數(shù)學(xué)分析課件-21章重積分應(yīng)用

一、曲面的面積設(shè)D

為可求面積的平面有界區(qū)域,

f

(

x,

y)

在

D

上由方程具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)z

f

(

x,

y所表示的曲面S

的面積.(1)

對區(qū)域D

作分割T，把D

分成n

個(gè)小區(qū)域

i(i

1,

2,,n).這個(gè)分割相應(yīng)地將曲面S

也分成n

個(gè)小曲面片Si

(i

1,

2, ,

n).(2)

在每個(gè)

Si

上任取一點(diǎn)Mi

,作曲面在這一點(diǎn)的切近用切平面Ai

代替小曲面片Si

,從而當(dāng)T充分小時(shí),有ii

1

i

1n

nS

S

iA

,平面

i

,并在

i

上取出一小塊Ai

,使得Ai

與Si

在這里S,Si

,Ai

分別圖21

38xyzS

:

z

f

(

x,

y)DOAiiiMSixy

平面上的投影都是

i(見圖21-38).在點(diǎn)Mi

附ni1(3)

當(dāng)

T

0

時(shí),

定義和式

Ai

的極限(若存在)作為S

的面積.現(xiàn)在按照上述曲面面積的概念,來建立曲面面積的計(jì)算公式.為此首先計(jì)算Ai

的面積.由于切平面πi

的法向量就是曲面S在點(diǎn)Mi

(i,i,

i

)處的法向量n,記它與z軸的夾角為

i

,則的面積.表示S,Si1.i|

cos(n,

z)

|

|

cos

|

1

f

2

(

,

)

f

2

(

,

)x

i

i

y

i

i因?yàn)?/p>

Ai

在

xy

平面上的投影為

i

,所以i

x

i

i

y

i

i

icos

A

i

1

f

2

(

,

)

f

2

(

,

)

.i注意到和數(shù)n

nii1

i1i1

f

2

(

,

)

f

2

(

,

)x

i

i

y

i

i

A

是連續(xù)函數(shù)1

f

2

(x,y)

f

2

(x,y)

在有界閉域Dx

y上的積分和,

于是當(dāng)

T

0

時(shí),

上式左邊趨于

S;而右邊趨于22xy1

f

(

x,

y)

f

(

x,

y)

dxdy.D這就得1

f

2

(

x,

y)

f

2

(

x,

y)

dxdy,

(1)x

yDS

(2)|

cos(n,

z)

|S

1

dx

dy.D或另一形式:到曲面S

的面積計(jì)算公式:那一部分的面積.解據(jù)曲面面積公式,S

1

z2

z2

dxdy,x

yD1

2

y2

14,曲面方程2

其中D

是x2

y2

x,即

x

x2

y2例1

求圓錐z

x2

y在圓柱體內(nèi)x2

y2x2

y2,xy,

z

xyx2是

z

y2

.

故

z42dxdy

2D

2

π.S

1

z2

z2

2,x

y若空間曲面S

由參數(shù)方程D參數(shù)曲面的面積公式x

x(u,v),y

y(u,v),z

z(u,v),(u,v)

D

(3)表示，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D

上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且

(

y,

z)

2

(z,

x)

2

(

x,

y)

2

(u,v)

(u,v)

(u,v)

0,

則曲面S

在點(diǎn)(x,y,z)的法線方向?yàn)閚

(

y,

z)

,

(z,

x)

,

(

x,

y)

.

(u,v)

(u,v)

(u,v)

記

(

x,

y)

2

(z,

x)

2

(

y,

z)

2W

(u,v)

(u,v)

(u,v)

(u,

v)

(

x2

y2

z2

)(

x2

y2

z2

)

(

x

x

y

y

z

z

)2

,u

u

u

v

v

v

u

v

u

v

u

vn

與z

軸夾角的余弦則為其中E

x2

y2

z2

,u

uF

xu

xv

yu

yv

zuzv

,G

x2

y2

z2

.v

vEG

F

2

(

x,

y)

1,(4)(u,v)cos(n,

z)

(

x,

y)

W

(u,v)1(u,v)(u,v)當(dāng)(x,y)

0

時(shí),對公式(2)

作變換:|

cos(n,

z)

|x

x(u,v則有S

1

dx

dyD|

cos(n,

z)

|

(

x,

y)

1

(

x,

y)

dudv.D由(4),便得參數(shù)曲面(3)的面積公式：EG

F

2

dudv.(5)DS

例2

求球面上兩條緯線和兩條經(jīng)線之間曲面的面積（圖21-39中陰影部分).

