八年級上冊數學《三角形》單元檢測卷(帶答案)

人教版八年級上冊《三角形》單元測試卷時間：90分鐘總分：100一．選擇題（共10小題）1.以下長度的三條線段，不能組成三角形的是（）A.3、8、2B.2、5、4C.6、3、5D.9、15、72.一個三角形中，有一個角是55°，另外的兩個角可能是（）A.95°，20°B.45°，80°C.55°，60°D.90°，20°3.如圖，BE、CF是△ABC的角平分線，∠A=50°，BE、CF相交于D，則∠BDC的度數是（）A.115°B.110°C.100°D.90°4.如圖△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是邊AC上的高，則∠DBC的度數是（）A.36°B.26°C.18°D.16°5.已知三角形三邊長分別為2，x，13，若x為正整數，則這樣的三角形個數為A2B.3C.5D.136.若中，，則一定是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.任意三角形7.一個正多邊形的每一個外角都等于30°，則這個多邊形的邊數是（）A.6B.8C.9D.128.下列說法中，錯誤的是（）A三角形中至少有一個內角不小于60°B.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形C.三角形的角平分線、中線、高均在三角形的內部D.多邊形的外角和等于360°9.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠BCD的平分線的交點E恰好在AD邊上，則∠BEC=（）A.∠A+∠D﹣45°B.（∠A+∠D）+45°C.180°﹣（∠A+∠D）D.∠A+∠D10.如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF,以下結論：①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④BD平分∠ADC;其中正確結論有（）A.1個B.2個C.3個D.4個二．填空題（共8小題）11.若一個三角形兩邊長分別為5和8，則第三邊長的取值范圍為_____．12.如圖，在△ABC中，∠A=_____．13.如圖，在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點，∠EHF的度數是_____．14.一個八邊形的所有內角都相等，它的每一個外角等于_____度．15.如圖所示，△ABC中，點D，E分別是AC，BD上的點，且∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，則∠BEC的度數是________．16.如圖，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分線交AB邊于點E，在AC邊取點D，使∠CBD=20°，連接DE，則∠CED的大小=_____（度）．17.如圖，在△ABC中，∠C=46°，將△ABC沿著直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠1﹣∠2的度數是_____．18.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，則∠1+∠2=_____．三．解答題（共7小題）19.（1）已知三角形三個內角的度數比為1：2：3，求這個三角形三個外角的度數．（2）一個正多邊形的內角和為1800°，求這個多邊形的邊數．20.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度數．（2）若∠B﹣∠C=30°，則∠DAE=．（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度數（用含α的代數式表示）21.如圖，已知BD是△ABC的角平分線，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分線，CD與BD交于點D．（1）若∠A=50°，則∠D=；（2）若∠A=80°，則∠D=；（3）若∠A=130°，則∠D=；（4）若∠D=36°，則∠A=；（5）綜上所述，你會得到什么結論？證明你的結論的準確性．22.在一個鈍角三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“智慧三角形”．如，三個內角分別為120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如圖，∠MON=60°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交射線OB于點C．（1）∠ABO的度數為_____°，△AOB_____（填“是”或“不是”）“智慧三角形”；（2）若∠OAC=20°，求證：△AOC為“智慧三角形”；（3）當△ABC為“智慧三角形”時，求∠OAC的度數．23.如圖，在△ABC中，點D在BC上，點E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G,EH⊥BE交BC于H，∠HEG=50°.（1）求∠BFD的度數.（2）若∠BAD=∠EBC，∠C=41°，求∠BAC的度數.24.如圖，在△ABC中，∠CAB=∠CBA，過點A向右作AD∥BC，點E是射線AD上的一個動點，∠ACE的平分線交BA的延長線于點F．（1）若∠ACB=40°，∠ACE=38°，求∠F的度數；（2）在動點E運動的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求它的值；若變化，請說明理由．25.在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于點M，點P直線AC上一點，過點P作PH⊥BM于點H．（1）如圖1，當∠ACB=110°，∠BAC=30°，且點P與點C重合時，∠APH=°；（2）如圖2，當點P在AC的延長線上時，求證：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；（3）如圖3，當點P線段AM上（不含端點）時，①補全圖形；②直接寫出∠APH、∠ACB、∠BAC之間的數量關系：．