數(shù)形結(jié)合,突破難點(diǎn)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)形結(jié)合,突破難點(diǎn)

吳曉雄

本文以蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“乘法分派律〞的教學(xué)實(shí)踐為例，圍繞“數(shù)形結(jié)合〞的思想，從起因、錯(cuò)題分析、教學(xué)改進(jìn)前的思考、教學(xué)改進(jìn)嘗試、改進(jìn)實(shí)踐后的成效這幾個(gè)方面層層深入地探究教學(xué)新方法，從而突破教學(xué)難點(diǎn)，提高教學(xué)效率。

教學(xué)難點(diǎn)數(shù)形結(jié)合教學(xué)摸索

一、緣起

某省小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中有這樣一道題（見(jiàn)圖1）。

測(cè)試下來(lái)，正確率對(duì)比低。那么，筆者所在的區(qū)域?qū)W校學(xué)生的狀況如何呢？筆者在一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校隨機(jī)抽取了五年級(jí)的一個(gè)班級(jí)的學(xué)生用這道題進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下（見(jiàn)圖2）。

測(cè)試班應(yīng)測(cè)41人，實(shí)測(cè)41人，選項(xiàng)選A的有9人，選B的有3人，選C的有10人，選D的有19人。

二、錯(cuò)題分析

此題的正確選項(xiàng)應(yīng)選D，從測(cè)試結(jié)果狀況來(lái)看，筆者覺(jué)得有點(diǎn)出乎意料，由于蘇教版數(shù)學(xué)教材把“乘法分派律〞這個(gè)內(nèi)容安排在四年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行教學(xué)，而這個(gè)測(cè)試是安排在四年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行的，按理說(shuō)，學(xué)生剛學(xué)過(guò)，而且也復(fù)習(xí)整理過(guò)，不應(yīng)當(dāng)只有46.3%的正確率，但事實(shí)擺在眼前，那么，是什么原因造成如此低下的正確率？筆者個(gè)別訪談了幾位五年級(jí)的任課教師，他們普遍認(rèn)為，“乘法分派律〞對(duì)比難教。那么，乘法分派律畢竟“難〞在哪兒？

（一）形式繁雜

概括表達(dá)乘法結(jié)合律對(duì)比簡(jiǎn)單，但表達(dá)乘法分派律就對(duì)比難。我們不妨把乘法結(jié)合律與乘法分派律的文字表述與字母公式進(jìn)行對(duì)比（見(jiàn)表1）。

我們可以看出，乘法結(jié)合律是只有乘法的一種運(yùn)算定律，書(shū)寫(xiě)形式相比較較簡(jiǎn)單，概念的表達(dá)對(duì)比清楚，而乘法分派律是含有乘法和加法兩種混合運(yùn)算的運(yùn)算律，等式中既有加法計(jì)算，又有乘法計(jì)算，而且等式左右兩邊的數(shù)字不完全一致（等式左邊有三個(gè)數(shù)字，等式右邊有四個(gè)數(shù)字），表達(dá)的形式也不對(duì)稱（等式左邊有小括號(hào)，等式右邊沒(méi)有小括號(hào);等式左邊只有一個(gè)乘號(hào)，等式右邊有兩個(gè)乘號(hào)），教材安排的教學(xué)過(guò)程是“解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題—看到一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象—舉出更多例子—在眾多案例中抽象概括〞，要求學(xué)生根據(jù)給出的三個(gè)等式抽象概括出乘法分派律的規(guī)律確實(shí)有點(diǎn)勉為其難。

（二）應(yīng)用靈活

乘法分派律是所有運(yùn)算律中應(yīng)用相比較較廣泛的運(yùn)算律，而且形式多樣，應(yīng)用十分靈活，特別是它的隱蔽性特別強(qiáng)，變式又特別多，導(dǎo)致學(xué)生在運(yùn)用乘法分派律的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算時(shí)往往漏洞百出。下面是學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)的幾種常見(jiàn)的錯(cuò)誤。

