(diǎn)：計(jì)算樣本的百分位數(shù)．難點(diǎn)：用百分位數(shù)估計(jì)個(gè)體在總體中的水平．問題導(dǎo)引預(yù)習(xí)教材P201203，思考下面的問題：1．某高三年級的學(xué)生人數(shù)為，該班班主任說：“90%的同學(xué)能夠考取本科院校．”這里的“90%是百分位數(shù)嗎？提示

不是“90%是指能夠考取本科院校的學(xué)生人數(shù)占學(xué)生總數(shù)的百分比．2“這次數(shù)學(xué)測試成績的第百分位數(shù)是105分”這句話是什么意思？提示

至少有的學(xué)生數(shù)學(xué)測試成績小于或等于分，且至少有30%的學(xué)生數(shù)學(xué)測試成績大于或等于105分．即時(shí)體驗(yàn)1．判斷：(1)若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其第百分位數(shù)大于第25百分位數(shù)．(√)(2)若一組樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是23這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.(×提示

(2)若一組樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是23這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于23.

2．已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是9.3，下列說法中正確的是C)A．這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3B．把這100個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)C．把這個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列后，是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)D．把這個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列后，是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)提示

因?yàn)?00×75%＝75整數(shù)所以第75百分位數(shù)為第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．給出下列一組數(shù)據(jù)：2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6.這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是(C)A．2.5C.3.2提示

B.3.0D.4.4將所有數(shù)據(jù)按從小到大排序：2．1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6.10×25%＝，而這組數(shù)據(jù)中第3項(xiàng)數(shù)為3.2，即第25百分位數(shù)是3.2.[1]百分位數(shù)的計(jì)算．一、數(shù)學(xué)運(yùn)用從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽12顆珍珠它們的質(zhì)量(單位：g)如：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,50,95百分位數(shù)；(2)請你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量；(3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級的劃分標(biāo)準(zhǔn)．(學(xué)生用書課堂本P103)[理建議]

按照計(jì)算第p百分位數(shù)的步驟進(jìn)行計(jì)算．

[范板書]

解

(1)將所有數(shù)據(jù)按從到大排序：7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9.12×25%＝而這組數(shù)據(jù)中第3和4項(xiàng)數(shù)分別為8.08.3所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為

8.0＋8.32

＝8.15.12×50%＝，而這組數(shù)據(jù)中第6和7項(xiàng)數(shù)分別為，所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為

8.5＋8.52

＝8.5.12×95%＝，而這組數(shù)據(jù)中第12項(xiàng)數(shù)為9.9，即第95百分位數(shù)為(2)12×15%＝，而這組數(shù)據(jù)中第項(xiàng)數(shù)為7.9，即第百分位數(shù)為7.9，故產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個(gè)，它們的質(zhì)量分別為7.8,7.9.(3)由可知樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為8.15第百分位數(shù)為第95百分位數(shù)為9.9所以質(zhì)量小于或等于8.15g的珍珠為次品質(zhì)量大于8.15g小于或等于8.5g的珍珠為合格品質(zhì)量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品．[后反思]

計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟：(1)排序：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)．(2)算i：計(jì)算in×p%.(3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，而大于的比鄰整數(shù)為則第p百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第項(xiàng)與第i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．某中學(xué)高(2)班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來，每次數(shù)學(xué)考試成績情況如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.計(jì)算出學(xué)生甲、乙的第50百分位數(shù)．[范板書]

解

把甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績按從小到大排序：甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.由13×25%＝13×50%＝6.5，得數(shù)據(jù)的第25,50百分位數(shù)分別為第4,7項(xiàng)數(shù)據(jù)．

所以學(xué)生甲的第50百分位數(shù)分別為76,88；學(xué)生乙的第25,50百分位數(shù)分別為86,98.某市為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔電量不超過200kW·h部分按0.5元/kW·h收費(fèi)，超過200kW·h但不超過的部分按0.8元/kW·h收費(fèi)，超過400kW·h的部分按1.0元/kW·h收費(fèi)．(1)求某戶居民用電費(fèi)用y單位：元關(guān)于月用電量x(單位：kW·h)的函數(shù)解析式．(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖若這100戶居民中今年1月份用電費(fèi)用低于260元的占80%，求a,b的值．(3)根據(jù)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的第百分位數(shù)．[2]例2)見學(xué)生用書課堂本[2]百分位數(shù)的綜合應(yīng)用，頻率分布直方圖中百分位數(shù)的計(jì)算[理建議將百分位數(shù)問題轉(zhuǎn)化為頻率分布直方圖中頻率的問題頻率分布直方圖中用各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．[范板書]