參考答案一．選擇題（共10小題）1.以下長度的三條線段，不能組成三角形的是（）A.3、8、2B.2、5、4C.6、3、5D.9、15、7[答案]A[解析][分析]根據三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，進行判定即可．[詳解]2+3＜8，A不能組成三角形；2+4＞5，B能組成三角形；3+5＞6，C能組成三角形；7+9＞15，D能組成三角形；故選A．[點睛]此題主要考查學生對運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形的掌握情況，注意只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．2.一個三角形中，有一個角是55°，另外的兩個角可能是（）A.95°，20°B.45°，80°C.55°，60°D.90°，20°[答案]B[解析][分析]根據三角形內角和等于180°求出另兩個內角的和，再據此依次分析即可．[詳解]∵一個三角形中，有一個角是55°，∴另外的兩個角的和為125°，各選項中只有B選項：45°+80°=125°．故選B．[點睛]考查三角形的內角和定理，掌握三角形的內角和等于180°是解題的關鍵.3.如圖，BE、CF是△ABC的角平分線，∠A=50°，BE、CF相交于D，則∠BDC的度數是（）A.115°B.110°C.100°D.90°[答案]A[解析][分析]由于∠A=50°，根據三角形的內角和定理，得∠ABC與∠ACB的度數和，再由角平分線的定義，得∠DBC+∠DCB的度數，進而求出∠BDC的度數．[詳解]∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE、CF是△ABC的角平分線，∴∴∴∠BDC=180°﹣65°=115°，故選A．[點睛]考查三角形內角和定理以及角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵.4.如圖△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是邊AC上的高，則∠DBC的度數是（）A.36°B.26°C.18°D.16°[答案]C[解析][分析]根據三角形的內角和定理與∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三個內角的度數，再根據直角三角形的兩個銳角互余求得∠DBC的度數．[詳解]∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C=∠ABC=2∠A，∴2∠A+2∠A+∠A=180°，解得，∠A=36°，則∠C=72°，∵BD是邊AC上的高，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=90°﹣∠C=18°，故選C．[點睛]考查三角形的內角和定理以及高的性質，掌握三角形的內角和等于180°是解題的關鍵.5.已知三角形三邊長分別為2，x，13，若x為正整數，則這樣的三角形個數為A.2B.3C.5D.13[答案]B[解析][分析]根據“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”，可得x的取值范圍，一一判斷可得答案.[詳解]解：根據“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因為取正整數,故x的取值為12、13、14,即這樣的三角形共有3個.故本題正確答案為B.[點睛]本題主要考查構成三角形的三邊的關系.6.若中，，則一定是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.任意三角形[答案]B[解析][分析]根據三角形內角和180，求出最大角∠C，直接判斷即可.[詳解]解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：4．∴設∠A=x°，則∠B=2x°，∠C=4x°，根據三角形內角和定理得到：x+2x+4x=180,解得：x=．則∠C=4×故選B.=°，則△ABC是鈍角三角形．[點睛]本題考查了三角形按角度的分類.7.一個正多邊形的每一個外角都等于30°，則這個多邊形的邊數是（）A.6B.8C.9D.12[答案]D[解析][分析]根據正多邊形的每一個外角都相等，多邊形的邊數=360°÷30°，計算即可求解．[詳解]這個正多邊形的邊數：360°÷30°=12，故選D．[點睛]本題考查了多邊形的內角與外角的關系，熟記正多邊形的邊數與外角的關系是解題的關鍵．8.下列說法中，錯誤的是（）A.三角形中至少有一個內角不小于60°B.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形C.三角形的角平分線、中線、高均在三角形的內部D.多邊形的外角和等于360°[答案]C[解析][分析]根據三角形的內角和定理判斷A；根據等邊三角形的判定定理判斷B；根據三角形的角平分線、中線、高的定義及性質判斷C；根據多邊形的外角和定理判斷D．[詳解]A、如果三角形中每一個內角都小于60°，那么三個角三個角的和小于180°，與三角形的內角和定理相矛盾，故本選項正確，不符合題意；B、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故本選項正確，不符合題意；C、三角形的角平分線、中線與銳角三角形的三條高均在三角形內部，而直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，故本選項錯誤，符合題意；D、多邊形的外角和等于360°，故本選項正確，不符合題意；故選C．[點睛]考查三角形的角平分線、中線和高,三角形,三角形內角和定理,多邊形內角與外角，比較基礎，難度不大.9.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠BCD的平分線的交點E恰好在AD邊上，則∠BEC=（）A.