邊值問(wèn)題的數(shù)值解法課件

（8.6.3）這里的為在處的斜率。令，上述二階方程可降為一階方程組（8.6.4）因此，邊值問(wèn)題變成求合適的，使上述方程組初值問(wèn)題的解滿足原邊值問(wèn)題的右端邊界條件，從而得到邊值問(wèn)題的解。這樣，把一個(gè)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的數(shù)值解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一階方程組初值問(wèn)題的數(shù)值解問(wèn)題。方程組初值問(wèn)題的所有數(shù)值方法在這里都可以使用。問(wèn)題的關(guān)鍵是如何去找合適的初始斜率的試探值。對(duì)給定的，設(shè)初值問(wèn)題（8.6.3）的解為，它是的隱函數(shù)。假設(shè)隨是連續(xù)變化的，記為，于是我們要找的就是方程（8.6.3）這里的為在處的斜率的根?？梢杂玫?章的迭代法求上述方程的根。比如用割線法有（8.6.5）這樣，可以按下面簡(jiǎn)單的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行求解。先給定兩個(gè)初始斜率，分別作為初值問(wèn)題（8.6.4）的初始條件。用一階方程組的數(shù)值方法求解它們，分別得到區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)的計(jì)算值和。如果

或，則以或作為兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解。否則用割線法（8.6.5）求，同理得到，再判斷它是否滿足精度要求。如此重復(fù)，直到某個(gè)滿足，此時(shí)得到的和就是邊值問(wèn)題的解函數(shù)值和它的一階導(dǎo)數(shù)值。上述方程好比打靶，作為斜率為子彈的發(fā)射，為靶心，故稱為打靶法。的根?？梢杂玫?章的迭代法求上述方程的根。比如用割線法有（8

值得指出的是，對(duì)于線性邊值問(wèn)題（8.6.2），一個(gè)簡(jiǎn)單又實(shí)用的方法是用解析的思想，將它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)初值問(wèn)題：求得這兩個(gè)初值問(wèn)題的解和，若，容易驗(yàn)證(8.6.6)為線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（8.6.2）的解。例8.7用打靶法求解線性邊值問(wèn)題值得指出的是，對(duì)于線性邊值問(wèn)題（8.6.2），其解的解析表達(dá)式為。解先將該線性邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)初值問(wèn)題令，將上述兩個(gè)邊值問(wèn)題分別降為一階方程組初值問(wèn)題其解的解析表達(dá)式為的打靶法計(jì)算值，部分點(diǎn)上的計(jì)算值、精確值和誤差列于表8-12。取h=0.02，用經(jīng)典R-K法分別求這兩個(gè)方程組解和的計(jì)算值和，然后按（8.6.6）得精確解iy1的打靶法計(jì)算值，部分點(diǎn)上的計(jì)算值、精確值和誤差列于表8-120000000.2-0.0024079910.2040079890.20160000530.20160000000.4-0.0066550310.4322550240.42560000800.42560000000.60.0196724130.7099275710.72960000830.72960000000.80.1455295851.0640703851.20960000581.20960000001.00.4755701491.5244284552.00000000002.00000000000例8.8用打靶法求解線性邊值問(wèn)題要求誤差不超過(guò)，其解析解是。解對(duì)應(yīng)于（8.6.4）的初值問(wèn)題為表8-1200對(duì)于每一個(gè)，取h=0.02，用經(jīng)典R-K法求解。初選，求得=11.4889，則有。再選，求得=11.8421，則有。以作為割線法迭代初值，由割線法計(jì)算由此得，仍然不滿足精度要求。由和用割線法得到。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到，再求解相應(yīng)的初值問(wèn)題，得到，有。于是得到邊值問(wèn)題的解，打靶過(guò)程和邊值問(wèn)題的計(jì)算解分別列于表8-13和8-14對(duì)于每一個(gè)，取h=0.02，用經(jīng)典R-K法表8-131.52.52.0032241.9999792.00000011.48891411.84214111.66780511.66665911.6666672.08802.28.47636363788.47636363642.49.09333333529.09333333332.69.83692307859.83692307692.810.697142656210.69714285713.011.666666666911.6666666667表8-14計(jì)算結(jié)果表明打靶法的效果是很好的，計(jì)算精度取決于所選取的初值問(wèn)題數(shù)值方法的階和所選取的步長(zhǎng)h的大小。不過(guò)，打靶法過(guò)分依賴于經(jīng)驗(yàn)，選取試射值，有一定的局限性。表8-131.5

