人教版八年級數(shù)學(xué)上冊軸對稱解答題單元檢測(提高,Word版含解析)

探究線段CE?探究線段CE?GH的數(shù)量關(guān)系并用等式表示，并說明理由.AGHC人教版八年級數(shù)學(xué)上冊軸對稱解答題單元檢測(提高，Word版含解析)一、八年級數(shù)學(xué)軸對稱解答題壓軸題(難)如圖，在M8C中，AB=AC.8D平分NA8C交《于點(diǎn)D,點(diǎn)E是8C延長線上的一點(diǎn)，旦8D=D￡.點(diǎn)G是線段8C的中點(diǎn)，連結(jié)AG,交8。于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作DH丄BC,垂足為H.求證：△DCE求證：△DCE為等腰三角形:若ZCDE=22.5°.DC=,求GH的長：(3)【答案】⑴證明見解析；⑵字⑶CE=2GH.理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得ZCBD=-ZABC=-ZACB,,由BD=DE,可得ZDBC=ZE=2 2-ZACB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可n^CDE=-ZACB=ZE^可證ZiDCE為等腰三角2 2形：2)根據(jù)題意可得CH=DH=1.AABC是等腰宜角三角形.由等腰三角形的性質(zhì)叫得BG=GC.BH=HE=J}+1,即可求GH的值；(3)CE=2GH,根據(jù)等腰三角形的性可得BG=GC?BH=HE,可得GH=GC?HC=GC-(HE-CE)=-BC--BE^CE=-CE.即CE=2GH2 2 2【詳解】證明：（1）?.”8=AC,?.?ZABC=ZACB,平分/ABC.1 1?'.ZCBD=一ZABC=一Z/4CB,2 2BD=DE,/DBC=ZE=-ZACB.2ZACB=ZE^ZCDE.

1「?ZCDE=一ZACB=ZE.2:?CD=CE,.?.△DCE是等腰三佑形(2)VZCDE=22.5\CD=CE=72?AZDCH=45%VZCDE=22.5\CD=CE=72?AZDCH=45%且DH丄8G???ZHDC=ZDCH=4S°:,DH=CH,\9DH2^CH2=DC2=29,'?DH=CH=LNA8C=/DCH=45°.?.△A8C是等腰直角三用形,又'.,點(diǎn)G是8C中點(diǎn):.AG1BC.AG=GC=BG.VBD=D￡,DH丄8C?；BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH=^2+1理由如下：9理由如下：9：AB=CA.點(diǎn)G是8C的中點(diǎn),:.BG=GC.VBD=D￡.DH丄8C,111(HE-CE)=一BC■—BE+CE=一CE2 2 2:.CE=2GH【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題.本題是三角形綜合題.定理、綜合運(yùn)用知識是解題的關(guān)鍵.已知：在平而直角坐標(biāo)系中，A為X軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，8為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn).⑴如圖1，以人點(diǎn)為頂點(diǎn)、為腰在第三象限作等腰R/AABC.若。4=2,08=4,試求C點(diǎn)的坐標(biāo)：⑵如圖2,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2J8.O),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,-時，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為〃，以8為頂點(diǎn),為腰作等腰Rl^ABD.試問：當(dāng)“點(diǎn)沿軸負(fù)半軸向下運(yùn)動且其他條件都不變時，整式2〃』+2〃-5必的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化.請求出其值：若發(fā)生變化?請說明理由：如圖3,E為］軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，旦OB=OE，OF丄EB于點(diǎn)F,以08為邊作等邊的BM，連接W交。