哥德巴赫 龐加萊猜想

哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)大致可分為兩個猜想(前者稱"強(qiáng)”或”二重哥德巴赫猜想，后者稱"弱"或"三重哥德巴赫猜想)：1.每個不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個奇素?cái)?shù)之和；2.每個不小于9的奇數(shù)都可以表示為三個奇素?cái)?shù)之和?？紤]把偶數(shù)表示為兩數(shù)之和，而每一個數(shù)又是若干素?cái)?shù)之積。把命題"每一個大偶數(shù)可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)與另一個素因子不超過b個的數(shù)之和"記作"a+b"，那么哥氏猜想就是要證明"1+1"成立。1966年陳景潤證明了"1+2”成立，即”任何一個大偶數(shù)都可表示成一個素?cái)?shù)與另一個素因子不超過2個的數(shù)之和”。這個問題是德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫(C.Goldbach，1690-1764)于1742年6月7日在給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的，所以被稱作哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)。同年6月30日，歐拉在回信中認(rèn)為這個猜想可能是真的，但他無法證明?，F(xiàn)在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每個大于等于6的偶數(shù)，都可表示為兩個奇素?cái)?shù)之和；每個大于等于9的奇數(shù)，都可表示為三個奇素?cái)?shù)之和。其實(shí)，后一個命題就是前一個命題的推論。 哥德巴赫(Goldbach]C.，1690.3.18-1764.11.20)是德國數(shù)學(xué)家；出生于格奧尼格斯別爾格(現(xiàn)名加里寧城)；曾在英國牛津大學(xué)學(xué)習(xí)；原學(xué)法學(xué)，由于在歐洲各國訪問期間結(jié)識了貝努利家族，所以對數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了興趣；曾擔(dān)任中學(xué)教師。1725年，到了俄國，同年被選為彼得堡科學(xué)院院士；1725年-1740年擔(dān)任彼得堡科學(xué)院會議秘書；1742年，移居莫斯科，并在俄國外交部任職。1729年-1764年，哥德巴赫與歐拉保持了長達(dá)三十五年的書信往來。在1742年6月7日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了一個命題。他寫道： ”我的問題是這樣的：隨便取某一個奇數(shù)，比如77，可以把它寫成三個素?cái)?shù)(就是質(zhì)數(shù))之和：77=53+17+7；再任取一個奇數(shù)，比如461，461=449+7+5，也是三個素?cái)?shù)之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素?cái)?shù)之和。 這樣，我發(fā)現(xiàn)：任何大于5的奇數(shù)都是三個素?cái)?shù)之和。但這怎樣證明呢？ 雖然做過的每一次試驗(yàn)都得到了上述結(jié)果，但是不可能把所有的奇數(shù)都拿來檢驗(yàn)，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗(yàn)。”歐拉回信說：這個命題看來是正確的。但是他也給不出嚴(yán)格的證明。同時歐拉又提出了另一個命題：任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素?cái)?shù)之和，但是這個命題他也沒能給予證明。不難看出，哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論。事實(shí)上，任何一個大于5的奇數(shù)都可以寫成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)>4。若歐拉的命題成立，則偶數(shù)2N可以寫成兩個素?cái)?shù)之和，于是奇數(shù)2N+1可以寫成三個素?cái)?shù)之和，從而，對于大于5的奇數(shù)，哥德巴赫的猜想成立。 但是哥德巴赫的命題成立并不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高?，F(xiàn)在通常把這兩個命題統(tǒng)稱為哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想貌似簡單，要證明它卻著實(shí)不易，成為數(shù)學(xué)中一個著名的難題。18、19世紀(jì)，所有的數(shù)論專家對這個猜想的證明都沒有作出實(shí)質(zhì)性的推進(jìn)，直到20世紀(jì)才有所突破。