∠A+∠D﹣45°B.（∠A+∠D）+45°C.180°﹣（∠A+∠D）D.∠A+∠D[答案]D[解析][分析]根據四邊形的內角和,∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），根據角平分線的定義可得再根據三角形的內角和定理可得后整理即可得解；然[詳解]∵四邊形的內角和=360°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC與∠BCD的平分線的交點E恰好在AD邊上，∴∴∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）故選D．[點睛]考查四邊形的內角和，三角形的內角和以及角平分線的性質，掌握角平分線的性質是解題的關鍵.10.如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF,以下結論：①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④BD平分∠ADC;其中正確的結論有（）A.1個B.2個C.3個D.4個[答案]C[解析][分析]根據角平分線定義得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根據三角形的內角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根據三角形外角性質得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根據已知結論逐步推理，即可判斷各項．[詳解]解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴①正確；∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDC，∠BDC＝∠BAC,∴②正確；△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°∴∠ADC=90°-∠ABD，故③正確；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④不正確；即正確的有3個，故選C．[點睛]本題考查了三角形外角性質，角平分線定義，平行線的判定，三角形內角和定理的應用，主要考察學生的推理能力，有一定的難度．二．填空題（共8小題）11.若一個三角形兩邊長分別為5和8，則第三邊長的取值范圍為_____．[答案]3＜第三邊＜13．[解析][分析]根據“三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊”,可得8-5＜x＜8+5;解此不等式,即可判斷出第三邊x的取值范圍.[詳解]設第三邊長為x，則8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，故答案為3＜第三邊＜13．[點睛]此類題目重點考查了三角形的三邊關系“三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊”.解決此題問題的過程中,往往是根據此定理列出相應的不等式,然后解此不等式即可.12.如圖，在△ABC中，∠A=_____．[答案]60°．[解析][分析]三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，利用三角形的外角性質得到x°+(x+10)°=(x+70)°，解方程即可求出x的值.[詳解]∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴x+70=x+x+10，x=60，∴∠A=60°，故答案為60°．[點睛]本題考查三角形外角的性質的應用，理解三角形外角的性質是解答關鍵；13.如圖，在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點，∠EHF的度數是_____．[答案]120°．[解析][分析]先根據三角形內角和定理求出∠A的度數，再根據CF是AB上的高得出∠ACF的度數，再由三角形外角的性質即可得出結論．詳解]∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=60°，∵CF是AB上的高，∴在△ACF中，∠ACF=180°﹣∠AFC﹣∠A=30°，在△CEH中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．故答案為:120°．[點睛]考查三角形的內角和定理、三角形的高以及三角形外角的性質，熟練掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵.14.一個八邊形的所有內角都相等，它的每一個外角等于_____度．[答案]45[解析][分析]根據多邊形的外角和是360度，再用360°除以邊數可得外角度數．[詳解]外角的度數是：360°÷8=45°，故答案為45.[點睛]本題考查的是多邊形，熟練掌握多邊形外角的特點是解題的關鍵.15.如圖所示，△ABC中，點D，E分別是AC，BD上點，且∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，則∠BEC的度數是________．[答案]125°[解析]解：∵∠A=65°，∠ABD=30°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=65°+30°=95°，∴∠BEC=∠EDC+∠DCE=95°+30°=125°．故答案為125°．16.如圖，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分線交AB邊于點E，在AC邊取點D，使∠CBD=20°，連接DE，則∠CED的大小=_____（度）．[答案]10．[解析][分析]由CE是∠ACB的平分線，可得由三角形外角的性質，可得∠ADB=∠CBD+∠BCD①，∠ADE=∠CED+∠ACE②，繼而求得答案．