大學(xué)畢業(yè)論文--求異面直線距離的幾種方法

學(xué)士學(xué)位論文求異面直線距離的幾種方法學(xué)士學(xué)位論文BACHELORSTHESIS學(xué)士學(xué)位論文BACHELORSTHESIS引言求異面直線之間的距離是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要概念之一，也是空間距離問(wèn)題的難點(diǎn)，弄清異面直線距離的有關(guān)概念和性質(zhì)是求異面直線距離的前提。求異面直線之間的距離在中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有具體講解，所以本論文利用定義法（直接法），轉(zhuǎn)化法，極值法，射影法，公式法，平移法，垂面法，向量法及行列式法和實(shí)際例題來(lái)解決關(guān)于求異面直線之間的距離問(wèn)題。求異面直線間的是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，難就難在不知怎樣找異面直線的公垂線段，也不會(huì)將所求的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。解答此類問(wèn)題，主要的方法有將兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面的距離，或轉(zhuǎn)化為平面與平面的距離，或轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為用等體積的方法等來(lái)求解。特點(diǎn)：即不平行也不相交，兩直線永遠(yuǎn)不可能在同一平面內(nèi)。定義和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線夾在異面直線間的部分叫做異面直線的公垂線段。兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度叫做這兩條異面直線的距離。性質(zhì)1任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。性質(zhì)2兩條異面直線的公垂線段長(zhǎng)（異面直線的距離）是分別連接兩條異面直線上兩點(diǎn)線段中最短的長(zhǎng)度下面我將求兩條異面直線的距離的幾種方法作一歸納總結(jié)。1.定義法（直接法）定義法就是先作出這兩條異面直線的公垂線段，然后求出公垂線段長(zhǎng)即異面直線之間的距離。E-D例1：如圖所示，邊長(zhǎng)均為a的兩個(gè)正方形ABCD和CDEF成120°的二面角。求異面直線CD與AE間的距離。E-D解：如圖中，四邊形ABCD^CDEF是正方形得,CD_AD=cd_平面aedCD_DE過(guò)點(diǎn)D作D^AE,垂足為H又CD平面AED，得CD_DH又因?yàn)镈H—AE得DH是CD與AE的公垂線（異面直線AE

與CD間的距離）在占ADE中，NADE=120,AD=AEa,DH_AE1 1 a得DH=AD=DE=2 2即異面直線CD與AE的距離為-;22.轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法將兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為直線與平面距離或轉(zhuǎn)化為平面與平面的距離求解。2.1轉(zhuǎn)化為線面距離法線面距離法就是選擇異面直線中的一條，過(guò)它作另一條直線的平行平面，因此直線與平面的距離即為所求異面直線的距離。例2.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求異面直線BD與ECP'Br之間的距離。P'Br解：連接CD,DB和BD因?yàn)锽D//BD，得BD//平面BDC而BC平面BDC從而BD與BC的距離就是BD與平面BDC的距離為h;用體積法，Vb-BBC"VD-BBC1VB_BBC=3hS：BDC1 1 1 11 1Vb_bbc■hS：BDC=—.DC—BB.BC a2a—a3b_bbc 3 3 2 32 6因?yàn)锽C=BD'丄DC=；』2，所以BDC是等邊三角形_V32即S.bdc二牙a

從而1h「3a?=1a3得h3a;2 6 32.2轉(zhuǎn)化為面面距離法面面距離法就是所求異面直線的距離轉(zhuǎn)化為求分別過(guò)兩條異面直線的兩個(gè)平行的平面間的距離。例3.如圖所示，正方體ABCD-ABCD?的棱長(zhǎng)為1,求異面直線BD與BC的距離。解：如圖，分別連接AB,AD,DC,BD；AC因?yàn)锽D//BD,AB//BCDB,BC平面DBC,AB,BD平面ABD得平面BDC〃平面ABD且對(duì)角線AC?為兩個(gè)平面的公垂線，由體積法可以得出A到平面ABD的距離等于C?到平面晶BDC的距離為一3因?yàn)锳C鼻S：AB2AD2AA1 1L</3從而ABD與BDC平面的距離等于-AC'-「3 3,3 3 3兩平面間的距離就是BD與BC之間的的距離，丿3即BD與BC之間的的距離為—；33.極值法極值法就是把兩條異面直線間的距離表示成某一個(gè)變量的函數(shù)， 從而通過(guò)求函數(shù)的最小值來(lái)求異面直線間的距離。