尸于點(diǎn)N,試探索：在線段EF、ENQMN中,哪條線段等于EM與QN的差的一半？請你寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.【答案】⑴CG6.?2);(2)不發(fā)生變化,值為-JL(3)EN=：(EM.ON),證明見詳解.【解析】【分析】作CQ1OA于點(diǎn)Q可以證明^AQC^BOA.由QC=AD.AQ=BO,再由條件就可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)：作DP1OB于點(diǎn)P,可以證明厶AOB=^BPD,則有BP=0B?P0=m?(?n)=m+n為定值.從而可以求出結(jié)論2m+2〃一5JJ的值不變?yōu)轫?xiàng).作BH1EB于點(diǎn)B,由條件可以得出Z：l=300lz2=z3=zEMO=150,zEOF=zBMG=450,EO=BM,nJ以證明△ENg《BGM.則GM=ON.就有EM.ON=EM.GM=EG最后由平行線分線段成比例定理就可得出EN=-(EM-2ON).【詳解】(1)如圖(1)作CQ1OA于Q.(1).?.￡AQC二90°,???△ABC為等腰宜角三角形,???AC=AB,z_CAB=90。，.?.ZQAC+ZOAB=90°,.?匕QAC+ZACQ=9O°,.-.ZACQ=ZBAO,又?.AC=AB.3QC=ZA0B,"AQCdBQA(AAS),???CQ=AO,AQ=BO,vOA=2,OB=4,???CQ=2,AQ=4,.-.OQ=6,???C(-6,.2).⑵如圖(2)作DP1OB于點(diǎn)P,.以BPD=90。,???△ABD是等腰宜角三角形，.?.AB=BD.zABD=zABO+zOBD=90°,vzOBD+zBDP=90°,???ZABO=Z_BDP,又.?.AB=BD,ZAOB=￡BPD=90°,.^A0B=^BPD???A0二BP,,?BP=0B-P0=m-(-n)=m+n,?.?A（-2b，0）,.?.0A=2VJ,???m+n=2???當(dāng)點(diǎn)B沿y軸負(fù)半軸向卜運(yùn)動時，A0=BP=m+n=2jJ,???整式2m+2〃一5的f/i不変為一?（3）EN=；（EM-ON）證明：如圖（3）所示，在ME上取一點(diǎn)G使得MG=ON.連接BG井延長，交x軸于H.為等邊三角形，.?.BO=BM=MO,zOBM=zOMB=zBOM=60°z.?.EO=MO?匕EBM=105°,z1=30°,?.OE=OB,???OE=OM=BM,/.Z3=ZEMO=15°,.?.匕BEM=30。，匕BME=45。，?.OF丄EB,/.ZEOF=ZBME,???aENOEGM,.?.BG=EN,?.?ON=MG,.-.Z2=Z3,.?-Z2=15°,..匕EBG=90°,1???EN=-EG,2?.?EG=EM-GM,???EN=丄(EM.GM),2/.EN=-(EM-ON).

【點(diǎn)睛】本題考査了等腰直們?nèi)切蔚男再|(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外::角與內(nèi)角的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理的運(yùn)用.::3.如圖，在等腰直角△A8C中，AB=AC.ABAC=90°.點(diǎn)。是ZVlBC內(nèi)一點(diǎn),連接AD.AE丄AZ）且AE=AD.連接8D、CE交于點(diǎn)、F.（1）如圖1，求ZBFC的度數(shù);（2）如圖2,連接成交BC于點(diǎn)G,連接AG.若AG平分匕HAD,求證:ZEAC=2ZEDF；（3）如圖3,在（2）的條件下，BF交AG.AC分別于點(diǎn)A/、N、DH，連【答案】(1)ZBfC=90°：（2）見解析;接HN,若里￡W的面積與△QHN的而積差為6.DF=6,【答案】(1)ZBfC=90°：（2）見解析;（3）S四邊版m=20?【解析】【分析】根據(jù)SASilE明左ABD^^ACE>所以ZABD=ZACF.所以ABFC=ABAC=90°.（2）根據(jù)題意先求出ZABG+ZADG=180°.在ABh截取AK=AD.連接KG，由△AKGdADG,ZBKG+ZAA：G=l80o,可證得ABKG=ZKBG?GB=GK=DG,所以ZDBG=3DG=AEDF=a,因?yàn)镹G4E=4AD=2a,所以ZCAE=2ZEDF.