第25章解直角三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

第25章解直角三角形知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)及練習(xí)題考點(diǎn)一、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半?！螦=30°可表示如下：BC=AB∠C=90°3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=AB=BD=ADD為AB的中點(diǎn)4、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)如圖：已知∠ACB=90°CD⊥AB則有6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC考點(diǎn)二、直角三角形的判定1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形?？键c(diǎn)三、銳角三角函數(shù)的概念1、如圖，在△ABC中，∠C=90°①銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即③銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即④銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即2、銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在104、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方關(guān)系：（3）倒數(shù)關(guān)系：tanAtan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系：tanA=5、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí)，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?）余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅┛键c(diǎn)四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：考點(diǎn)五、解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角，從上向下看，視線與水平線的夾角叫俯角。如圖所示．如圖所示坡面的鉛直高度（）和水平長(zhǎng)度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作，即，通常寫(xiě)成1：m的形式．坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作，有BCA例1如圖，在Rt△ABC中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）BCAA．B．C．D．解題思路：運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系，選D例2．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinB=，則cosA的值是()A．B．C．D．解題思路：運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系，例1選D，例2選C例3計(jì)算：解題思路：，原式=例4：如圖，已知AC=1，求BD。解題思路：將未知線段設(shè)為，通過(guò)列方程來(lái)解直角三角形是常用的有效方法。設(shè)BD=x，根據(jù)圖形有AC=CD=1BD+CD=AC

∴

∴例5：如圖，已知中，∠B=45°，∠C=30°，BC=3+，求AB的長(zhǎng)。解題思路：解直角三角形中，需將已知角置于直角三角形中，故“構(gòu)造直角三角形”是常見(jiàn)的作輔助線的方法，簡(jiǎn)單說(shuō)就是“作高”。解：作AD⊥BC于D

∵

∴AD=BD∴

設(shè)BD=AD=

在中，

∴即∵

∴

∴

∴【實(shí)彈射擊】一、選擇題。1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，則sinA＝（）A、eq\f(1,3)B、eq\f(2,3)C、eq\f(2,3)eq\r(2)D、eq\f(\r(2),3)2、在△ABC中，∠C=90°，a,b,c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，下列各式錯(cuò)誤的是（）A、a=c·sinAB．b=c·cosB C．b=a·tanB D．a(chǎn)=b·tanA3、若0°<a<45°，則下列各式中正確的是（）A、sina>cosaB、cosa>sinaC、tana>1D、tana>4、如果α為銳角，那么sinα+cosα的值（）A.小于1

B.等于1C.大于1

D.不能確定范圍5、若∠A為銳角，cosA=,則有（）A、0°<∠A<30°B、30°<∠A<45°C、45°<∠A<60°D60°<∠A<90°6、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，∠DAC=30°，BD=2，AB=，則AC長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．7、已知∠A＋∠B＝90°，則下列各式中正確的是（）A、sinA＝cosAB、cosA＝cosBC、sinA＝cosBD、tanA＝tanB8、若sinα=cos70°，則角α等于（）A．70°；B．60°；

C．45°；D．20°．9、若∠A為銳角，且cosA≤,那么（）A、00≤A≤600B、600≤A≤900C、00≤A≤300D、300≤A≤900二、填空題。1、Rt△ABC中，若sinA＝eq\f(4,5)，AB＝10，那么BC＝，tanB＝2、在△ABC中，∠C＝90°，AC=6，BC=8，那么sinA=3、用“>”或“<”連結(jié)：cos18°cos18°3ˊ；tan31°tan32°；sin39°cos51°4、在一艘船上看海岸上高42米的燈塔頂部的仰角為30度，船離海岸線米.5、若∠A是銳角，且sinA=cosA,則∠A的度數(shù)是____________度6、等腰三角形的兩邊分別為6和8，則底角的正切為7、菱形中較長(zhǎng)的對(duì)角線與邊長(zhǎng)之比為，那么菱形的兩鄰角分別是8、等腰三角形底邊長(zhǎng)10cm，周長(zhǎng)為36cm，則一底角的正切值為9、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BD＝6，則sinA＝.10、某人沿著坡度i=1:的山坡走了50米，則他離地面米高。三、解答題1、計(jì)算：（1）eq\f(1,2)sin60°＋eq\f(\r(2),2)cos45°＋sin30°·cos30°（2）eq\f(sin50°,\r(cos240°))＋eq\f(1+cos45°,tan230°－sin260°)2、△ABC中，∠C＝90°.(1)已知：c＝8，∠A＝60°，求∠B、a、b．(2)已知：a＝3，∠A＝30°，求∠B、b、c.3、如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E點(diǎn)，EC=1，sinB=.求四邊形ABCD的周長(zhǎng)。4、如圖，在某建筑物AC上，掛著“多彩云南”的宣傳條幅BC，小明站在點(diǎn)F處，看條幅頂端B，測(cè)的仰角為，再往條幅方向前行20米到達(dá)點(diǎn)E處，看到條幅頂端B，測(cè)的仰角為，求宣傳條幅BC的長(zhǎng)，（小明的身高不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米）5、經(jīng)過(guò)江漢平原的滬蓉(上?！啥?高速鐵路即將動(dòng)工.工程需要測(cè)量漢江某一段的寬度.如圖①，一測(cè)量員在江岸邊的A處測(cè)得對(duì)岸岸邊的一根標(biāo)桿B在它的正北方向，測(cè)量員從A點(diǎn)開(kāi)始沿岸邊向正東方向前進(jìn)100米到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得.（1）求所測(cè)之處江的寬度（）；（