例4,如圖，棱長(zhǎng)為4的正三棱柱ABC—ABC?中，D是AB的中的，求CD與AC間的距離。解：AC'在上任取一點(diǎn)M作MN丄AC垂足為N,則MN丄平面ABC即CD與AC?間的距離為4^；4.射影法將兩條異面直線射影到同一平面內(nèi)，射影分別是點(diǎn)和直線或兩條異面直線，那么點(diǎn)和直線兩條平行線的距離就是這兩條異面直線射影間的距離。例5.如圖在正方體ABCD-ABCD?中，AB=1,M,N分別是棱AB,CC?的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，求異面直線DM,EN間的距離。解：把異面直線DM,EN的射影到同一平面內(nèi)，兩射影間的距離就是所求異面直線之間的距離。取BC的中點(diǎn)Q,連接EQ,EN因?yàn)镋,Q是中點(diǎn)，得EQ//DC,EQ_BC,DC_平面BCC

得EQ_平面BCC'又因?yàn)镋Q_QN得，EN的射影為QN。再取DC?的中點(diǎn)F,同理，MF是DM的射影，MF//BC得BC■是DM的射影。從而QM,BC是EN和DM在平面BCCB上的射影。QN與BC?間的距離就是兩條異面直線的距離1因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，得QC二QB二2

又NCBQ=45°設(shè)QN與BC的距離為h，從而2h2=BQ2=丄得h=辺，即異面直線DM,EN間的距離為即異面直線DM,EN間的距離為.245.公式法求異面直線之間的距離，我們還可以用下面兩個(gè)公式來(lái)求。公式1如圖⑴，三棱錐A-BCD中，若AB和CD所成的角為二，三棱錐A-BCD的體積為Va_bcd，則異面直線AB與CD間的距離6VA-BCDABCDsiD公式2 .已知面積，--?,二面角：.-a-■的平面角為,如圖（2）,直線b與平面分別交與A,E到棱a的距離為n,m,則異面直線a與b之間的距離, mnsinOd= ——,m2n22mncost例6.如圖，已知正方體ABCD—ABCD?，其邊長(zhǎng)為a,P是BC?的中點(diǎn),求AC與BP間的距離解：（公式1）設(shè)異面直線AC與BP所成的角為-取AD的中點(diǎn)N,連接AN因?yàn)镻是BC的中點(diǎn)，得BP//AN，貝U.ACD二二很容易解能求出sy欝AC二2a,BP二112Vp」Bk3a__2a6VP丄BC=25 310 3ad二ACBPsin￡ :-V5 --v2a——a■''~210即AC與PB之間的距離為2a；3（用公式2）解：設(shè)B到AC的距離為mP到AC的距離為n.2a,n二設(shè)二面角P-AC-B的平面角為二C用面積的射影公式得COST-13因?yàn)閟in$—cos?v-1得sin，二亙3TOC\o"1-5"\h\z、2 3、2 23mnsinvm2mnsinvm2n?2mncos^2 2 3292門2 32 1一a打一a-2a a8 2 4 3即AC與PB之間的距離為2a；36.平移法找出一條直線，使兩條直線都垂直，但這條直線不是公垂線，這時(shí)把這條直線設(shè)法平移到這兩異面直線相交然后求出這兩異面直線的公垂線。例7.已知正方體ABCD-ABCD；其邊長(zhǎng)為a,求AC與AD間的距離解：如圖，由正方體的性質(zhì)B?_AD,BD_AC,BD與AC交與0在DBD沖，將BD?平移到ON處，連接AN，可知N為DD的中點(diǎn)設(shè)AN與AD交點(diǎn)為Q,將DN平移到PQ,可知，PQ是設(shè)AN與AD交點(diǎn)為Q,將DN平移到PQ,可知，PQ是AC與AD的垂線由平面幾何知識(shí)，~AQ=2則"AQ二—on//pqQN1AN3PQ_AQ得MNAN則PQ二3

a23PQ.3即AC和AD間的距離為上3a3C'7.垂面法若兩條直線是異面直線，過(guò)其中一條做平面，使這條直線與平面垂直，在平面內(nèi)，過(guò)這條直線垂足點(diǎn)作另一條直線的垂線，垂足和前一個(gè)垂足的連線就是公垂線。例8.ABCD-ABCD，其邊長(zhǎng)為1求BD與AC之間的距離解：連接AC，AC與BD交與P點(diǎn)解：連接AC，AC與BD交與P點(diǎn)AA_BDAC_BDBD_平面AAC又PQ_AC,所以PQ為BD與AC的公垂線AC..;3RMAAC中，沁AXACp因?yàn)锳AC..;3RMAAC中，沁AXACpRtPQC中,PQSinZQC^PC，則PQ"nZQCPPC?、6即BD與AC之間的距離為——68.向量法向量法又叫做法向量投影法，一般步驟是:

⑴建立空間直角坐標(biāo)系，求異面直線a,b的方向向量a,b在求出a,b的法向量n（向量n均與向量a,b垂直）⑵分別在直線a,b上各取一點(diǎn)A,B，求做向量ABABn求向量ABn求向量ab在法向量n上的投影d= 「|例9,如圖，已知正方形ABCD—ABCD?，其棱長(zhǎng)為1,求異面直線AD與AC之間的距離。解：建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz設(shè)n=x,y,z是過(guò)直線DA且平行于AC的平面的法向量因?yàn)閚-AD,所以n竺n_AAnAA因?yàn)閚-AD,所以n竺n_AAnAA=0又DA二1,0,1,AC；：=[—1,1,0xz=0 z=—x所以 即-xy=0 y=x4令x=1得，n=：i1,1,—1因?yàn)锳在AD上且AA=0,0,1AAn所以d_1_2_3=茁T即AD與AC之間的距離為與-A3xB3yC3Z—0A4xB4yC4zD4=0異面的充分必要條件是M=AAA3AB1B2與-A3xB3yC3Z—0A4xB4yC4zD4=0異面的充分必要條件是M=AAA3AB1B2B3B4GC2C3C4D1D2D3D4定理2.異面直線:AxByGzD^i=0h:A2XB2yC2zD2=0l2:A3xB3yC3zD^0得距離為,A^xB4yC4zD4=0M其中,ni,n3,n4n2-n2,g,n°nd=A1A2A3A4B1B2B3B4C1C2C3C4D1D2D3D4,(i72,3,4)fx—y—z亠2=0例10.已知兩直線方程為h：2x-Jz"0與'2:x_2yz=02y4z「5=0證明它們是異面直線.⑵解：⑴求出它們之間的距離.由兩直線異面的充要條件可知,這兩直線的一般方程的條數(shù)構(gòu)成四階_1-12_314—21024_5T5=(1,-1,行列式M==-25⑵由已知方程,-1），1210=0n2=（2， -3， 1），n3= （1， -2， 1），9?行列式法-0定理1兩直線i1：!Ax+B1y+GZ+D1=-0Ax+B2y+C2Z+D2n4=(1， -1， -1)，T T T1-1-1TTT2-315， n3，n4)=1-21=-8，（n2，n3，n4)=1-21024024(ni, n3,TTTn4)n2-(n2,Tn3,TTn4)ni=-8■(2,-3,1)+6■(1,-6-1,-1)=(-10,18,-14)mm,n陽(yáng)-Hmm='-10IT82亠［14 =2155由定理2中的公式得，兩條異面直線的距離為|-25d一2.155總結(jié)異面直線間的距離是立體幾何的核心概念，位于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處和思想方法的結(jié)合部，是立體幾何的學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。求異面直線的距離不僅考察空間想象力邏輯思維能力。綜上可知，求異面直線間的距離要如下三種意識(shí)；定義意識(shí)，轉(zhuǎn)化意識(shí)和函數(shù)意識(shí)，同時(shí)要注意向量方法和坐標(biāo)法在解題中的重要作用參考文獻(xiàn)［1］ 王成巖（牡丹江教育學(xué)院黑龍江 牡丹江157005）［文章編號(hào)］1009-2323（2001）04-068-03［2］ 薛金星主編 中學(xué)教學(xué)解題方法與技巧（上旬）北京教育出版社2011.3出版［M］（62-63）［3］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編 高等數(shù)學(xué)（第五版）上冊(cè) 高等教育出版社2002［4］ 單壿著編中學(xué)數(shù)學(xué)研究上海教育出版社2012年第4期［M］ （37-39）⑸數(shù)理化解題研究2012年（15-17）⑹朱洪亮編數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版）天津科學(xué)技術(shù)出版社 2012年第6期［M］（2-4）［7］ 楊天林編中學(xué)生數(shù)理化（高中版）南京大學(xué)出版社 2