1937年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫(u.M.BHHorpanoB,1891-1983)，用他創(chuàng)造的”三角和”方法，證明了”任何大奇數(shù)都可表示為三個素?cái)?shù)之和”。不過，維諾格拉多夫的所謂大奇數(shù)要求大得出奇，與哥德巴赫猜想的要求仍相距甚遠(yuǎn)。 關(guān)于偶數(shù)可表示為a個質(zhì)數(shù)的乘積與b個質(zhì)數(shù)的乘積之和(簡稱a+b問題)進(jìn)展如下:1920年，挪威的布朗證明了9+9。 1924年，德國的拉特馬赫證明了7+7。1932年，英國的埃斯特曼證明了6+6。 1937年，意大利的蕾西先后證明了5+7,4+9,3+15和2+366。 1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了5+5。1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了4+4。 1948年，匈牙利的瑞尼證明了1+c，其中c是一很大的自然數(shù)。 1956年，中國的王元證明了3+4。 1957年，中國的王元先后證明了3+3和2+3。 1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了1+5，中國的王元證明了1+4。 1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了1+3。 1966年，中國的陳景潤證明了1+2。龐加萊猜想龐加萊猜想電腦三維模型龐加萊猜想是法國數(shù)學(xué)家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的世界七大數(shù)學(xué)難題（七個千年大獎問題）之一。2006年被確認(rèn)由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里?佩雷爾曼最終證明，但將解題方法公布到網(wǎng)上之后，佩雷爾曼便拒絕接受馬德里國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會聲望頗高的菲爾茲獎。龐加萊猜想是人類在三維空間研究角度解決的第一個難題，也是一個屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中帶有基本意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結(jié)果將會加深人們對流形性質(zhì)的認(rèn)識，對物理學(xué)和工程學(xué)都將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，甚至?xí)θ藗冇脭?shù)學(xué)語言描述宇宙空間產(chǎn)生影響。龐加萊猜想圖示緣起如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說，蘋果表面是單連通的，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面（四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體）的對應(yīng)問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。 一位數(shù)學(xué)史家曾經(jīng)如此形容1854年出生的亨利龐加萊（HenriPoincare）:有些人仿佛生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。龐加萊作為數(shù)學(xué)家的偉大，并不完全在于他解決了多少問題，而在于他曾經(jīng)提出過許多具有開創(chuàng)意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，就是其中的一個。 1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓?fù)鋵W(xué)的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)，那么這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發(fā)現(xiàn)提法中有錯誤，并對之進(jìn)行了修改，被推廣為：任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚于n維球面。后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為高維龐加萊猜想。如果你認(rèn)為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象： 我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球?；蛘?