（3）根據(jù)題意和（2）中結(jié)論先證明AD=AN=AE,過A作BF、CE垂線,垂足分別為R、T,連接AF.iiE明八ANRdAET,所以AR=AT.然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出DM=FN,過點(diǎn)H作時丄FM.垂足為P,所以HP=PM=DP,設(shè)DP=x，DR=y,所以Smn-Sa*=\?DN.AR一=DN?HP=y(x+y)=6,DF=2x+2y=6,求出x,y.不難得到=Sw=Spm=4?然后口『得‘四邊形叔壓=20.【詳解】（1）因?yàn)椤鰽BC是等腰宜角三角形，所以AB=AC.&AC=9（）o=ZDAE,所以ABAD=ZC4E.因?yàn)锳D=AE，所以mBDdACE,所以ZABD=ZACF^所以ZBFC=ZBAC=90°.因?yàn)锳D=AE.Z￡X4E=90°.所以ZA￡D=45°=ZACG,所以ZC4￡=ZCGE，由(1)知：ABAD=ZCAE.所以/BAD=/CGD,設(shè)ABAD=2q=ZCGD,所以ZBGD=l80°-2a.所以ZBAO+ZBG。=180。,所以ZABG^ZADG=mQ.因?yàn)槿薌平分匕所以^BAG=ZDAG=a.itAB上截取AK=AD^連接KG,因?yàn)锳G=4G,所以△AKG^ADG.所以ZAKG=ZADG.DG=KG,因?yàn)樨?KG+/AKG=180。，所以ABKG=CKBG，所以GB=GK=DG,所以ZDBG=ZBDG=ZEDF=a,因?yàn)閆CAE=ABAD=2a.所以ZCAE=2ZEDF.（3）由（2〉知：ABAG=ADBG=a,因?yàn)镈4C=90。，ZABC=45%所以匕心V=45。一。，因?yàn)閆BAD=2a.所以ZADN=45。+°,因?yàn)閆￡)?W=90°-2a.所以ZAND=45o+a=ZADN，所以AD=AN,因?yàn)锳D=AE^所以AE=AN,過A作BF、CE垂線，垂足分別為R、T，連接AF^因?yàn)閆ACE=Z4BD=45°-tf.^CAE=2a.所以ZAET=45。+a=ZANR,因?yàn)锳E=AN,所以△AN/gAET,所以AR=AT^所以E4平分匕BA7，所以ZAFN=ZAFE=45°.因?yàn)閆AMN=45。,所以ZAFM=ZAMF,所以AF=AM.所以FR=MR，因?yàn)镈R=RN，所以DM=FN，過點(diǎn)H作HF丄FM，垂足為P,因?yàn)閆AMN=45°,ZDHM=%。,所以ZMHP=ADHP=AHDP=45。,所以HP=PM=DP、設(shè)DP=x.所以DM=FN=2x、設(shè)DR=y,所以DN=2y,所以翊=2x+y,因?yàn)閆AW?=45°.

所以人/?=你=2x+v,所以S乂域一S少灑=\?DN?AR-'dN?HP2 2=y(x+y)=6,因?yàn)椤?gt;F=2x+2y=6,所以x+y=3,所以y=2,a=1?因?yàn)锳F=AF.ZANF=ZAEF,所以△AEFdANF、所以FN=EF,因?yàn)锳R=AT^聽以S?U￡A=S?nf~^1ADM?因?yàn)閊X\DM=日,DM?AR=4,所以土邊形as=Smdm【點(diǎn)睛】=20.所以土邊形as=Smdm【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考査了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的雄點(diǎn)在于學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形全等解決問題，屬于中考壓軸題.1.在等邊/XABC中，點(diǎn)。在8C邊上，點(diǎn)E在AC的延長線上，DE2A（如陶1）.（1）求證：』BAD=ZEDC；/I⑵若點(diǎn)E關(guān)于直線8C的對稱點(diǎn)為M（如圖2）,連接DM,AM.求證：DA=AM./I【答案】（1）見解析：（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出匕8AC=/ACB=60。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可.（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì),可得DM=DA?然后結(jié)合（1）可得/MDCNBAD,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出ZADM=60°即可.