解設(shè)球面的參數(shù)方程為:x

R

cos

cos

,y

R

cos

sin

,z

R

sin

,其中

R

是球面半徑.這里是求當(dāng)1

2

,1

2

時(shí)球面上的面積.由于圖21

39xyzO

2122R2

cos2

,R

,

F

0,

G

E

y2

z

所以EG

F

2

R2

cos

.由公式(5)即得所求曲面的面積:222R

cos

dS

11d注在

R2

(

)(sin

sin

).2

1

2

1曲線的弧長時(shí),

曾用弧內(nèi)接折線長度的極限來定義(當(dāng)各段的長趨于零時(shí)),但能否類似地用曲面的內(nèi)接多邊形面積的極限來定義曲面面積呢?

曾舉出一個(gè)反例說明這樣的定義方法是不可行的，對此讀者可參見有關(guān)的數(shù)學(xué)分析（如菲赫

爾茨《微積分學(xué)

》中譯本第三卷第二分冊).在上冊的定積分應(yīng)用中，曾用微元法給出過旋轉(zhuǎn)面的面積公式，下面用二重積分給予嚴(yán)格證明.*例3

設(shè)平面光滑曲線的方程為y

f

(

x),

x

[a,b]

(

f

(

x)

0).求證此曲線繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面的面積為S

22f

(

x) 1

f

(

x)dx.ba證由于上半旋轉(zhuǎn)面的方程為z

f

2

(x)

y2

,

因此f2

(

x)

y2f

(

xf

(xyz

f

2

(

x)

f

2

(

x)

f

2

(

x)1

z2

z2

x

yf

2

(

x)

y2.f

2

(

x)

f

2

(

x)

f

2

(

x)f

(

x

)f2

(

x)

y2

f

(

x

)dxdyba

S

2f

(

x

)0f

(

x)y2f2

(

x)1

f

2

(

x)

y

d

f

(

x)

1

ba

4

dx

121

t

20

1

dtba

4f

(

x) 1

f

(

x)

dx2

2baf

(

x) 1

f

(

x)

dx.不妨設(shè)

f

(x)

0,x

[a,b],則二、重

心設(shè)密度函數(shù)為

(x,y,z)的空間物體V，

(x,y,z)在V

上連續(xù).為求得

V

的重心坐標(biāo),先對V

作分割

T,i是小塊

V

的質(zhì)量可用

(i

,i

,

i

)Vi近似代替,若把每一塊看作質(zhì)量集中在

(i

,i

,

i

)的質(zhì)點(diǎn)時(shí),整個(gè)物體就可用這n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系來近似代替.由質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)公式為在屬于T

的每一小塊Vi上任取一點(diǎn)

(i,i,

i

),于nnnx

i

1

,i

(i,i

,

i

)Vi

(i

,i

,

i

)Vii

1nnny

i

1

,i

(i

,i

,

i

)Vi,

(i

,i

,

i

)Vii

1nnn

i

(i

,i

,

i

)Vi

i

1

(i

,i

,

i

)Vii

1z

的重心坐標(biāo):

x

(

x,

y,

z)dVx

V

,

(

x,

y,

z)dVV

y

(

x,

y,

z)dVy

V

,

(

x,

y,

z)dVVz

V

.

z

(

x,

y,

z)dV

(

x,

y,

z)dVV當(dāng)物體V

的密度均勻分布時(shí),即

為常數(shù)時(shí)，則有當(dāng)

T

自然地可把它們的極限定義作為Vx

1V

V

VVV

V

xdV

,

y

1

ydV

,

z

1

zdV

.x

D

,y

D

.同樣可以得到,密度函數(shù)為

(x,y)的平面薄板D

的重心坐標(biāo):

x

(

x,

y)d

y

(

x,

y)d

(

x,

y)dD

(

x,

y)dD當(dāng)