（1）405×16=405×10+6

錯(cuò)因分析：乘法分派律理解不透，沒(méi)有把握“分別相乘〞的本質(zhì)。

（2）405×（2×8）=405×2+405×8

錯(cuò)因分析：乘法分派律理解模糊，與乘法結(jié)合律混淆。

（3）405×16=400×10+5×6

錯(cuò)因分析：乘法分派律理解不深刻，憑感覺(jué)拆分計(jì)算。

……

從以上實(shí)例，我們可以看出，學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分派律在客觀上存在著很大的認(rèn)知困難，乘法分派律一直以來(lái)也被公認(rèn)為是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)。另外，筆者在與一些任課教師的交流中發(fā)現(xiàn)，大家也都認(rèn)為，乘法分派律是學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法交換律、結(jié)合律之后再一次深入地認(rèn)識(shí)運(yùn)算律。與乘法交換律、結(jié)合律相比，乘法分派律的形式繁雜、算理抽象、變式多樣，由于學(xué)生沒(méi)有生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)及相關(guān)認(rèn)識(shí)，他們沒(méi)能真正理解其內(nèi)涵，只是純粹地模仿。課后，學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的遺忘速度十分快，且不會(huì)靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，哪怕硬記了分派律的各種類型，仍舊會(huì)邊記邊忘，更談不上從真正意義上去理解。但是，教師苦于想不出好的教學(xué)方法去幫助學(xué)生理解乘法分派律的內(nèi)涵。

三、教學(xué)改進(jìn)前的思考

通過(guò)對(duì)教材、學(xué)生學(xué)情前測(cè)和教師訪談的分析，筆者認(rèn)為，學(xué)生只是機(jī)械地記住了乘法分派律的形式，而沒(méi)有很好地理解乘法分派律的意義的根本原因是學(xué)生在理解意義時(shí)缺少一個(gè)載體，這讓筆者想到“數(shù)形結(jié)合〞的思想。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。〞假如教師在教學(xué)時(shí)能輔之以直觀的圖形模型來(lái)幫助理解，從模型的角度組織教學(xué)，可以更加凸顯“抽象—推理—建模〞的數(shù)學(xué)思想，效果確定會(huì)更好。

基于以上考慮，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，以“有一條邊相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和〞的素材為教學(xué)載體，試圖讓學(xué)生經(jīng)歷具體問(wèn)題、類比推理、建立模型、解釋模型的過(guò)程，充分感受數(shù)學(xué)模型的思想;在后續(xù)的拓展中再不斷賦予模型“生長(zhǎng)〞的力量，讓乘法分派律的模型既源于圖形，又高于圖形，使學(xué)生對(duì)乘法分派律意義的理解更深刻、更飽滿。

四、教學(xué)改進(jìn)嘗試

（一）談話引入

（課件出示長(zhǎng)方形圖）

師：同學(xué)們，這是什么圖形？你會(huì)求長(zhǎng)方形的面積嗎？（長(zhǎng)×寬）還可以怎樣求？（寬×長(zhǎng)）。

（二）感受模型

師出示王大爺?shù)牟说貓D（見(jiàn)圖3）。

（1）王大爺種了哪兩塊菜地？它們的長(zhǎng)和寬各是多少？

（2）你能提出有關(guān)面積計(jì)算的問(wèn)題嗎？我們先來(lái)研究?jī)蓧K菜地的總面積。

（3）請(qǐng)你列綜合算式計(jì)算兩塊地的總面積。學(xué)生練習(xí)，教師巡查。

（4）交流算法[學(xué)生可能提出6×9+2×9和（6+2）×9]，師板書(shū)算式，說(shuō)說(shuō)你這種算法是先求什么，再求什么。多媒體動(dòng)畫(huà)演示合起來(lái)算的思路。