【詳解】解：（1）如圖1,.??△A8C是等邊三角形，AZfiAC=Z-4Cfi=60\:,ZflAD=60°-ZDAE.ZfDC=60°-ZS又a：DE=DAt???ZE=ZDAE,:.ZBAD=ZEDC.（2）由軸對稱可得，DM=DE,ZEDC=ZMDC.DE二DA....DM^DA,由⑴可得，ZBAD=ZEDCt:.ZMDC^ZBAD,?「△A8D中，匕8厶。+匕囚。8=180°-Z8=120%/.ZMDC+ZADB=120\/.ZADM=6Q\「?△ADM是等邊三角形，:.AD=AM.【點(diǎn)睛】本題主要考察了軸對稱和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì).已知△ABC.（1） 在圖①中用直尺和圓規(guī)作出/8的平分線和BC邊的垂直平分線交于點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫作法）?（2） 在（1）的條件卜，若點(diǎn)。、E分別是邊8C和A8上的點(diǎn)，且CD=BE，連接OD>QE求證：OD=OE:（3） 如圖②，在（1）的條件下，點(diǎn)E、F分別是AB.BC邊上的點(diǎn)，且△既尸的周長等于BC邊的長，試探究ZABC與/EOF的數(shù)量關(guān)系.并說明理由.（3） ￡48C與NEOF的數(shù)量關(guān)系是ZABC4-2ZEOF=180,理由見解析?【解析】【分析】（1） 利用基本作圖作匕ABC的平分線：利用基本作圖作BC的垂直平分線，即可完成:（2） 如圖，設(shè)BC的垂直平分線交BC于G,作OHXAB于H.用角平分線的性質(zhì)證明OH=OG,BH=BG,繼而證明EH=DG,然后可證明△OEH=\ODG,于是可得到OE=OD：作OH丄AB于H,OG丄CB于G,在CB上取CD=BE,利用(2)得到CD=BE,\OEH=AODG,OE=OD./= 匕48C+N/7OG=180,町證明Z￡OD=^OG故有匕ABC+匕EQD=180,由厶HE尸的周長二BC町得到DF=EF,于是町證明8EF=△OGF,所以有ZEOF=匕加幾然后可得到匕ABC與ZEOF的數(shù)量關(guān)系.【詳解】解：＜1)如圖，就是所要求作的圖形:.'.OH=OG,CG=BG,VOB=OBZ.?.△OBHdOBG,.\BH=BG.?「BE=CD,?,?EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG,\OEH和AODG中，OH=OG?ZOHE=zLOGD=90,EH=DG:.AOEH=SODGtAOE=OD.(3>ZABCZEOF的數(shù)量關(guān)系是匕ABC+2匕EOF=180，理由如R

如圖②，作OH±AB于H,OG±CB于G,在CB上取CD=BE,由⑵口J知，因?yàn)镃D=BE,所以M)EH=AODG且OE=OD,???AEOH=ZDOGfZABC+ZHOG=180,...4OD=4OG+/DOG=ZEOG+ZEOH=ZHOGf?.?ZABCZEOD= ,△班‘尸的周長=BE+BF4-EF=CD+BF+EF=BCADF=ER在qOEFfriAOGF中,OE=ODEF=FDtOF=OF.???NOEF=SOGF,???ZEOF=ZDOF,；?ZEOD=2匕EOF,ZABC+2ZEOF=I80.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂宜平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，還考查了基本作圖.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)作出輔助線是解題關(guān)鍵，屆綜合性較強(qiáng)的題目，有一定的雄度，需要有較強(qiáng)的解題能力.知識背景：我們在第I?一章《三角形》中學(xué)習(xí)了三角形的邊與們的性質(zhì)，在第I?二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在第十三章《軸對稱》中學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)和判定.在一三角形的性質(zhì)和判定.在一些探充中經(jīng)常用以上知以轉(zhuǎn)化用和邊，進(jìn)而解決問題.問題：如圖1,△ABC是等腰三角形，ZfiAC=90°,。是的中點(diǎn)，以A￡＞為腰作等腰坦，且滿足ZDAE=90P.連接CE并延長交84的延長線于點(diǎn)F,試探究BC與CF之間的數(shù)量關(guān)系.發(fā)現(xiàn)：（1）BC^CF之間的數(shù)量關(guān)系為 探究：（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是線段BC上任意一點(diǎn)（除3、C外）時，JU也條件不變,試猜想BC與CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖2拓展：（3）當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長線上時，在備用圖中補(bǔ)全聞形?并直接寫出△8CF的形狀.備用圖【答案】（1）BC=CF：（2）BC=CF,證明見解析：（3）畫圖見解析，等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得BC=CF；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)叮得（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)叮得D^aACE(SAS),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等角對等邊即可證明:（3）作岀圖形?根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易證:^ABD^ACE（SAS）9進(jìn)而根據(jù)角度的代換，得出結(jié)論.【詳解】解：(1)BC=CF.??.△ABC是等腰三角形.且ZBAC=90°.:.AB=AC,ZB=ZACB=45°.?.?ZDAE=90°>?.?ADAE_ADAC=ZBAC-ADAC.:.MAD=ZCAE.\^ADE是以AD為腰的等腰三用形，:.AD=AE-在△ABD與△ACE中，AB=AC.ZBAD=^CAE9AD=AE.:^ABD^ACE(SAS)t??.￡4CE=NB=45°.?.?ZACg=45。，...&CF=ZAC8+ZACE=90°?