，想象一只巨大的足球，里面充滿了氣，我們鉆到里龐加萊猜想面看，這就是一個球形的房子。 我們不妨假設(shè)這個球形的房子墻壁是用鋼做的，非常結(jié)實(shí)，沒有窗戶沒有門，我們現(xiàn)在在這樣的球形房子里。拿一個氣球來，帶到這個球形的房子里。隨便什么氣球都可以（其實(shí)對這個氣球是有要求的）。這個氣球并不是癟的，而是已經(jīng)吹成某一個形狀，什么形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續(xù)吹大它，而且假設(shè)氣球的皮特別結(jié)實(shí)，肯定不會被吹破。還要假設(shè)，這個氣球的皮是無限薄的。 好，現(xiàn)在我們繼續(xù)吹大這個氣球，一直吹。吹到最后會怎么樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最后，一定是氣球表面和整個球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。 我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點(diǎn)； 另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。為什么？因?yàn)椋O果表面是單連通的，而輪胎面不是?？雌饋磉@是不是很容易想清楚？但數(shù)學(xué)可不是隨便想想就能證明一個猜想的，這需要嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理和邏輯推理。一個多世紀(jì)以來，無數(shù)的科學(xué)家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。七個“千禧難題”2000年5月24日，美國克萊數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會把龐加萊猜想列為七個千禧難題（又稱世界七大數(shù)學(xué)難題）之一，這七道問題被研究所認(rèn)為是重要的經(jīng)典問題，經(jīng)許多年仍未解決。克雷數(shù)學(xué)研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個千年大獎問題的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個千年大獎問題分別是：NP完全問題，霍奇猜想（Hodge），黎曼假設(shè)（Riemann），楊一米爾斯理論(Yang-Mills)，納維-斯托克斯方程(Navier-Stokes，簡稱NS方程)，BSD猜想(BirchandSwinnerton-Dyer)。 提出這個猜想后，龐加萊一度認(rèn)為自己已經(jīng)證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。于是，拓?fù)鋵W(xué)家們開始了證明它的努力。早期的證明20世紀(jì)30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項(xiàng)。但突然，英國數(shù)學(xué)家懷特海(Whitehead)對這Bredffthroughof卅巳瞄「龐加萊猜想個問題產(chǎn)生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文，失之桑榆、收之東隅。但是在這個過程中，他發(fā)現(xiàn)了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現(xiàn)在被統(tǒng)稱為懷特海流形。 30年代到60年代之間，又有一些著名的數(shù)學(xué)家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊澤(Moise)和帕帕奇拉克普羅斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數(shù)學(xué)家。因?yàn)樗拿殖L超難念，大家都稱呼他帕帕(Papa)。在1948年以前，帕帕一直與數(shù)學(xué)圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學(xué)邀請做客。帕帕以證明了著名的迪恩引理(Dehn'sLemma)而聞名于世，喜好舞文弄墨的數(shù)學(xué)家約翰米爾諾(JohnMilnor)曾經(jīng)為此寫下一段打油詩：無情無義的迪恩引理/每一個拓?fù)鋵W(xué)家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費(fèi)力。然而，這位聰明的希臘拓?fù)鋵W(xué)家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學(xué)流傳著一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位 數(shù)學(xué)家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數(shù)學(xué)家就發(fā)現(xiàn)了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最后選擇了隱忍不言。