數(shù)值分析教學(xué)課件：復(fù)習(xí)提綱

數(shù)值分析綜合復(fù)習(xí)提綱華長(zhǎng)生制作1內(nèi)容:

（1）、誤差的基本概念理解截?cái)嗾`差、舍入誤差、絕對(duì)（相對(duì)）誤差和誤差限、有效數(shù)字、算法的數(shù)值穩(wěn)定性等基本概念。

（2）、數(shù)值算法設(shè)計(jì)若干原則

掌握數(shù)值計(jì)算中應(yīng)遵循的幾個(gè)原則：簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以節(jié)省計(jì)算量（秦九韶算法），減少有效數(shù)字的損失（避免相近數(shù)相減），選擇數(shù)值穩(wěn)定的算法。一、內(nèi)容提綱及考試點(diǎn)1.緒論華長(zhǎng)生制作2一、內(nèi)容提綱及考試點(diǎn)考核知識(shí)點(diǎn) :

誤差的來(lái)源類(lèi)型(分類(lèi))；絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字；絕對(duì)誤差的傳播。

1.緒論華長(zhǎng)生制作32.線性代數(shù)方程組的直接解法內(nèi)容:1、三角形方程組的解法熟練掌握三角形方程組解法（前推、回代公式）。

2、Gauss消去法熟練掌握順序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的原理，并會(huì)應(yīng)用之求解具體的方程組，理解選主元的優(yōu)點(diǎn)。

3、三角分解法掌握三角分解法的原理，并會(huì)用直接三角分解法求解具體的方程組。

4、追趕法和平方根法掌握追趕法與平方根法的原理，并會(huì)應(yīng)用之求解具體的方程組。

5、向量和矩陣的范數(shù)、譜半徑與條件數(shù)知道向量和矩陣范數(shù)的概念與基本性質(zhì)，掌握常用的向量和矩陣范數(shù)的計(jì)算，掌握矩陣譜半徑的定義與計(jì)算，掌握矩陣范數(shù)和譜半徑的大小關(guān)系，會(huì)計(jì)算條件數(shù)，掌握條件數(shù)大小與方程組病態(tài)程度的關(guān)系，知道條件數(shù)不小于1。華長(zhǎng)生制作42.線性代數(shù)方程組的直接解法考核知識(shí)點(diǎn):

高斯順序消去法，列主元消去法；消去法消元能進(jìn)行到底的條件;

追趕法的應(yīng)用;

向量和矩陣的范數(shù)、譜半徑與條件數(shù)的計(jì)算。華長(zhǎng)生制作53.線性代數(shù)方程組的迭代解法

內(nèi)容:

1、迭代法的基本思想理解迭代法的基本概念，掌握基本型迭代的公式。

2、Jacobi迭代和G-S迭代

熟悉Jacobi迭代與G-S迭代的公式及迭代矩陣。

3、迭代法收斂性分析熟練掌握迭代法收斂性充要條件與收斂性充分條件、Jacobi迭代與G-S迭代的收斂性判定，知道收斂速度與迭代矩陣譜半徑（范數(shù)）大小的關(guān)系。4、了解SOR法及其收斂性結(jié)論華長(zhǎng)生制作63.線性代數(shù)方程組的迭代解法

考核知識(shí)點(diǎn):

一般迭代法的迭代矩陣;J迭代法和GS迭代法收斂的充要條件及迭代法的迭代矩陣;華長(zhǎng)生制作74.方程求根

內(nèi)容:1、二分法：掌握二分法及其誤差估計(jì)。

2、不動(dòng)點(diǎn)迭代法：理解不動(dòng)點(diǎn)迭代法，掌握迭代法的局部收斂條件與收斂階的判定。

3、Newton迭代法熟悉Newton迭代法及其收斂性結(jié)論，掌握Newton法的應(yīng)用（如應(yīng)用于代數(shù)方程等特殊方程）?？己酥R(shí)點(diǎn):

二分法；迭代法(迭代函數(shù),收斂性)；牛頓法(計(jì)算,迭代函數(shù),收斂性

)；

華長(zhǎng)生制作85.插值方法內(nèi)容:1、插值問(wèn)題的提法理解插值問(wèn)題的基本概念、插值多項(xiàng)式的存在唯一性。

2、Lagrange插值（基函數(shù)構(gòu)造法）

熟悉Lagrange插值公式（線性插值、拋物插值、n次Lagrange插值），掌握其余項(xiàng)表達(dá)式（及各種插值余項(xiàng)表達(dá)式形式上的規(guī)律性）。

3、Newton插值

熟悉Newton插值公式，了解其余項(xiàng)公式，會(huì)利用均差表和均差的性質(zhì)計(jì)算均差。

4、Hermite插值掌握兩點(diǎn)三次Hermite插值及其余項(xiàng)表達(dá)式，會(huì)利用承襲性方法構(gòu)造非標(biāo)準(zhǔn)Hermite插值

5、分段線性插值知道Runge現(xiàn)象，了解分段插值的概念，掌握分段線性插值（分段表達(dá)式）。

6、三次樣條函數(shù)與三次樣條插值的概念了解三次樣條函數(shù)與三次樣條插值的定義。

華長(zhǎng)生制作95.插值方法考核知識(shí)點(diǎn):插值函數(shù)，插值多項(xiàng)式，被插值函數(shù)，節(jié)點(diǎn)；拉格朗日插值多項(xiàng)式：插值基函數(shù)；均差及其性質(zhì)，牛頓插值多項(xiàng)式；分段線性插值、線性插值基函數(shù)，樣條函數(shù)，三次樣條插值函數(shù).掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式的公式，知道拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)。了解均差概念和性質(zhì)，掌握均差表的計(jì)算，知道牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。掌握分段線性插值的方法和線性插值基函數(shù)的構(gòu)造.華長(zhǎng)生制作106.函數(shù)逼近與曲線擬合內(nèi)容:

1、正交多項(xiàng)式掌握函數(shù)正交和正交多項(xiàng)式的概念（函數(shù)內(nèi)積、2-范數(shù)、權(quán)函數(shù)，正交函數(shù)序列，正交多項(xiàng)式），了解Legendre多項(xiàng)式。

2、曲線擬合的最小二乘法

熟練掌握曲線擬合最小二乘法的原理和解法（只要求線性最小二乘擬合），會(huì)求超定方程組的最小二乘解。3、連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近

了解最佳平逼近函數(shù)的概念，掌握最佳平方逼近多項(xiàng)式的求法（從法方程出發(fā)）。

華長(zhǎng)生制作116.函數(shù)逼近與曲線擬合考核知識(shí)點(diǎn)最小二乘法（原理、應(yīng)用），法方程組，線性擬合、二次擬合華長(zhǎng)生制作127.數(shù)值微積分內(nèi)容:1、數(shù)值求積的基本思想、插值型求積公式與代數(shù)精度掌握插值型求積公式（系數(shù)表達(dá)式），理解代數(shù)精度概念，會(huì)利用代數(shù)精度構(gòu)造求積公式。

2、Newton-Cotes公式（等距節(jié)點(diǎn)插值型求積公式）掌握梯形公式和Simpson公式，了解其余項(xiàng)公式與代數(shù)精度的聯(lián)系，了解系數(shù)之和的性質(zhì)，掌握穩(wěn)定性條件；理解復(fù)化求積方法的思想。

3、Gauss型求積公式理解Gauss型求積公式的概念（最高代數(shù)精度、插值型），掌握構(gòu)造Gauss型求積公式的方法（Gauss點(diǎn)和系數(shù)的求法），掌握其數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)論。

4、Romberg算法的原理

5、基于Taylor公式的數(shù)值微分公式握常用的幾個(gè)一階差商公式。華長(zhǎng)生制作137.數(shù)值微積分考核知識(shí)點(diǎn)數(shù)值求積公式，求積節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)，代數(shù)精度；插值型求積公式，Newton―Cotes求積公式，Cotes系數(shù)及其性質(zhì)，(復(fù)化)梯形求積公式，(復(fù)化)拋物線求積公式；

Gauss型求積公式(插值型,最高代數(shù)精度)，高斯點(diǎn)，(二點(diǎn)、三點(diǎn))高斯型求積華長(zhǎng)生制作148.常微分方程數(shù)值解法內(nèi)容:

1、數(shù)值解的概念

理解數(shù)值解的概念，掌握初值問(wèn)題數(shù)值解法的特點(diǎn)（步進(jìn)式）。

2、Euler方法、局部截?cái)嗾`差掌握Euler公式、隱式Euler公式和梯形公式，會(huì)推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差，并判斷方法的階；了解改進(jìn)的Euler公式。

3、Runge-Kutta方法的原理

知道Runge-Kutta方法的原理，掌握經(jīng)典4階Runge-Kutta公式的特點(diǎn)（性質(zhì)）。

4、線性多步法的概念知道線性多步法的一般形式與構(gòu)造途徑。

5、單步法的收斂性與穩(wěn)定性（模型方程中Reλ<0）掌握單步法的收斂性與穩(wěn)定性的概念，會(huì)論證收斂性和推導(dǎo)絕對(duì)穩(wěn)定的條件（限于模型方程形式，其中λ為負(fù)實(shí)數(shù)）。華長(zhǎng)生制作158.常微分方程數(shù)值解法考核知識(shí)點(diǎn)歐拉公式，梯形公式，改進(jìn)歐拉法，局部截?cái)嗾`差；龍格―庫(kù)塔(Runge-Kutta)法，局部截?cái)嗾`差;

穩(wěn)定性判斷.

華長(zhǎng)生制作16二、不作要求的內(nèi)容第一章：1.4節(jié)第二章：2.4節(jié)中第2小節(jié)；

2.6節(jié)（但要求掌握條件數(shù)的概念、性質(zhì)與計(jì)算）第三章：3.4節(jié)第四章：4.4節(jié)；4.5節(jié)第五章：5.3節(jié)中第3、4小節(jié)；5.5節(jié)中第3小節(jié),5.6節(jié)中第2小節(jié)第六章：6.3節(jié)；6.4節(jié)中第3、4小節(jié)以及第1小節(jié)中的“Gram-Schmidt正交化方法”第七章：7.3節(jié)中第3小節(jié)；7.5節(jié)中第2小節(jié)第八章：8.4節(jié)中第4小節(jié)

華長(zhǎng)生制作17三、復(fù)習(xí)題第一章：復(fù)習(xí)題1.4、1.5、1.7；例題1.7；習(xí)題1.1、1.12第二章：復(fù)習(xí)題2（2.4除外）；例題2.6；習(xí)題2.1、2.3、

2.5、2.9(1)(2)、2.11第三章：復(fù)習(xí)題3.1、3.3、3.5、3.6、3.7(1)(2)、3.8；例題3.3、3.5；習(xí)題3.1、3.4、3.6、3.10第四章：復(fù)習(xí)題4（4.2除外）；習(xí)題4.3、4.5、4.10第五章：復(fù)習(xí)題5（5.3③④、5.7除外）；例題5.1、5.6；習(xí)題5.2、5.3、5.4、5.5、5.13第六章：復(fù)習(xí)題6（6.7除外）；例題6.1、6.3；習(xí)題