解

(1)當(dāng)0≤x≤時(shí)，y＝0.5x；當(dāng)200<≤400時(shí)，y＝×200＋0.8×(x－200)0.8x－；當(dāng)x＞時(shí)，＝0.5×＋0.8×200＋1.0×(x－＝x－綜上，y與之間的函數(shù)解析式為0.5x，≤≤200，y＝60，200<x400，x－140，x＞400.(2)由可知當(dāng)＝260時(shí)＝400即用電量低于的占80%，結(jié)

合頻率分布直方圖可知×100＋2×100b＋0.0030×100＝，＋0.0005×＝0.2，解得a＝0.0015,b＝0.0020.(3)設(shè)第75百分位數(shù)為m.因?yàn)橛秒娏康陀?00kW·h的所占比例＋0.0020＋×＝60%用電量低于400kW·h的占80%，所以第75百位數(shù)m在[300,400)．而0.6＋m－300)×＝，得m＝375，即用電量的第百分位數(shù)為375kW·h.也可由300＋100×

0.75－0.600.80－0.60

＝375求得)[題后反]

在頻率分布直方圖中，小矩形的面積就是數(shù)據(jù)落在該組的頻率．求百分位數(shù)時(shí)，一般采用方程的思想，設(shè)出第百分位數(shù)，根據(jù)其意義列出方程并求解即可．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競賽，滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高)從參賽者中抽x人齡分5組，[35,40)[40,45]其頻率分布直方圖如圖所示．變式1)已知[20,25)有人．(1)求x(2)求抽取的x人的年齡的第50百分位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))．(3)參賽的10人的成績?nèi)缦拢?0,96,97,95,92,92,98,88,96,99.求這10人成績的第百分位數(shù)和平均數(shù)以這兩個(gè)數(shù)據(jù)為依據(jù)評價(jià)參賽

人員對“一帶一路”的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢耄甗范板書]

解

5(1)[20,25)中的頻率為0.01×＝0.05，所以x＝＝100.0.05(2)由圖可知年齡低于30歲的所占比例為(0.01＋×5＝40%，年齡低于35歲的所占比例為(0.01＋0.07＋0.06)×＝70%，所以抽取的x的年齡的第50百分位數(shù)在[30,35)．32.

0.50－0.4095而30＋5×＝≈32，所以抽取的人的年齡的第50分位數(shù)為0.70－0.403(3)將參賽的10人的成績按從小到大排序：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99.10×20%＝，而這組數(shù)據(jù)中第2和第3項(xiàng)數(shù)分別為90,92，所以這人成績的第20百分位數(shù)為

90＋922

＝91.1這10人成績的平均數(shù)為×(88＋＋＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)10＝94.3.感想：從第20百分位數(shù)和平均數(shù)來看，參賽人員的認(rèn)知程度很高．某校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試成績的頻率分布直方圖如圖所示則60分成績的百分位數(shù)是30.[規(guī)范板]

解析

因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)位，[40,60)的頻率之和(0.005＋0.010)×＝0.3，所以分成績的百分位數(shù)是30.變式2)二、課堂練習(xí)1．下列關(guān)于一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)的說法中正確的是(A)A．第50百分位數(shù)就是中位數(shù)B．總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于它的可能性一定是50%C．它一定是這組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)據(jù)

.第50百分.第50百分位數(shù)為m，則0.40＋＝0.50，解得m＝D．它適用于總體是離散型的數(shù)據(jù)提示

例2及其變式是在頻率分布直方圖中求百分位數(shù)的相應(yīng)問題頻率分布直方圖描述的是連續(xù)型數(shù)據(jù)．2．?dāng)?shù)據(jù)7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位數(shù)是8.4.提示

8×30%＝2.4這組數(shù)據(jù)中第3項(xiàng)數(shù)為8.4第30百分位數(shù)是8.4.3．已知一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的50100百分位數(shù)是.9提示

(第3題)樣本數(shù)據(jù)低于10的比例為(0.02＋0.08)×＝0.40，樣本數(shù)據(jù)低于的比例為＋0.09×4＝0.76，所以此樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)在10,14)，估據(jù)的50百位數(shù)10＋

0.50－0.76－

×4＝100100994．已知一組數(shù)據(jù)如下：13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.求這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)．解

將數(shù)據(jù)按從小到大排序：12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31.12×25%＝，而這組數(shù)據(jù)中