【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)三：基本不等式（一）

不等式的性質(zhì)環(huán)節(jié)三基本不等式（一）問題1請同學(xué)們閱讀課本第44頁，說一說本節(jié)我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？在不等式中起著怎樣的作用？答案：類比代數(shù)式運算的研究，學(xué)習(xí)了一般運算之后，就要探索其特殊關(guān)系，這些特殊關(guān)系往往具有重要作用，比如乘法公式等等．那么學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，我們就要嘗試探索一些特殊的不等式——基本不等式．它是一種重要而基本的不等式類型，與乘法公式在代數(shù)運算的地位一樣，在解決不等式問題中有重要的作用，它之所以被稱為“基本不等式”，主要是因為它可以作為不等式論的基本定理，成為支撐其他許多非常重要結(jié)果的基石．一、整體感知一、整體感知重要不等式：a2＋b2≥2ab基本不等式表明兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)．如果a＞0，b＞0，用

代替a，b，得到：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．幾何平均數(shù)代數(shù)平均數(shù)基本不等式1．基本不等式的定義問題2閱讀教科書第44頁，回答什么是基本不等式？它是怎樣得到的？二、新知探究1．基本不等式的定義追問不等式中a，b的取值范圍是什么？它和原不等式中的范圍一樣嗎？為什么？答案：a，b均為非負數(shù)．只有a，b均為非負數(shù)，才能用代替a2+b2≥2ab中的a，b．二、新知探究2．基本不等式的證明問題3你能否直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？請你試一試．追問1我們學(xué)習(xí)過充分條件和必要條件，你能否從需要求證的式子出發(fā)，尋找使不等式成立的充分條件，從而形成證明思路？二、新知探究2．基本不等式的證明答案：要證，①要證①，只要證．②要證②，只要證．③要證③，只要證．④要證④，只要證．⑤顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，⑤中的等號成立．每一個“只要證”都是“要證”成立的充分條件，那么只要把過程倒過來，就可直接推出基本不等式了．（不等式性質(zhì)4）（不等式性質(zhì)3）（完全平方公式）（不等式性質(zhì)4）追問2上述證明中，每一步推理的依據(jù)是什么？過程：執(zhí)果索因分析法二、新知探究2．基本不等式的證明追問3上述的證明方法叫做“分析法”．你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？相比以前常用的證明方法（綜合法——“執(zhí)因索果”），說說“分析法”的優(yōu)勢是什么？答案：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止．分析法常用于證明已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要哪些知識不太明確具體的情況．這時可以嘗試從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件．二、新知探究2．基本不等式的證明追問4根據(jù)教科書上的證明過程，你能說說分析法的書寫格式是怎樣的嗎？答案：由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書寫過程中必須有相應(yīng)的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格式，當(dāng)推導(dǎo)到一個明顯成立的條件之后，指出“顯然×××成立”．二、新知探究

解：半徑OD為

，可得弦DE長的一半CD為

，由CD≤OD，得到

幾何解釋問題4

如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD

．你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？3.基本不等式的幾何解釋圓的半徑不小于任意一條弦的長度的一半二、新知探究二、新知探究4.基本不等式的簡單應(yīng)用例1已知x>0，求

的最小值．追問1一個實數(shù)y0滿足哪些條件才能作為的最小值？答案：需要滿足兩個條件：（1）x0>0，使得y0=x0+；（2）對x>0，使得x+≥y0．

二、新知探究4．基本不等式的簡單應(yīng)用追問2本題中代數(shù)式有什么結(jié)構(gòu)特點？是否可以利用基本不等式求它的最小值？如果能？如何求？答案：代數(shù)式是x與的算術(shù)平均數(shù)的2倍，且x與的幾何平均數(shù)是個定值，所以可以利用基本不等式求解．解：因為x>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x2=1，x=1時，等號成立．因此所求的最小值為2．4．基本不等式的簡單應(yīng)用追問3在上述求解過程中，是否必須說明“當(dāng)且僅當(dāng)時，即x2=1，x=1時，等號成立”？答案：必須說明．這才可以說明“2”是“”的一個取值．二、新知探究

反思：結(jié)合函數(shù)的圖象及例1的解答，你能總結(jié)什么條件的代數(shù)式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？xyO注意：在利用基本不等式求最值時，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”的條件．二、新知探究4．基本不等式的簡單應(yīng)用追問4以下是例1三道變式題的求解過程，你認(rèn)為是否正確？若不正確，錯在哪兒？為什么？依此你能總結(jié)滿足什么條件的代數(shù)式能用基本不等式求最值嗎？二、新知探究

4．基本不等式的簡單應(yīng)用變式（1）已知x≠0，求的最小值．解：因為x≠0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x2=1，x=1時，等號成立．因此所求的最小值為2．答案：變式（1）解答錯誤，當(dāng)x<0時，不等式不成立．基本不等式的適用條件是a>0，b>0．二、新知探究4．基本不等式的簡單應(yīng)用（2）已知x≥2，求的最小值．解：因為x≥2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x2=1，x=1時，等號成立．因此所求的最小值為2．答案：變式（2）解答錯誤，因為x≥2時，≥2的等號不成立，“2”不是“”的一個取值，所以2不是的最小值．二、新知探究4．基本不等式的簡單應(yīng)用（3）已知x>1，求的最小值．解：因為x>1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x=2時，等號成立．因此所求的最小值為4．答案：變式（3）解答錯誤，當(dāng)x=時，，所以顯然4不是所求的最小值．因為中不是定值．用基本不等式求一個代數(shù)式的最小值，必須先得到這個代數(shù)式大于或等于某個定值恒成立，然后再判斷能否取到等號．二、新知探究4．基本不等式的簡單應(yīng)用用基本不等式求最值的條件：①代數(shù)式是否能轉(zhuǎn)化為兩個正數(shù)的和或積的形式，②它們的積或者和是否是一個定值，③不等式的等號是否能取到，通俗的說，就是代數(shù)式是否滿足或者轉(zhuǎn)化后滿足“一正二定三相等”若滿足，就可以用基本不等式求最值．答案：變式（3）正解：因為x>1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，x=時，等號成立，所以所求的最小值為二、新知探究

4．基本不等式的簡單應(yīng)用例2已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值

2

；（2）如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值

．解：因為x，y都是正數(shù)，所以．（1）當(dāng)積xy等于定值P時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x

=y時，等號成立．則當(dāng)x

=y時，和x+y有最小值

2

．（2）當(dāng)和x+y等于定值S時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x

=y時，等號成立．則當(dāng)x

=y時，積xy有最大值

．二、新知探究

三、歸納總結(jié)問題5本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了基本不等式，請同學(xué)們回顧今天所學(xué)內(nèi)容，思考以下問題：（1）什么是基本不等式？基本不等式的證明方法是什么？（2）基本不等式的代數(shù)特征是什么?如何從幾何圖形上進行解釋？（3）基本不等式可以解決哪兩類數(shù)學(xué)問題？應(yīng)注意什么？（4）你能在前兩課時的基礎(chǔ)上，繼續(xù)補充本單元的知識結(jié)構(gòu)圖嗎？答案：（1）通常稱（a>0，b>0）為基本不等式．其中叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，叫做a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式的證明方法是分析法——“執(zhí)果索因”的證明方法；（2）代數(shù)特征