為常數(shù)時(shí)，則有x

1

xd

,D

DD

Dy

1

yd

.例4

求密度均勻的上半橢球體的重心.x2

y2

z2

1,z

0

表示.借助對b2

c2解設(shè)橢球體由a2稱性知道

x

0又由

為常數(shù),所以

z

dV.23

z

dxdydzVπabcz

V

dVV由§5

例5

已知2

abc

3c

,3

84z

abc2故得4

z

dxdydz

abc2

,V8即求得上半橢球體的重心坐標(biāo)為(0,0,3c

).三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)

A

對于軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J

mr

2

,

其中m

是A

的質(zhì)量,r

是A

與l

的距離.現(xiàn)在

空間物體

V

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問題,

仍然采用前面的辦法,把

V

看作由

n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，然后用取極限的方法求得

V

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)

(x,y,z)為V

的密度函數(shù),它在V

上連續(xù).照例對V

作分割T,在屬于T

的每一小塊Vi

上任取一點(diǎn)當(dāng)以質(zhì)點(diǎn)系(i

,i

,

i

),i

1,2,質(zhì)點(diǎn)系對于x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是2

2

)

(

,

,

)V

.i

i

i

i

ix

,i

1nJ令

T

0,

上述和式的極限就是V

對于x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣量:Jx

(

y

z

)(

x,

y,

z)dV

.2

2V(i

,i

,

i

),以(i

,i

,

i

)Vi近似替代Vi

的質(zhì)量.,n近似替代V

時(shí),類似可得V

對于y

軸與z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J

y

(z

x

)(

x,

y,

z)dV

,2

2VJz

(

x

y

)(

x,

y,

z)dV

.2

2V同理,物體V對于坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Jxy

z

(

x,

y,

z)dV

,2VJ

yz

x

(

x,

y,

z)dV

,2VJzx

y

(

x,

y,

z)dV

.2V同樣地,平面薄板D

對于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jx

y

(

x,

y)d

,

J

y

x

(

x,

y)d

;2

2D

D平面薄板D

對于軸l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jl

r

(

x,

y)(

x,

y)d

,2D其中r(x,y)為D

中點(diǎn)(x,y)到l

的距離.例5

求密度均勻的圓環(huán)

D

對于垂直于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(圖21-40).解設(shè)圓環(huán)D

為R2

x2

y2

R2

,1

2密度為

,則D

中任一點(diǎn)(

x與z

軸的距離平方2R12J

(

x2D230

y

)d

dr

drR圖21

40xyzO為x2

y2

.于是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2

1

2

1

(R4

R4

)

m

(

R2

R2

),例6

求均勻圓盤

D

對其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(圖21-41).解設(shè)圓盤D

為x2

y2

R2

,密度為

,求對于y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.由于D

內(nèi)任一點(diǎn)(

xJ

與y

軸的距離為x

,故yR

x圖21

41DO其中m

(為圓環(huán)的質(zhì)量.2

2222200

x

d

d(r

cos

)

r

drR

D422300

πRcos

d

r

dr

rdr

4

4

1

mR2

,R

其中m

為圓盤的質(zhì)量.例7

設(shè)某球體的密度與各點(diǎn)到球心的距離成正比，試求它對于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解設(shè)球體由不等式y(tǒng)2

z2

R2

表示;密度函數(shù)為kx2

y2

z2

,

k

為比例常數(shù);取切平面方程為x

R.

則球體對于此平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

x)2

dxdydzVJ

k

2ππ000ddR(R

r

sin

cos

)2

r

3

sindr

k2π2π30

kR2000dr

drsin

d

2kRcosd

R2π4225300000r

drsin

d

kcos

dr

drsin

d

,RR9J

11

k

R6

.經(jīng)詳細(xì)計(jì)算,可得四、引

力V

對

外單位質(zhì)點(diǎn)A求密度為

(x,y,z)的的引力.設(shè)A

的坐標(biāo)為(

,

,

),V

中點(diǎn)的坐標(biāo)用(x,y,z)表示,現(xiàn)用微元法來求

V

對A

的引力.V

中質(zhì)量微元對A

的引力在坐標(biāo)軸上的投影為xyr

3

r

3dF

k

x

dV

,

dF

k

y

d