+ZF=90。，?.?ZF=45°,?Zfi=ZF，...BC=CF.(2)BC=CF.證明:VaABC證明:VaABC是等腰三角形,且ZBAC=90°,..AB=AC,ZB=ZACB=45°.?.?ADAE=90°，.\ADAE=Z^BAC.,ADAE-ADAC=ABAC-ADAC:.ZBAD=ZCAE..^ADE是以..AB=AC,ZB=ZACB=45°.?.?ADAE=90°，.\ADAE=Z^BAC.,ADAE-ADAC=ABAC-ADAC:.ZBAD=ZCAE..^ADE是以AD為腰的等腰三角形，:.AD=AE?在AABD與△ACE中，AB=AC.ZBAD=ZCAE.AD=AE^^ABD^ACE(SAS),ZACE=ZB=45°.ZACg=45°.ZBCF=ZACB^ZACE=90°.ZB+ZF=90。，ZF=45%..BC=CF.（3） 是等腰直角三角形.提示：如圖,?.?△A8C是等腰三角形，ZBAC=90°,:.AB=AC9/8=￡4CB=45。.?.?ZDA￡=90。，:.ADAE=ABACf???zmE+Ztt4C=ZBAC+Za4C,?../BAD=ZCAE.\^ADE是以AD為腰的等腰三角形，:.AD=AE-在AABZT與△ACE中，AB=AC.ABAD=ZLCAE?AD^AE.△ABD#』ACE(SAS),ZACE=ZB=45°.ZACB=45°?ABCF=ZAC8+ZACE=90°,ZB+ZBFC=90°.ZBFC=45%ZB=ZBFC?qBCF是等腰三們形，ZBCF=90%qBCF是等腰直角三角形.【點(diǎn)睛】本題號查等腰三角形及全等三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用佑度等蛍代換及等腰三佑形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.⑴如圖1,ZDCE與NAOB的兩邊分別相交于點(diǎn)。、E.ZAO8=ZDCE=90°，試判斷線段C￡>與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：CD=CE.理由如卜：如圖1.過點(diǎn)C作CF丄OC,交。8于點(diǎn)F.則ZOCF=90°.請根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分.你有與小宇不同的思考方法嗎？請有岀你的證明過程.若￡408=120°,Z￡>CE=60o.①如圖3,ZDCE與匕4Q8的兩邊分別相交于點(diǎn)。、E時，⑴中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由.②如圖4,ZDCE的一邊與A。的延長線相交時，請回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段?！?、OE.OC有什么數(shù)量關(guān)系：如圖5,ADCE的一邊與80的延長線相交時.請回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請直接寫出線段OD、0E、OC有什么數(shù)量關(guān)系.

D圖3BToD圖3BTo【答案】⑴見解析：⑵證明見解析：（3）①成立，理由見解析：②在圖4中，⑴中的結(jié)論成立，OE-OD=OC,在圖5中，（1）中的結(jié)論成立，OD-OE=OC【解析】【分析】（1）通過ASA證明&7應(yīng)性△CEF即可得到CD=CE:（2）過點(diǎn)C作CM丄必.CNLOB,垂足分別為M,N,通過AAS證明同樣町得到CD二CE；（3）①方法一：過點(diǎn)C作CM丄Q4,C7V丄08垂足分別為M,N,通過AAS得到XMD^MNE,進(jìn)而得到CD=CE,DM=EN,利用等量代換得到OE+OD=ON+OM,在Rt\CMO中，利用30。角所對的邊是斜邊的一半得OM=-OC.同理得到ON=、OC,所以O(shè)E+OD=OC；方法二以CO為一邊作2 2ZFCO=60°.交OB于點(diǎn)F，通過ASA證明△<?￡)<欄△(?",得到CD=CE,OD=EF,所以QE+OD=OE+EF=OF=OC：②圖4：以。C為一邊，作/OCF=60°與0B交于F點(diǎn)，利用ASA證得△COD^ACFE,即有CD=CE.OD=EF得到。