[詳解]解：延長CB到F，∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，∴AB平分∠FBD，又∵∠ACB的平分線交AB邊于點E，∴點E到邊BF，BD，AC的距離相等，∴點E在∠ADB的平分線上，即DE平分∠ADB，∴CE是∠ACB的平分線，∴∠ADB是外角，∠ADE是的外角,∴∠ADB=∠CBD+∠BCD①，∠ADE=∠CED+∠ACE②∴①?②×2得：2∠CED=∠CBD∴故答案為10．[點睛]考查三角形外角的性質以及角平分線的性質，掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵.17.如圖，在△ABC中，∠C=46°，將△ABC沿著直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠1﹣∠2的度數是_____．[答案]92°．[解析][分析]由折疊的性質得到∠D=∠C，再利用外角性質即可求出所求角的度數．[詳解]由折疊的性質得：∠C'=∠C=46°，根據外角性質得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，則∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，則∠1﹣∠2=92°．故答案為92°．[點睛]考查翻折變換（折疊問題），三角形內角和定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.18.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A′處，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，則∠1+∠2=_____．[答案]80°．[解析][分析]連接AA′．首先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．[詳解]連接AA′．∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°，∴∠A′BC+∠A′CB=70°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠BAC=180°﹣140°=40°，∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，故答案為:80°．[點睛]考查角平分線的性質以及三角形的內角和定理，熟練掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵.三．解答題（共7小題）19.（1）已知三角形三個內角的度數比為1：2：3，求這個三角形三個外角的度數．（2）一個正多邊形的內角和為1800°，求這個多邊形的邊數．[答案]（1）150°、120°、90°．（2）12．[解析][分析]（1）解答本題需要熟練掌握三角形內角和定理的知識，熟知三角形的內角和等于180°.通過解題，求出三個內角，再根據內角加對應的外交和等于180°算出外角；（2）根據多邊形內角和即可求出.[詳解]（1）設此三角形三個內角的比為x，2x，3x，則x+2x+3x=180，6x=180，x=30，則三個內角分別為30°、60°、90°，相應的三個外角分別為150°、120°、90°．（2）設這個多邊形的邊數是n，則（n﹣2）?180°=1800°，解得n=12．故這個多邊形的邊數為12．[點睛]本題考查的知識點是多邊形內角和，解題的關鍵是熟練的掌握多邊形內角和.20.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度數．（2）若∠B﹣∠C=30°，則∠DAE=．（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度數（用含α的代數式表示）[答案]（1）15°；（2）15°；（3）α；[解析][分析]（1）根據角平分線的定義和互余進行計算；（2）根據三角形內角和定理和角平分線定義得出∠DAE的度數等于∠B與∠C差的一半解答即可；（3）根據（2）中所得解答即可．[詳解]解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC，而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠EAC=90°﹣∠B﹣∠C，∵∠DAC=90°﹣∠C，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C]=（∠B﹣∠C），（1）若∠B=70°，∠C=40°，則∠DAE=（70°﹣40°）=15°；（2）若∠B﹣∠C=30°，則∠DAE=×30°=15°；（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），則∠DAE=α；[點睛]考查三角形的內角和定理，高的性質，角平分線的性質，推導出∠DAE的度數與∠B，∠C度數之間的關系是解題的關鍵.21.如圖，已知BD是△ABC的角平分線，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分線，CD與BD交于點D．（1）若∠A=50°，則∠D=；（2）若∠A=80°，則∠D=；（3）若∠A=130°，則∠D=；（4）若∠D=36°，則∠A=；（5）綜上所述，你會得到什么結論？證明你的結論的準確性．[答案]（1）25°；（2）40°；（3）65°；（4）72°；（5）∠D=∠A；[解析][分析]先根據角平分線定義得到∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，再根據三角形外角性質得∠ACE=∠ABC+∠A，則2∠2=2∠1+∠A，接著再根據三角形外角性質得∠2=∠1+∠D，易得∠A=2∠D，即∠D=∠A，然后利用此結論分別解決（1）、（2）、（3）、（4）、（5）．