（5）對(duì)比得數(shù)，建立等式：（6+2）×9=6×9+2×9。

（6）小結(jié)：通過(guò)計(jì)算王大爺?shù)牟说孛娣e，我們得到了一個(gè)等式，等式的左邊是，等式的右邊是。

（7）觀測(cè)這個(gè)等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

由于兩個(gè)長(zhǎng)方形有一條邊的長(zhǎng)度是相等的，兩個(gè)長(zhǎng)方形能直接拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，學(xué)生計(jì)算面積之和時(shí)分開(kāi)計(jì)算與合起來(lái)計(jì)算的思路很簡(jiǎn)單形成，在建立等式的同時(shí)將分與合的兩種思路建立起了必然的聯(lián)系。由此，抽象的算式有了直觀的形象支撐，變得生動(dòng)起來(lái)，算式的結(jié)構(gòu)特征也就一目了然，理解也就輕松簡(jiǎn)單多了。

（三）建立模型

1.自建模型

師：老師這里有這樣兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的總面積是這樣計(jì)算的。

課件出示：兩個(gè)長(zhǎng)方形的總面積為（6+4）×3。

師：你能根據(jù)這個(gè)算式畫(huà)出這兩個(gè)長(zhǎng)方形嗎？

學(xué)生通過(guò)媒體展示交流，主要展示了兩種畫(huà)法：一種是兩個(gè)長(zhǎng)方形分開(kāi)畫(huà)，另一種是兩個(gè)長(zhǎng)方形合起來(lái)畫(huà)。

師：這兩種畫(huà)法有什么不同？

師：你還能想到哪一個(gè)和它相等的算式？你是怎么知道這個(gè)算式是和它相等的？

師板書(shū)：（6+4）×3=6×3+4×3。

師（小結(jié)）：根據(jù)算式畫(huà)長(zhǎng)方形，我們又得到了一個(gè)等式，等式的左邊是，等式的右邊是。

師：觀測(cè)一下這個(gè)等式，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？

從算式回歸圖形讓學(xué)生將具有“分〞與“合〞特征的算式“想象〞成兩個(gè)具有一致長(zhǎng)度的邊的長(zhǎng)方形，緊接著引導(dǎo)學(xué)生嘗試建立“圖形模型〞。

2.驗(yàn)證說(shuō)明

師：上面的兩組算式左右都相等嗎？左右兩邊的數(shù)有什么聯(lián)系？猜一猜，有這樣特點(diǎn)的等式還有哪些？你也能舉出這樣的例子嗎？請(qǐng)把你的例子寫(xiě)下來(lái)。

學(xué)生在練習(xí)紙上舉例、驗(yàn)證。

師：交流并板書(shū)一個(gè)學(xué)生的例子。

師（小結(jié)）：有這樣特點(diǎn)的算式還有好多。

體驗(yàn)是最好的論證方法。學(xué)生通過(guò)“模型〞的自主應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)了它的適用性，這使學(xué)生對(duì)腦海中乘法分派律“模型〞的建立加強(qiáng)了“理解度〞。

3.抽象概括

師：觀測(cè)這三個(gè)等式，它們有哪些一致的地方？把你的想法跟你的同桌交流一下。

師（小結(jié)）：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加。

由形到數(shù)再到文字表述，步步深入，從語(yǔ)言的描述中可以看出學(xué)生是否真正理解了“模型〞。

師：方才大家用文字表達(dá)這個(gè)運(yùn)算規(guī)律是不是有點(diǎn)麻煩，能不能跟乘法交換律一樣借助字母用一個(gè)式子就能表示出來(lái)？師板書(shū)：a

b

c

（a+b）×c=a×c+b×c

師（追問(wèn)）：這個(gè)字母公式左邊表示什么？右邊呢？

師：跟方才的文字比，感覺(jué)怎么樣？

師（小結(jié)）：字母符號(hào)是數(shù)學(xué)的特別語(yǔ)言，用它來(lái)表示發(fā)現(xiàn)的運(yùn)算規(guī)律就顯得簡(jiǎn)單明白。