E=OF+EF=OC+OD：圖5:以0C為一邊，作NOCG=60?與0A交于G點(diǎn)，利用ASA證得△CGD絲△COE.即有CD=CE.OD=EF.得到0E=OF+EF=OC+OD.【詳解】解：(l)v0C平分ZAOB./.Z1=Z2=45%???Z3=90’一/2=45',.?.Z1=Z2=Z3???OC=FC又匕4+N5=N6+N5=90‘在ACDO與ACEF中，fZl=Z3<OC=FC|/4=Z6.\ACDO^ACEF(ASA):.CD=CE31⑵如圖2,過點(diǎn)C作CH丄OA,CN丄OB、垂足分別為M,N,:.ZCMD=ZCNE=90。,又?.?OC平分ZAOB.:?CM=CN,在四邊形ODCE中，Z4OB+ZDCE+Nl+/2=360。，又ZAOB=ZDCE=90°.Zl+Z2=180°,又Z14-Z3=180°.Z3=Z2,在小CMD與ACNE中，上3=匕2<ZCMD=ZCNECM=CN.???ACMD^ACNE(AAS).:.CD=CE.圖2(3)①⑴中的結(jié)論仍成立.OE+OD=OC.理由如下：方法一：如圖3(1),過點(diǎn)C作CM1OA.CN丄OB,圖3(I)垂足分別為M，N,?.?ZCMD=ZCNE=%\又..?OC平分ZAOB,■??CM=CN,在四邊形ODCE中，匕4Q8+ZDCE+/1+匕2=360°，又ZAOfi+ZDCE=60°4-120°=1800.???Nl+N2=180。，又匕2+匕3=180。?.??N1=匕3,\CMDSCNE中,Z1=Z3ZCMD=ZCNE,CM=CN???^CMD^CNE{AAS),,?,CD=CE,DM=EN????OE+OD=OE+OM+DM=OE+OM+EN=ON+OM.在Ri\CMO中，匕4=90。一匕5=90。一丄匕4。8=30°,2；.OM=-OC,同理ON=、OC,2 2OE^OD=-OC^-OC=OC.2 2方法二：如圖3(2),以CO為一邊作ZFCO=60%交0B于如F,VOC平分ZAOB.AZl=Z2=60°..??23=180。_匕2 ZFCO=60°,...匕1=匕3,Z3=Z2=ZFCO./.ACOF是等邊三角形，:?CO=CF,VZDCE=Z4+Z5=60°>ZFCO=N6+N5=60。，???Z4=Z6,<￡\CDO與ACEF中,Z1=Z3?CO=CF[z4=Z6???ACDO^ACEF(ASA),:?CD=CE,OD=EF.?.?OE+OD=OE+EF=OF=OC?圖3(2)②在圖4中，(1)中的結(jié)論成立，OE-OD=OC.如圖，以0C為一邊，作ZOCF=60°與OB交于F點(diǎn),:ZAOB=120%0C為匕AOB的角平分線AZCOB=ZCOA=60°又VZOCF=60°...△COF為等邊三角形AOC=OF,:ZCOF=ZOCD+ZDCF=60°.ZDCE=ZDCF+ZFCB=60°AZOCD=ZFCB又ZCOD=180°-ZCOA=180°-60°=120°ZCFE=180°-ZCFO=180o-60o=120°AZCOD=ZCFE「?△COD竺Z\CFE(ASA).\CD=CE,OD=EFAOE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC在圖5中，(1)中的結(jié)論成立.OD-OE=OC.如圖，以0C為一邊，作NOCG=60°與0A交于G點(diǎn)ZAOB=120°.0C為NAOB的角平分線AZCOB=ZCOA=60°又VZOCG=60°「?△COG為等邊三用形AOC=OGZCOG=ZOCE+ZECG=60°,ZDCE=ZDCG+ZGCE=60°AZDCG=ZOCE又,:ZCOE=180°.ZCOB=180°-60°=120°ZCGD=180°-ZCGO=180o-60o=120°?.?ZCGD=ZCOE「.△CGD竺MOE(ASA)ACD=CE.OE=DG.-.OD=OG+DG=OC+OE即OD?OE=OC【點(diǎn)睛】本題主要考査全等三角形的綜合應(yīng)用，有一定雄度，解題關(guān)鍵在于能夠做出輔助線證全等.8.（1）問題發(fā)現(xiàn):如圖1,△ABC和△人龐均為等邊三角形，點(diǎn)8、D,E?在同一直線上,連接CE①求iiE：BD=C￡;②求ZBEC的度數(shù).