[詳解]解：如圖，∵BD是△ABC的角平分線，CD是△ABC的外角∠ACE的平分線，∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，∵∠ACE=∠ABC+∠A，∴2∠2=2∠1+∠A，而∠2=∠1+∠D，∴2∠2=2∠1+2∠D，∴∠A=2∠D，即∠D=∠A，（1）當若∠A=50°，則∠D=25°；（2）若∠A=80°，則∠D=40°；（3）若∠A=130°，則∠D=65°．（4）若∠D=36°，則∠A=72°，（5）綜上所述，∠D=∠A；[點睛]考查三角形外角的性質以及角平分線的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵.22.在一個鈍角三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“智慧三角形”．如，三個內角分別為120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如圖，∠MON=60°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交射線OB于點C．（1）∠ABO的度數為_____°，△AOB_____（填“是”或“不是”）“智慧三角形”；（2）若∠OAC=20°，求證：△AOC為“智慧三角形”；（3）當△ABC為“智慧三角形”時，求∠OAC的度數．[答案](1).30；(2).是；（2）證明見解析；（3）∠OAC的度數為80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°．[解析][分析]分析：（1）根據垂直的定義、三角形內角和定理求出∠ABO的度數，根據“智慧三角形”的概念判斷；（2）根據“智慧三角形”的概念證明即可；（3）分點C在線段OB和線段OB的延長線上兩種情況，根據“智慧三角形”的定義計算．[詳解]（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°?∠MON＝30°，∵∠OAB＝3∠ABO，∴△AOB為“智慧三角形”，故答案為30；是；（2）∠AOC＝60°，∠OAC＝20°，∴∠AOC＝3∠OAC，∴△AOC為“智慧三角形”；（3）∵△ABC為“智慧三角形”，①當點C在線段OB上時，∵∠ABO＝30°，∴∠BAC＋∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°，Ⅰ、當∠ABC＝3∠BAC時，∠BAC＝10°，∴∠OAC＝80°，Ⅱ、當∠ABC＝3∠ACB時，∴∠ACB＝10°∴此種情況不存在，Ⅲ、當∠BCA＝3∠BAC時，∴∠BAC＋3∠BAC＝150°，∴∠BAC＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°，Ⅳ、當∠BCA＝3∠ABC時，∴∠BCA＝90°，∴∠BAC＝60°，∴∠OAC＝90°?60°＝30°，Ⅴ、當∠BAC＝3∠ABC時，∴∠BAC＝90°，∴∠OAC＝0°，∵點C與點O不重合，∴此種情況不成立，Ⅵ、當∠BAC＝3∠ACB時，∴3∠ACB＋∠ACB＝150°，∴∠ACB＝37.5°，∴此種情況不存在，②當點C在線段OB的延長線上時，∵∠ACO＝30°，∴∠ABC＝150°，∴∠ACB＋∠BAC＝30°，Ⅰ、當∠ACB＝3∠BAC時，∴3∠BAC＋∠BAC＝30°，∴∠BAC＝7.5°，∴∠OAC＝90°＋∠BAC＝97.5°，Ⅱ、當∠BAC＝3∠BCA時，∴3∠BCA＋∠BCA＝30°，∴∠BCA＝7.5°，∴∠BAC＝3∠BCA＝22.5°，∴∠OAC＝90°＋22.5°＝112.5°當△ABC為“智慧三角形”時，∠OAC的度數為80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°．[點睛]本題考查的是三角形內角和定理、“智慧三角形”的概念，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．23.如圖，在△ABC中，點D在BC上，點E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G,EH⊥BE交BC于H，∠HEG=50°.（1）求∠BFD的度數.（2）若∠BAD=∠EBC，∠C=41°，求∠BAC的度數.[答案]（1）∠BFD=40°；（2）∠BAC=99°．[解析]（1）根據垂直定義可得∠BEH=90°，然后求出∠BEG=40°，再根據兩直線平行線，同位角相等可得∠BFD=∠BEG；（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC，然后根據三角形的內角和定理列式計算即可得解．試題解析：（1）∵EH⊥BE，∴∠BEH=90°，∵∠HEG=50°，∴∠BEG=40°，又∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=40°；（2）∵∠BFD=∠BAD+∠ABE，∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=40°，∵∠C=41°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-41°=99°．24.如圖，在△ABC中，∠CAB=∠CBA，過點A向右作AD∥BC，點E是射線AD上的一個動點，∠ACE的平分線交BA的延長線于點F．（1）若∠ACB=40°，∠ACE=38°，求∠F的度數；（2）在動點E運動的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求它的值；若變化，請說明理由．[答案]（1）51°；（2）不發(fā)生變化[解析][分析]（1）根據三角形的內角和以及等腰三角形的性質得到∠B=70°，根據∠ACE=38°，CF平分∠ACE，得到∠ACF=19°，即可求得∠BCF=59°，根據三角形的內角和即可求出∠F的度數；（2）過點C做CH⊥AB于點H,根據等腰三角形三線合一的性質得到∠CEA=x，根據平行線的性質得到∠BCE=180°﹣x，根據角平分線的性質得到∠FCH=∠BCE=90°﹣x，根據直角三角形的性質得到∠F=90°﹣∠FCH=x，得出的值，