柳暗花明的突破這一時期拓?fù)鋵W(xué)家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產(chǎn)生他們所期待的結(jié)果，但是，卻因此發(fā)展出了低維拓?fù)鋵W(xué)這門學(xué)科。一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數(shù)學(xué)問題之一。然而，因?yàn)樗菐缀瓮負(fù)溲欣潺嫾尤R猜想究的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)。 1966年菲爾茨獎得主斯梅爾（Smale），在60年代初想到了一個天才的主意：如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會不會容易些呢？1960年到1961年，在里約熱內(nèi)盧的海濱，經(jīng)?？梢钥吹揭粋€人，手持草稿紙和鉛筆，對著大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時引起轟動。 10多年之后的1983年，美國數(shù)學(xué)家福里德曼（Freedman）將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基礎(chǔ)上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得菲爾茨獎。 但是，再向前推進(jìn)的工作，又停滯了。拓?fù)鋵W(xué)的方法研究三維龐加萊猜想沒有進(jìn)展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓（Thruston）就是其中之一。他引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對三維流形進(jìn)行切割，并因此獲得了1983年的菲爾茨獎。 就像費(fèi)馬大定理，當(dāng)谷山志村猜想被證明后，盡管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數(shù)了。因?yàn)?，一個可 以解決問題的工具出現(xiàn)了。清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任文志英說。最后的決戰(zhàn)然而，龐加萊猜想，依然沒有得到證明。人們在期待一個新的工具的出現(xiàn)?？墒?，解決龐加萊猜想的工具在哪里？ 工具有了。 理查德漢密爾頓，生于1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多年交情、喜歡沖浪、旅游和交女朋友的老友Playboy，但提起他的數(shù)學(xué)成就，卻只有稱贊和惺惺相惜。1972年，丘成桐和李偉光合作，發(fā)展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結(jié)構(gòu)的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，并因此獲得菲爾茨獎。1979年，在康奈爾大學(xué)的一個討論班上，當(dāng)時是斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)系教授的丘成桐見到了漢密爾頓。那時候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我說起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結(jié)果。丘成桐說，于是我跟他講，可以用這個結(jié)果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題。Ricci流是以意大利數(shù)學(xué)家里奇（GregorioRicci）命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓?fù)涫中g(shù)，構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想?？吹竭@個方程的重要性后，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個學(xué)生跟著漢密爾頓研究Ricci流。？在使用Ricci流進(jìn)行空間變換時，到后來，總會出現(xiàn)無法控制走向的點(diǎn)。這些點(diǎn)，叫做奇點(diǎn)。如何掌握它們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關(guān)鍵。在借鑒了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作后，1993年，漢密爾頓發(fā)表了一篇關(guān)于理解奇點(diǎn)的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那一刻，就要到來了。 