《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》教學(xué)大綱-數(shù)學(xué)專業(yè)

11實(shí)變函數(shù)與泛函分析教學(xué)大綱應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息計(jì)算等專業(yè)使用20098課程中文名稱：實(shí)變函數(shù)與泛函分析課程英文名稱：RealAnalysisandfunctionalAnalysis課程號(hào)：30001001學(xué)時(shí)數(shù)：68學(xué)分?jǐn)?shù)：4先修課程：數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)適用專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息計(jì)算等專業(yè)。一、課程的性質(zhì)和任務(wù)課程性質(zhì)《實(shí)變函數(shù)》課LebesgueLebesgue更為深刻，現(xiàn)在泛函分析已成為一門(mén)內(nèi)容豐富，方法系統(tǒng)，體系完備，應(yīng)用廣泛的獨(dú)立分支，通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能學(xué)到泛函分析的基本理論和方法，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)本課程，既能從較高的觀點(diǎn)總結(jié)一、二年級(jí)學(xué)過(guò)的分析、代PAGEPAGE10基礎(chǔ)。課程任務(wù)分析解決問(wèn)題的能力。LebesgueLebesgue積分理論，距離空間的一些基本概念，賦范線性空間與內(nèi)積空間基本概念，有界線性算子的概念，Banach使學(xué)生了解和掌握逐步深入地分析問(wèn)題和解決問(wèn)能力培養(yǎng)。從教學(xué)方法上，堅(jiān)持“學(xué)生是‘學(xué)’主體、教師是‘教’關(guān)鍵”的人性化教育的指導(dǎo)思想。努力啟發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性,指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方法,掌握數(shù)學(xué)的基本理論與技巧。課堂教學(xué)采取啟發(fā)式、互動(dòng)式。作業(yè)布置精心挑選,各種方法、各種題型都能得到練習(xí),舉一反三。注重基本概念的實(shí)際背景和概念的形成過(guò)程。二、課程教學(xué)內(nèi)容第一章集合教學(xué)目的與要求：要求理解與掌握的基本內(nèi)容：集的運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律，映射以及與映射有關(guān)的一些概念。集的等勢(shì)，可數(shù)集概念及其基本性質(zhì)，實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：集的對(duì)等，Cantor三分集具有完備性，稀疏性。教學(xué)內(nèi)容：1、集與集的運(yùn)算：集的概念，集的運(yùn)算，DeMorgan公式2、映射與集的對(duì)等：映射的概念，Bernstein定理3、可數(shù)集與基數(shù)：集的對(duì)等，集的基數(shù)，可數(shù)集與不可數(shù)集，可數(shù)集的性質(zhì)及其例子第二章點(diǎn)集教學(xué)目的與要求：本章介紹實(shí)變函數(shù)論必需的直線上的點(diǎn)集的概念和知識(shí)。度量空間·n維歐氏空間,聚點(diǎn)·內(nèi)點(diǎn)·界點(diǎn),開(kāi)集·閉集·完備集，直線上的開(kāi)集、閉集及完CantorBernsteinZorn引理，Zermelo選擇公理。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：開(kāi)集的構(gòu)造定理以及由一個(gè)集的所有子集構(gòu)成的集的勢(shì)。Cantor有完備性，稀疏性。教學(xué)內(nèi)容：1離的概念，鄰城及基本性質(zhì)，非空點(diǎn)集間的距離等。2、聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、Bolzano-Weierstrass定理。3、開(kāi)集、閉集及其性質(zhì)、Heine-Bore（有限覆蓋定理）4、直線上的開(kāi)集、閉集及完備集的構(gòu)造第三章測(cè)度教學(xué)目的與要求：掌握直線上的開(kāi)集與閉集的測(cè)度以及直線上有界集的內(nèi)外測(cè)度以及Lebesgue測(cè)度以及可測(cè)集的概念，理解可測(cè)集對(duì)可列并，及余的封閉性，理解Lebesgue測(cè)度的完全可加性以及可測(cè)集的Caratheodory條件。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：直線上的有界可測(cè)集的概念與此同時(shí)性質(zhì)，Lebesgue測(cè)度的完全可加性，可測(cè)集的Caratheodory條件。教學(xué)內(nèi)容：1性質(zhì)，直線上有界集的外，內(nèi)測(cè)度，Lebesgue可測(cè)集及測(cè)度。