ERER（2）拓展探充:如圖2,aABC和均為等腰直角三角形，ZBAC=ZZM￡=90°,點(diǎn)8、。、E在同一直線上，AF為坦中D/邊上的髙.連接CE.①求ZBEC的度數(shù):②判斷線段人F、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果即可）.（3）解決問題:如圖3,△（3）解決問題:如圖3,△A8和龐均為等腰三角形,Z.BAC=ZDAE=n，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE.求匕4EC的度數(shù)（用含〃的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果即可）.圖i圖i【答案】（1）①證明見解析：②60°:（2）①90°:②BE=CE+2AF；（3）ZAEC=90°+-n°.2【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=ACzAD=AE,ZDAE=ZBAC=60°M據(jù)SAS進(jìn)一步證明Abad^Acae,依據(jù)其性質(zhì)可得BD=CE，再根據(jù)對應(yīng)角相等求出ZBEC的度數(shù)：（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì):AB=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC=90°，根據(jù)（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì):IflABAD^ACAE.根據(jù)對應(yīng)角相等求出/8EC的度數(shù)；因?yàn)镈E=2AF,BD二EC,結(jié)合線段的和差關(guān)系得出結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AB=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC=n°，根據(jù)SAS進(jìn)一步證明::ABAD^ACAE.根據(jù)對應(yīng)角相等求出得出ZADB=ZB￡C的度數(shù)，結(jié)合內(nèi)角和用n表示::NADE的度數(shù)，叩可得出結(jié)論.【詳解】①vAABCfllAADE均為等邊三角形(如圖1),:,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60\:,ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,:,NBADNCAE.「?ABAD^ACAE(SAS):,BD=CE.圖1②由左CAEABAD..IZAEC=ZADB=180°-ZADE=120\?.?ZBEC=ZAEC-ZAED=120°-60a=60°.①VAABC和ZiADE均為等腰直角三角形(如圖2).?.?AB二AC,AD=AE,ZADE=ZAED=45%ZBAC=ZDAE=90°,?'.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,.IZBAD=ZCAE.?'.△BAD絲MAE(SAS).?.?BD=CE,ZAEC=ZADB=180°-ZADE=135°.?'.ZBEC=ZAEC-ZAED=135°-45°=90o.圖2，②BE=CE+2AF.如圖3:ZAEC=90*+-n\理由如下,2?「△ABC和ZkADE均為等腰宜角三角形，AAB=AC>AD=AE.ZADE=ZAED=n%:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,:.ZBAD=ZCAE.ABAD^ACAE(SAS).:,ZAEC=ZADB=180°-ZADE=180°-180-■ =90+—.2 2.?.』AEC=90?+項(xiàng).2圖3【點(diǎn)睛】本題考査等邊三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)型三角形全等,掌握全等常見模型及由特殊到一般找出解題規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.八年級的小明同學(xué)通到這樣一道數(shù)學(xué)題日：△A8C為邊長為4的等邊三角形，E是邊厶8邊上任意一動點(diǎn)，點(diǎn)。在C8的延長線上，且滿足AE=BD.（3）如圖③，「是AC的中點(diǎn)，連接￡F?在A8邊上是否存在點(diǎn)￡,使得DE+EF偵最小？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.（直角三角形中，30。所對的邊是斜邊的一半）【答案】（1）2^/3:（2）DE=CE.理由見解析：（3）這個最小值為2近：【解析】【分析】（1）如圖①，過點(diǎn)￡作EH±BC于H,由等邊三角形的性質(zhì)可得BE=DB=AE=L由直角三角形的性質(zhì)可求BH=1,EH鄧,由勾股定理可求解：（2） 如圖②，過E作EF//BC交AC于F,可證是等邊三角形，AE=EF=AF=BD,由“SAS”可證△DBEq/\EFC,可得DE二CE：（3） 如圖③，將△A8C沿福翻折得到△A8C連接UF交A8于點(diǎn)F,連接CF,DE,過點(diǎn)F作FH1AC于點(diǎn)H,由“SAS”可證△ACF絲△ACT,可得CF=Cf.可得當(dāng)點(diǎn)（7，點(diǎn)E,點(diǎn)尸三點(diǎn)共線時，D1EF的值最小，由勾股定理可求最小值.【詳解】（1）如圖①，過點(diǎn)￡作田丄8C于

DRHC圖①?「△A8C為邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)E是A8的中點(diǎn),:.AE=BE=