地球的另一端，一個叫格里戈里佩雷爾曼的數(shù)學(xué)家在花了8年時間研究這個足有一個世紀(jì)的古老數(shù)學(xué)難題后，將3份關(guān)鍵論文的手稿在2002年11月和2003年7月之間，粘貼到一家專門刊登數(shù)學(xué)和物理論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學(xué)家。聲稱證明了幾何化猜想。到2005年10月，數(shù)位專家宣布驗(yàn)證了該證明，一致的贊成意見幾乎已經(jīng)達(dá)成。 如果有人對我解決這個問題的方法感興趣，都在那兒呢一讓他們?nèi)タ窗伞！迸謇谞柭┦空f，我已經(jīng)發(fā)表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了?！?佩雷爾曼的做法讓克雷數(shù)學(xué)研究所大傷腦筋。因?yàn)榘凑者@個研究所的規(guī)矩，宣稱破解了猜想的人需在正規(guī)雜志上發(fā)表并得到專家的認(rèn)可后，才能獲得100萬美元的獎金。顯然，佩雷爾曼并不想把這100萬美金補(bǔ)充到他那微薄的收入中去。 對于佩雷爾曼，人們知之甚少。這位偉大的數(shù)學(xué)天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就開始專攻高等數(shù)學(xué)和物理。16歲時，他以優(yōu)異的成績在1982年舉行的國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中摘得金牌。此外，他還是一名天才的小提琴家，桌球打得也不錯。 從圣彼得堡大學(xué)獲得博士學(xué)位后，佩雷爾曼一直在俄羅斯科學(xué)院圣彼得堡斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所工作。上個世紀(jì)80年代末期，他曾到美國多所大學(xué)做博士后研究。大約10年前，他回到斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所，繼續(xù)他的宇宙形狀證明工作。 證明龐加萊猜想關(guān)鍵作用讓佩雷爾曼很快曝光于公眾視野，但他似乎并不喜歡與媒體打交道。據(jù)說，有記者想給他拍照，被他大聲制止；而對像《自然》《科學(xué)》這樣聲名顯赫雜志的采訪，他也不屑一顧。 我認(rèn)為我所說的任何事情都不可能引起公眾的一絲一毫的興趣?！迸謇谞柭f，我不愿意說是因?yàn)槲液芸粗刈约旱碾[私，或者說我就是想隱瞞我做的任何事情。這里沒有頂級機(jī)密，我只不過認(rèn)為公眾對我沒有興趣?！彼麍?jiān)持自己不值得如此的關(guān)注，并表示對飛來的橫財(cái)沒有絲毫的興趣。 2003年，在發(fā)表了他的研究成果后不久，這位頗有隱者風(fēng)范的大胡子學(xué)者就從人們的視野中消失了。據(jù)說他和母親、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且這個猶太人家庭很少對外開放。朱熹平等人搶功而鬧的笑話2006年6月3日，中山大學(xué)的朱熹平教授和曹懷東以一篇長達(dá)300多頁的論文，以專刊的方式刊載在美國出版的《亞洲數(shù)學(xué)期刊》六月號，其自稱補(bǔ)全了佩雷爾曼證明中的漏洞，給出了龐加萊猜想的完全證明。 但實(shí)際上朱熹平和曹懷東沒有任何新的貢獻(xiàn)，他們僅僅是因?yàn)榭床欢謇谞柭淖C明，而自作聰明認(rèn)為添補(bǔ)了什么新的東西，實(shí)際上佩雷爾曼的工作已經(jīng)是完整的了。朱和曹的文章中說，他們不得不用基于自己研究的新方法取代佩雷爾曼的幾處關(guān)鍵步驟，因?yàn)槲覀儾荒芾斫馑谋緛淼耐评?，而這些推理對幾何化綱領(lǐng)的完成是要緊的?！?熟悉佩雷爾曼證明的數(shù)學(xué)家不同意朱和曹對于龐加萊猜想做出重要新貢獻(xiàn)的說法。Morgan說：佩雷爾曼已經(jīng)做了證明，這個證明是完整和正確的。我看不出他們做了什么不同的事情?！?8月21日出版的《紐約客》雜志刊發(fā)了一則關(guān)于龐加萊猜想的長篇報(bào)道。報(bào)道的第一作者是美國哥倫比亞大學(xué)新聞系教授娜莎(SylviaNasar)，記者出身的她，曾經(jīng)寫過《美麗心靈——納什傳》一書。 在娜莎的筆下，丘成桐的心靈卻似乎不是那么美麗。她通過一些數(shù)學(xué)家之口，將丘成桐描述為一個追名逐利之徒。紐約大學(xué)石溪分校數(shù)學(xué)系教授安德爾森（MichaelAnderson）說，丘成桐想要做幾何界的國王。他認(rèn)為一切都應(yīng)當(dāng)出自于他。他不喜歡別人侵入他的領(lǐng)地；麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授斯德洛克（DanStrook）說，他做過輝煌的事情，也為此得到了輝煌的榮譽(yù)。他拿到了所有的獎。