2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題15 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 講義 （解析版）

第Page\*MergeFormat18頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁專題15同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式1．（2022·新高考Ⅱ卷）若，則（）A． B．C． D．2．（2021·全國甲卷）若,，則（）A． B． C． D．1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號看象限【常用結(jié)論】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.考點一同角三角函數(shù)基本關(guān)系【方法總結(jié)】(1)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.1．已知cosα＝－eq\f(5,13)，則13sinα＋5tanα＝.考點二誘導(dǎo)公式【方法總結(jié)】(1)誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟任意負(fù)角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up11(利用誘導(dǎo)公式),\s\do4(三或一))任意正角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up7(利用誘導(dǎo)公式一))0～2π內(nèi)的角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up11(利用誘導(dǎo)公式二),\s\do4(或四或五或六))銳角三角函數(shù)．2．(2022·鹽城南陽中學(xué)月考)設(shè)tan(5π＋α)＝2，則eq\f(sin－3π＋α＋cosα－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝.考點三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【方法總結(jié)】(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．(2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．3．已知f(α)＝eq\f(sinα－3πcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－π－αsin－π－α).(1)化簡f(α)；(2)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值；(3)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(π,2)))＝eq\f(1,5)，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，求f(α)的值．一、單選題1．（2022·長春模擬）已知，，則（）A． B． C． D．2．（2022·武漢模擬）已知，，則（）A． B． C． D．3．（2022·晉中模擬）若，則等于（）A． B．2 C．-1 D．4．（2022·山東模擬）若，（）A． B． C． D．5．（2022·聊城模擬）已知，則的值為（）A． B． C． D．6．（2022·鄭州模擬）已知，則（）A． B． C． D．7．（2022·汕頭模擬）已知，，則（）A． B． C． D．8．（2022·衡陽模擬）已知為角終邊上一點，則（）A． B． C． D．9．（2022·淄博模擬）已知，且，則（）A． B． C．-1 D．110．（2022·河南模擬）已知，則（）A． B． C． D．二、填空題11．（2022·河南模擬）已知，，則．12．（2022·泰安模擬）已知，則．13．（2022·黃浦模擬）若，則.14．（2022·浙江）若，則，．15．（2022·馬鞍山模擬）已知，則的值為．三、解答題16．（2022·和平模擬）在中，，，.（1）求AB的長；（2）求；（3）求的值.17．（2021高三上·洮南月考）在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的值．18．（2022·河南模擬）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）若，，求AB邊上的高．19．（2022·東陽模擬）已知角的頂點與原點O重合，它的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點.（1）求的值；（2）求值：.20．（2022·遼陽二模）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求C；（2）若，求專題15同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式1．（2022·新高考Ⅱ卷）若，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)兩角和的正弦、余弦公式化簡已知式子得：，即：，即：，所以，故答案為：C2．（2021·全國甲卷）若,，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由題意得，則，解得sinα=，又因為,所以所以故答案為：A1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號看象限【常用結(jié)論】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.考點一同角三角函數(shù)基本關(guān)系【方法總結(jié)】(1)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.1．已知cosα＝－eq\f(5,13)，則13sinα＋5tanα＝.【答案】0【解析】∵cosα＝－eq\f(5,13)<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，則sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq\f(12,5).此時13sinα＋5tanα＝13×eq\f(12,13)＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)))＝0.②若α是第三象限角，則sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq\f(12,5)，此時，13sinα＋5tanα＝13×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋5×eq\f(12,5)＝0.綜上，13sinα＋5tanα＝0.考點二誘導(dǎo)公式【方法總結(jié)】(1)誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟任意負(fù)角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up11(利用誘導(dǎo)公式),\s\do4(三或一))任意正角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up7(利用誘導(dǎo)公式一))0～2π內(nèi)的角的三角函數(shù)eq\o(→,\s\up11(利用誘導(dǎo)公式二),\s\do4(或四或五或六))銳角三角函數(shù)．2．(2022·鹽城南陽中學(xué)月考)設(shè)tan(5π＋α)＝2，則eq\f(sin－3π＋α＋cosα－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝.【答案】3【解析】由已知tan(5π＋α)＝tanα＝2，eq\f(sin－3π＋α＋cosα－π,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(11,2)π))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝eq\f(sinπ＋α＋cosπ－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝3.考點三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【方法總結(jié)】(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．(2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．3．已知f(α)＝eq\f(sinα－3πcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－π－αsin－π－α).(1)化簡f(α)；(2)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值；(3)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(π,2)))＝eq\f(1,5)，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝eq\f(sinα－3πcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－π－αsin－π－α)＝eq\f(－sinα×cosα×－cosα,－cosα×sinα)＝－cosα.(2)若α＝－eq\f(31π,3)，則f(α)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－cos

eq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(3)由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(π,2)))＝eq\f(1,5)，可得sinα＝－eq\f(1,5)，因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα＝－eq\f(2\r(6),5)，所以f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6),5).一、單選題1．（2022·長春模擬）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，由于，所以，所以.故答案為：C2．（2022·武漢模擬）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，所以.故答案為：C3．（2022·晉中模擬）若，則等于（）A． B．2 C．-1 D．【答案】C【解析】解：原式.故答案為：C4．（2022·山東模擬）若，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，.故答案為：B.5．（2022·聊城模擬）已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：.故答案為：A.6．（2022·鄭州模擬）已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，分子分母同除得，解得，所以。故答案為：C7．（2022·汕頭模擬）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，所以，，.故答案為：A8．（2022·衡陽模擬）已知為角終邊上一點，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】為角終邊上一點，，.故答案為：C.9．（2022·淄博模擬）已知，且，則（）A． B． C．-1 D．1【答案】C【解析】，，，或，由平方可得，即，由平方可得，即，因為，所以，，綜上，.故答案為：C10．（2022·河南模擬）已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以，即，故。故答案為：B.二、填空題11．（2022·河南模擬）已知，，則．【答案】【解析】，因為，所以，故答案為：.12．（2022·泰安模擬）已知，則．【答案】-2【解析】故答案為：-2.13．（2022·黃浦模擬）若，則.【答案】【解析】因為，所以，故答案為：.14．（2022·浙江）若，則，．【答案】；【解析】∵，利用誘導(dǎo)公式可得，變形可得，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，解得，，．故答案為：；15．（2022·馬鞍山模擬）已知，則的值為．【答案】【解析】解：因為，所以，故答案為：.三、解答題16．（2022·和平模擬）在中，，，.（1）求AB的長；（2）求；（3）求的值.【答案】（1）解：由，且可得.由正弦定理有，得（2）解：由題意可得（3）解：由（2），，由二倍角公式可得：，故【解析】(1)首先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計算出sinB的取值，再把結(jié)果代入到正弦定理計算出邊的大小。(2)根據(jù)題意由誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。(3)由已知條件結(jié)合二倍角的余弦公式計算出結(jié)果，再把結(jié)果代入到兩角和的余弦公式由此計算出結(jié)果即可。17．（2021高三上·洮南月考）在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的值．【答案】（1）解：，（2）解：，；，；由余弦定理得：，解得：，由得：，.【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，與三角形面積公式，結(jié)合余弦定理，運用方程思想求解即可.18．（2022·河南模擬）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，