差分方法是解邊值問(wèn)題的一種基本方法，它利用差商代替導(dǎo)數(shù)，將微分方程離散化為線性或非線性方程組（即差分方程）來(lái)求解。先考慮線性邊值問(wèn)題（8.6.2）的差分法。將區(qū)間分成n等分，子區(qū)間的長(zhǎng)度，分點(diǎn)。由8.6.2差分方法差分方法是解邊值問(wèn)題的一種基本方法，它利用差商代替導(dǎo)數(shù)，忽略余項(xiàng)，將差商分別代替（8.6.2）式中節(jié)點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)，實(shí)現(xiàn)離散化。設(shè)，用近似表示，建立差分方程整理后得到關(guān)于的線性方程組（8.6.7）利用邊界條件，將它們分別代入上面k=1和k=n-1的兩個(gè)方程中，整理后得到關(guān)于的方程組(8.6.8)忽略余項(xiàng)，將差商分別代替（8.6.2）式中節(jié)點(diǎn)這是一個(gè)三對(duì)角方程組。若，且步長(zhǎng)滿足，則方程組（8.6.8）的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的。此時(shí)，方程組（8.6.8）的解存在惟一，用追趕法求解此方程組時(shí)一定是數(shù)值穩(wěn)定的，用Jacobi迭代法求解此方程組時(shí)一定是收斂的。其中。因此，當(dāng)時(shí)，差分方程的解收斂到微分方程邊值問(wèn)題的解。在應(yīng)該用上，有時(shí)邊界條件按以下方式給出：

若，則由常微分方程的理論得出，兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（8.6.2）的解存在惟一。設(shè)是差分問(wèn)題（8.6.8），而是邊值問(wèn)題（8.6.2）的解在節(jié)點(diǎn)的值，，則截?cái)嗾`差有下列估計(jì)式這是一個(gè)三對(duì)角方程組。其中這里均為已知常數(shù)。這時(shí)，邊界條件中所包含的導(dǎo)數(shù)也要替換成相應(yīng)的差商：它們和差分方程（8.6.7）一起，仍然構(gòu)成包含n+1個(gè)未知的線性方程組。例8.7取不同的步長(zhǎng)h，用差分方法求解線性邊值問(wèn)題：其解析解是。解本題的。取，由方程組（8.6.8）得這里均為已解此方程組得。而解析解是。由于節(jié)點(diǎn)少，步長(zhǎng)太大，所以計(jì)算精度差。當(dāng)n=10時(shí)，，部分計(jì)算結(jié)果列于表8-15。當(dāng)n=20時(shí)，近似解誤差的最大絕對(duì)值不超過(guò)。當(dāng)n=500時(shí)，誤差的最大絕對(duì)值不超過(guò)。因此，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，精度提高。0-1.0000-1.00000-0.6413-0.6420-0.2198-0.22120.22290.22120.64330.64201.00001.00000表8-150解此方程組得

對(duì)于非線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，其離散化后所得到的方程組是非線性的。下面說(shuō)明用有限差分求非線性邊值問(wèn)題（8.6.1）的數(shù)值解。區(qū)間劃分與離散化方法同線性情形，得到在處的差分方程：利用邊界條件，將它們分別代入k=1和k=n-1的兩個(gè)方程中，并將已知量移到方程的右邊，得到關(guān)于的非線性方程組：對(duì)于非線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，其離散化后所得到的方程可以用非線性方程組迭代解法解此方程組。就差分方法而言，常微分方程的數(shù)值解法與偏微分方程的數(shù)值解法有著緊密的聯(lián)系，有關(guān)內(nèi)容可進(jìn)一步參看偏微分方程數(shù)值解法的有關(guān)文獻(xiàn)?？梢杂梅蔷€性方程組迭代解法解此方程組。（8.6.3）這里的為在處的斜率。令，上述二階方程可降為一階方程組（8.6.4）因此，邊值問(wèn)題變成求合適的，使上述方程組初值問(wèn)題的解滿足原邊值問(wèn)題的右端邊界條件，從而得到邊值問(wèn)題的解。這樣，把一個(gè)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的數(shù)值解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一階方程組初值問(wèn)題的數(shù)值解問(wèn)題。方程組初值問(wèn)題的所有數(shù)值方法在這里都可以使用。問(wèn)題的關(guān)鍵是如何去找合適的初始斜率的試探值。對(duì)給定的，設(shè)初值問(wèn)題（8.6.3）的解為，它是的隱函數(shù)。假設(shè)隨是連續(xù)變化的，記為，于是我們要找的就是方程（8.6.3）這里的為在處的斜率的根?？梢杂玫?章的迭代法求上述方程的根。比如用割線法有（8.6.5）這樣，可以按下面簡(jiǎn)單的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行求解。先給定兩個(gè)初始斜率，分別作為初值問(wèn)題（8.6.4）的初始條件。用一階方程組的數(shù)值方法求解它們，分別得到區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)的計(jì)算值和。如果

或，則以或作為兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解。否則用割線法（8.6.5）求，同理得到，再判斷它是否滿足精度要求。如此重復(fù)，直到某個(gè)滿足，此時(shí)得到的和就是邊值問(wèn)題的解函數(shù)值和它的一階導(dǎo)數(shù)值。上述方程好比打靶，作為斜率為子彈的發(fā)射，為靶心，故稱為打靶法。的根?？梢杂玫?章的迭代法求上述方程的根。比如用割線法有（8