在這個問題上他好像也想撈一把，我感到這有點(diǎn)卑劣在文章所配發(fā)的漫畫中，丘成桐正試圖從佩雷爾曼胸前摘走菲爾茲獎?wù)隆?至今仍是單身的佩雷爾曼，與母親隱居在圣彼得堡家中，幾乎不與外界接觸。娜莎及其合作者在國際數(shù)學(xué)家大會召開之前遠(yuǎn)赴圣彼得堡，終于采訪到了佩雷爾曼。當(dāng)被問到是否讀過曹和朱的論文時，佩雷爾曼回答說，我不清楚他們作出了什么新貢獻(xiàn)，顯然，朱不是非常理解我的推理，然后重新進(jìn)行了論證。 最后朱熹平和曹懷東自己都承認(rèn)他們沒有任何新的貢獻(xiàn) 12月3日，曹懷東和朱熹平在數(shù)學(xué)家們公布預(yù)印本的網(wǎng)站貼出一篇文章，題目是龐加萊猜想與幾何化猜想的漢密爾頓-佩雷爾曼證明。兩位作者在文章的引言中說：此文是對于他們在《亞洲數(shù)學(xué)雜志》2006年第10卷第2期上發(fā)表的文章的修訂版。原來的文章的題目是龐加萊與幾何化猜想的完整證明一瑞奇流的漢密爾頓-佩雷爾曼理論之應(yīng)用；而且在原來的摘要中稱他們（指曹-朱）給出了龐加萊與幾何化猜想的完整證明，這句話在新版本中被刪掉了。 兩位作者特別指出：我們改變了標(biāo)題并對摘要作了修改是為了反映我們的觀點(diǎn)，即證明龐加萊猜想的全部功勞屬于漢密爾頓和佩雷爾。 事實(shí)上，在這兩位作者宣布他們對于龐加萊猜想的證明沒有功勞之前，丘成桐教授已經(jīng)在國外說過他們的工作沒有原創(chuàng)性。也就是說丘成桐自己已經(jīng)否定了他在6月初對中國媒體講的話。我們認(rèn)為丘教授有責(zé)任開誠布公地向中國人民宣布他現(xiàn)在的觀點(diǎn)。 2006年，在佩雷爾曼公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，專家們終于達(dá)成了共識：佩雷爾曼解決了這個學(xué)科最令人肅然起敬的問題之一。但是猜想的解決卻觸發(fā)了一場充滿爭議和戲劇性的風(fēng)波，幾乎令這一輝煌的工作黯然失色。 不言而喻，這場風(fēng)波的發(fā)起人就是丘成桐教授，而其發(fā)源地不幸在中國。 作者DanaMackenzie接著指出了佩雷爾曼的證明對拓?fù)鋵W(xué)的重要意意，以及他發(fā)現(xiàn)的新的幾何技術(shù)對于幾何分析的重要價(jià)值。在接下來的一節(jié)難以駕馭的空間中，作者回顧了自龐加萊在1904年提出這個拓?fù)鋵W(xué)最基本的問題之后，數(shù)學(xué)家們圍繞這個問題所作的努力。其中特別提到了瑟斯頓的幾何化猜想，以及漢密爾頓提出的用瑞奇流來解決瑟斯頓猜想的計(jì)劃。在突破一節(jié)中，作者描述了佩雷爾曼用了7年時間完成的龐加萊猜想證明的突破性工作。指出在2003年佩雷爾曼到美國作演講時，許多人對他的工作是懷疑的；直到2006年數(shù)學(xué)界才終于趕了上來，有三篇獨(dú)立的文稿填補(bǔ)了他的工作中的一些關(guān)鍵細(xì)節(jié)。這三篇文稿的作者分別為：密西根大學(xué)的Kleiner和Lott；Morgan（哥倫比亞大學(xué)）和田剛（MIT,現(xiàn)在普林斯頓大學(xué)）；以及曹懷東（里海大學(xué)）和朱熹平（中山大學(xué)）。對于前兩篇文稿，文章認(rèn)為足以敲定龐加萊猜想；而對于第三篇文稿，作者則認(rèn)為它是不夠謹(jǐn)慎的，因?yàn)椴?朱宣稱他們給出了龐加萊猜想和瑟斯頓幾何化猜想的第一個寫下來的完整證明。［注：目前數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)為瑟斯頓幾何化猜想的完整證明尚未完成。］ 文章的最后一節(jié)以樂極生悲（Anticlimax）為標(biāo)題，在這一節(jié)中作者講述了他一開始提到的使解決猜想的光輝蒙上陰影的風(fēng)波。首先是國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟主席在8月22日（國際數(shù)學(xué)家大會開幕的日子）宣布，佩雷爾曼拒絕領(lǐng)取菲爾茲獎?？傊?朱熹平等人因?yàn)榭床欢謇谞柭恼撐?，以及其他原因而聲稱自己是給龐加萊猜想封頂，這已經(jīng)成為中國數(shù)學(xué)界在全世界面前丟臉的一樁大丑聞了佩雷爾曼“我拒絕”國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟主席JohnBall曾秘密拜訪佩雷爾曼，他的唯一目的是說服佩雷爾曼接受將在8月份國際數(shù)學(xué)家大會上頒發(fā)的菲爾茲獎。誰都知道這是數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)，此前共有44位數(shù)學(xué)家獲此殊榮，沒有人拒絕過接受這個榮譽(yù)。然而面對Ball教授兩天共十個小時的勸說，佩雷爾曼的回答只是我拒絕。他解釋說：如果我的證明是正確的，這種方式的承認(rèn)是不必要的。佩雷爾曼于美國的訪問生活佩雷爾曼于1992年訪問美國，他的生活極為儉樸，只吃面包，芝士和牛奶。在紐約大學(xué)他結(jié)識了年輕的中國數(shù)學(xué)家田剛，每星期他們一起開車去普林斯頓參加高等研究院的討論班。