2Caratheodory條件，漸張可測(cè)集列以及漸縮可測(cè)集列的測(cè)度性質(zhì)。第四章可測(cè)函數(shù)教學(xué)目的與要求：Lebesgue可測(cè)函數(shù)可以用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)逼近，兩個(gè)可測(cè)函數(shù)的和、差、積、商（乎處處有定義）列測(cè)度收斂與幾乎處處收斂之間的關(guān)系，Riesy定理。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：可測(cè)度函數(shù)可以利用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)逼近，可測(cè)度函數(shù)以測(cè)度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系，可測(cè)函數(shù)用連續(xù)函數(shù)逼近；葉果洛夫定理，Riesy定理。教學(xué)內(nèi)容：1的封閉性。2、葉果洛夫（Eropoff）定理3、可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造及依測(cè)度收斂：依測(cè)度收斂及性質(zhì)，依測(cè)度收斂、逐點(diǎn)收斂、幾乎處處收斂的關(guān)系。第五章可測(cè)函數(shù)的積分教學(xué)目的與要求：Lebesgue積分的有限可加性、絕對(duì)連續(xù)性、σ-可加性，非負(fù)LebesgueFatouLedesgue控制收斂定理有界收斂定理；RL積分的比較。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重積分。教學(xué)內(nèi)容：1的封閉性。2、積分的性質(zhì)：積分的有限可加性，積分的絕對(duì)連續(xù)性，積分的σ-可加性，非負(fù)單增簡(jiǎn)單函數(shù)列積分與極限次序的交換，積分的線性，積分的單調(diào)性，積分的唯一性，可積函數(shù)可用簡(jiǎn)單函數(shù)或連續(xù)函數(shù)平均逼近。3、積分序列的極限：Levi定理、Fatou定理、Ledesgue有界收斂定理。4RLRL（之不然LRNewton-LeibnizLR積分。第六章距離空間、線性賦范空間教學(xué)目的與要求：間中的閉子空間，Riesz引理與有限維空間的刻畫(huà)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：距離空間的完備化，Banach不動(dòng)點(diǎn)原理及應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：1、度量空間的定義及例子；度量空間中的極限、稠密集、可分空間2、連續(xù)映射3、柯西點(diǎn)列和完備度量空間。4、度量空間的完備化5、壓縮映射原理、不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用6、賦范線性空間和巴拿赫空間第七章線性算子教學(xué)目的與要求：定理及其應(yīng)用；開(kāi)映射定理與與閉圖像定理。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：共鳴定理及其應(yīng)用；開(kāi)映射定理與與閉圖像定理。教學(xué)內(nèi)容：1空間的定義及其完備性刻畫(huà)2、共鳴定理及其應(yīng)用：共鳴定理及其推論,共鳴定理的應(yīng)用舉例3、開(kāi)映射定理與與閉圖像定理第八章線性泛函教學(xué)目的與要求：Hahn-Banach子。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：Hahn-Banach共軛算子。教學(xué)內(nèi)容：1、線性泛函的基本性質(zhì)2、Hahn-Banach延拓定理、Hahn-Banach延拓定理的若干推論.3、某些空間上的有界線性泛函的表示4、共軛算子三、學(xué)時(shí)分配章次題目學(xué)時(shí)分配第一章集合6第二章點(diǎn)集8第三章測(cè)度8第四章可測(cè)函數(shù)8第五章可測(cè)函數(shù)的積分8第六章距離空間、賦范線性空間10第七章線性算子8第八章線性泛函8期中復(fù)習(xí)、考試2期末復(fù)習(xí)2合計(jì)64四、課程教學(xué)的基本要求課堂講授提高教學(xué)效果。習(xí)題課、課外作業(yè)、答疑的是復(fù)習(xí)鞏固課上講解的內(nèi)容，掌握解題思路和過(guò)程，平時(shí)課內(nèi)外及時(shí)答疑。五、本課程與其他課程的聯(lián)系與分工本課程的先修課程：數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù).本課程的后續(xù)課程：復(fù)變函數(shù)，非線性泛函分析等六、建議教材及主要參考資料建議教材[1]《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》，郭大鈞等，ft東大學(xué)出版社；2005.7第二版.主要參考資料夏道行等,實(shí)變函數(shù)與泛函分析,北京,高等教育出版社,1987.張恭慶等，泛函分析講義，北京，北京大學(xué)出版社,1987。周民強(qiáng),實(shí)變函數(shù),北京,北京大學(xué)出版社,1995.W.Rudin