值得指出的是，對(duì)于線性邊值問(wèn)題（8.6.2），一個(gè)簡(jiǎn)單又實(shí)用的方法是用解析的思想，將它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)初值問(wèn)題：求得這兩個(gè)初值問(wèn)題的解和，若，容易驗(yàn)證(8.6.6)為線性兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（8.6.2）的解。例8.7用打靶法求解線性邊值問(wèn)題值得指出的是，對(duì)于線性邊值問(wèn)題（8.6.2），其解的解析表達(dá)式為。解先將該線性邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)初值問(wèn)題令，將上述兩個(gè)邊值問(wèn)題分別降為一階方程組初值問(wèn)題其解的解析表達(dá)式為的打靶法計(jì)算值，部分點(diǎn)上的計(jì)算值、精確值和誤差列于表8-12。取h=0.02，用經(jīng)典R-K法分別求這兩個(gè)方程組解和的計(jì)算值和，然后按（8.6.6）得精確解iy1的打靶法計(jì)算值，部分點(diǎn)上的計(jì)算值、精確值和誤差列于表8-120000000.2-0.0024079910.2040079890.20160000530.20160000000.4-0.0066550310.4322550240.42560000800.42560000000.60.0196724130.7099275710.72960000830.72960000000.80.1455295851.0640703851.20960000581.20960000001.00.4755701491.5244284552.00000000002.00000000000例8.8用打靶法求解線性邊值問(wèn)題要求誤差不超過(guò)，其解析解是。解對(duì)應(yīng)于（8.6.4）的初值問(wèn)題為表8-1200對(duì)于每一個(gè)，取h=0.02，用經(jīng)典R-K法求解。初選，求得=11.4889，則有。再選，求得=11.8421，則有。以作為割線法迭代初值，由割線法計(jì)算由此得，仍然不滿足精度要求。由和用割線法得到。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到，再求解相應(yīng)的初值問(wèn)題，得到，有。于是得到邊值問(wèn)題的解，打靶過(guò)程和邊值問(wèn)題的計(jì)算解分別列于表8-13和8-14對(duì)于每一個(gè)，取h=0.02，用經(jīng)典R-K法表8-131.52.52.0032241.9999792.00000011.48891411.84214111.66780511.66665911.6666672.08802.28.47636363788.47636363642.49.09333333529.09333333332.69.83692307859.83692307692.810.697142656210.69714285713.011.666666666911.6666666667表8-14計(jì)算結(jié)果表明打靶法的效果是很好的，計(jì)算精度取決于所選取的初值問(wèn)題數(shù)值方法的階和所選取的步長(zhǎng)h的大小。不過(guò)，打靶法過(guò)分依賴于經(jīng)驗(yàn)，選取試射值，有一定的局限性。表8-131.5

差分方法是解邊值問(wèn)題的一種基本方法，它利用差商代替導(dǎo)數(shù)，將微分方程離散化為線性或非線性方程組（即差分方程）來(lái)求解。先考慮線性邊值問(wèn)題（8.6.2）的差分法。將區(qū)間分成n等分，子區(qū)間的長(zhǎng)度，分點(diǎn)。由8.6.2差分方法差分方法是解邊值問(wèn)題的一種基本方法，它利用差商代替導(dǎo)數(shù)，忽略余項(xiàng)，將差商分別代替（8.6.2）式中節(jié)點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)，實(shí)現(xiàn)離散化。設(shè)，用近似表示，建立差分方程整理后得到關(guān)于的線性方程組（8.6.7）利用邊界條件，將它們分別代入上面k=1和k=n-1的兩個(gè)方程中，整理后得到關(guān)于的方程組(8.6.8)忽略余項(xiàng)，將差商分別代替（8.6.2）式中節(jié)點(diǎn)這是一個(gè)三對(duì)角方程組。若，且步長(zhǎng)滿足，則方程組（8.6.8）的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的。此時(shí)，方程組（8.6.8）的解存在惟一，用追趕法求解此方程組時(shí)一定是數(shù)值穩(wěn)定的，用Jacobi迭代法求解此方程組時(shí)一定是收斂的。其中。因此，當(dāng)時(shí)，差分方程的解收斂到微分方程邊值問(wèn)題的解。在應(yīng)該用上，有時(shí)邊界條件按以下方式給出：

若，則由常微分方程的理論得出，兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（8.6.2）的解存在惟一。設(shè)是差分問(wèn)題（8.6.8），而是邊值問(wèn)題（8.6.2）的解在節(jié)點(diǎn)的值，，則截?cái)嗾`差有下列估計(jì)式這是一個(gè)三對(duì)角方程組。其中這里均為已知常數(shù)。這時(shí)，邊界條件中所包含的導(dǎo)數(shù)也要替換成相應(yīng)的差商：它們和差分方程（8.6.7）一起，仍然構(gòu)成包含n+1個(gè)未知的線性方程組。例8.7取不同的步長(zhǎng)h，用差分方法求解線性邊值問(wèn)題：其解析解是。解本題的。取