佩雷爾曼讀了哈密爾頓關(guān)于瑞奇流的文章，還在高等研究院聽了他給的一個報(bào)告。佩雷爾曼說：你不用是大數(shù)學(xué)家也可以看出這對幾何化會有用。1993年佩雷爾曼開始在伯克萊進(jìn)行為期兩年的訪問，適逢哈密爾頓來校作系列演講。一次報(bào)告后，哈密爾頓告訴佩雷爾曼他所遇到的最大的一些障礙，其中之一是叫做雪茄的一類奇點(diǎn)。佩雷爾曼意識到U，他寫的一篇沒有發(fā)表的文章可能對解決這個問題有用，問哈密爾頓是否知道這篇文章。但哈密爾頓似乎沒有了解這篇文章的重要?；氐绞ケ说帽?994年，佩雷爾曼因?qū)懗隽藥灼浅Ｓ性瓌?chuàng)性的論文而被邀請?jiān)趪H數(shù)學(xué)家大會作報(bào)告。好幾家大學(xué)，包括斯坦福和普林斯頓，邀請他去申請職位。但是他拒絕了一些學(xué)校提供的職位，于1995年夏天回到圣彼得堡。他說：我意識到我在俄國會工作得更好。斯坦福的Eliashberg說他回俄國是為了解決龐加萊猜想，佩雷爾曼對這種說法沒有表示反對。 在俄國他獨(dú)自工作，只通過英特網(wǎng)搜集他所需要的知識。Gromov,一位曾與佩雷爾曼合作過的著名幾何學(xué)家說：他不需要任何幫助，喜歡一個人工作。他使我想起牛頓，著迷于自己的想法，不去理睬別人的意見。1995年，哈密爾頓發(fā)表了一篇文章，其中描述了他對于完成龐加萊猜想的證明的一些想法。哈密爾頓對我們說，從這篇文章中我看不出他在1992年之后有任何進(jìn)展?？赡芨缧r候他就被卡在哪兒了。然而佩雷爾曼卻認(rèn)為自己看到了解決問題的道路。1996年，他給哈密爾頓寫了一封長信，描述了他的想法，寄希望于哈密爾頓會同他合作。但是，佩雷爾曼說，他沒有回答。所以我決定自己干。第一篇證明文章2002年11月11日，佩雷爾曼在網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)文庫arXiv*org上張貼了他的第一篇文章，之后他通過電子郵件把文章摘要發(fā)送給在美國的一些數(shù)學(xué)家，包括哈密爾頓，田剛和丘成桐。之前他沒有同任何人討論過這篇文章，因?yàn)槲也幌胪也恍湃蔚娜擞懻撐业墓ぷ?。對于隨意地在網(wǎng)上發(fā)表如此重要的問題的解答可能帶來的風(fēng)險(xiǎn)，例如證明或有紕漏而使他蒙羞，甚至被他人糾正而失去成果的優(yōu)先權(quán)，佩雷爾曼表示：如果我錯了而有人利用我的工作給出正確的證明，我會很高興。我從來沒有想成為龐加萊猜想的唯一破解者。田剛在MIT收到了佩雷爾曼的電子郵件，立即意識到其重要性。他開始閱讀并同他的同事們討論這篇文章。 11月19日，幾何學(xué)家Kapovitch在電子郵件中詢問佩雷爾曼：我是否理解正確：你在哈密爾頓的綱要中已經(jīng)可以做足夠多的步驟使你能解決幾何化猜想？佩雷爾曼第二天的回答只有一句話：這是正確的。在美國的報(bào)告會田剛寫信給佩雷爾曼邀請他到MIT作演講。普林斯頓和石溪分校的同事們也發(fā)出類似邀請。佩雷爾曼全部接受了，并于2003年4月開始在美國做巡回演講。數(shù)學(xué)家們和新聞界都把這看作一件大事。使他感到失望的是，哈密爾頓沒有參加這些報(bào)告會。佩雷爾曼告訴我們，我是哈密爾頓的門徒，雖然還沒有得到他的認(rèn)可。當(dāng)哥倫比亞大學(xué)的JohnMorgan邀請他去演講時他同意了，因?yàn)樗Ｍ谀抢锬芤姷焦軤栴D。演講會在一個星期天早上舉行，哈密爾頓遲到了，并且在會后的討論和午餐中沒有提任何問題。我的印象是他只讀了我的文章的第一部分。佩雷爾曼說。對證明的驗(yàn)證與說明到2003年的7月，佩雷爾曼已經(jīng)在網(wǎng)上公布了他的后兩篇文章。數(shù)學(xué)家們開始對他的證明艱苦地進(jìn)行檢驗(yàn)和說明。在美國至少有兩組專家承擔(dān)了這一任務(wù)：田剛（丘成桐的對手）和Morgan；還有密西根大學(xué)的兩位專家。克萊研究所對他們都給與資助，并計(jì)劃把田和Morgan的工作以書的形式出版。這本書除了為數(shù)學(xué)家們提供佩雷爾曼的證明的邏輯外，還是佩雷爾曼能夠獲得克萊研究所一百萬美元獎金的依據(jù)。2004年9月10日，在佩雷爾曼回到圣彼得堡一年多后，他收到田剛發(fā)來的一封很長的電子郵件，田在其中寫道：我想我們已經(jīng)理解了你的文章，它完全正確。佩雷爾曼沒有回信。他向我們解釋， 人們需要時間去適應(yīng)這個有名的問題不再是猜想這樣一個事實(shí)。。。。。重要的是我不去影響這個過程。證明的正式發(fā)表與爭議2003年春天，丘成桐召集中山大學(xué)的朱熹平和他的一個學(xué)生，里海大學(xué)的曹懷東，承擔(dān)解釋佩雷爾曼的證明的工作。丘還安排朱在2005-06學(xué)年訪問哈佛大學(xué)，在一個討論班上講解佩雷爾曼的證明并繼續(xù)與曹一起寫他們的文章。2006年4月13日，《亞洲數(shù)學(xué)雜志》編委會的31位數(shù)學(xué)家收到丘成桐和另一位共同主編的電子郵件，通知他們在3天內(nèi)對丘打算在雜志上發(fā)表的朱熹平和曹懷東的一篇文章發(fā)表意見，題目是瑞奇流的哈密爾頓-佩雷爾曼理論：龐加萊和幾何化猜想。電子