師（透露課題）：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)學(xué)上叫作乘法分派律。

師板書(shū)課題：乘法分派律。

師（追問(wèn)）：你怎么理解“分派〞兩個(gè)字的含義？

師板書(shū)箭頭←，←。

4.解釋模型

師：我們借助計(jì)算長(zhǎng)方形的面積和發(fā)現(xiàn)了乘法分派律，那么，這個(gè)字母運(yùn)算規(guī)律（a+b）×c=a×c+b×c能不能看成是兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和呢？

課件出示圖形（見(jiàn)圖4）。

師：假如它是甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，那a、b、c分別是圖中哪幾條些邊的長(zhǎng)度？（媒體演示）

師：a與b的位置可以交換嗎？為什么？

（四）應(yīng)用模型

1.填一填

請(qǐng)你在□里填上適合的數(shù)，在○里填上適合的運(yùn)算符號(hào)。

（42+35）×2=42×□+35×□（為什么右邊的算式出現(xiàn)了兩個(gè)2）

27×12+43×12=（27+□）×□

15×26+15×14=□○（□+□）（這個(gè)乘法分派律跟我們方才學(xué)的有什么不一樣）

72×（30+6）=□○□○□○□（說(shuō)說(shuō)你是運(yùn)用什么運(yùn)算規(guī)律來(lái)想的）

2.想一想：算式聯(lián)想

（1）64×8+8×36

（2）86×（30+1）（錯(cuò)誤假象，“×1〞可省略不寫(xiě)嗎）

（3）（50+b）×c

（4）50×40+30×40+20×40（你是怎樣想的？在這里你又有什么發(fā)現(xiàn)？乘法分派律對(duì)于小括號(hào)里是三個(gè)數(shù)的和同樣適用）

3.試一試：豐富拓展

師：我們借助了兩個(gè)長(zhǎng)方形面積和的計(jì)算發(fā)現(xiàn)了乘法分派律，那么，像（65+45）×5=65×5+45×5這樣的等式是不是就一定表示兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和呢？還能表示其他的事情嗎？請(qǐng)把等式中的數(shù)填到下面的括號(hào)里：

一件上衣（

）元，一條褲子（

）元，買（

）件上衣和（

）條褲子一共要付多少元？

學(xué)生完成后，交流填寫(xiě)的數(shù)據(jù)，再試著用生活中的其他事情來(lái)解釋。

師（小結(jié)）：乘法分派律的算式不是只能用長(zhǎng)方形的面積和來(lái)解釋，還能用生活中的其他事情來(lái)解釋。

數(shù)學(xué)中的“模型〞，是普遍適用性和豐富多樣性的統(tǒng)一。此處安排的“解釋〞環(huán)節(jié)，把學(xué)生的思維引向更廣闊的天地，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的豐富和簡(jiǎn)約。

（五）回望解讀

師：其實(shí)，我們今天并不是第一次接觸乘法分派律，在以前的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)接觸過(guò)。

師出示長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算（見(jiàn)圖5）。

師：在這里，你找到了我們今天學(xué)的乘法分派律的影子了嗎？

師出示等式：28×2+15×2=（28+15）×2。

師：在下面的乘法豎式計(jì)算中，你也能找到乘法分派律的影子嗎？

長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算和計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)等內(nèi)容是學(xué)生已經(jīng)熟練把握的知識(shí)。通過(guò)這樣的回想和對(duì)比，學(xué)生恍然大悟，對(duì)乘法分派律又有了幾分親切感。

（六）發(fā)散聯(lián)想

師出示課始王大爺?shù)牟说貓D。

師：怎樣計(jì)算青菜地比蘿卜地多多少平方米？你又發(fā)現(xiàn)了什么？（兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)律）假如用字母表示，可以怎么寫(xiě)？

通過(guò)聯(lián)想，乘法分派律在學(xué)生眼中變得立體和飽滿了起來(lái)。

五、改進(jìn)實(shí)踐后成效

新授課終止，為了檢驗(yàn)課堂改進(jìn)后的教學(xué)效果，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)，后測(cè)內(nèi)容為教材內(nèi)容（見(jiàn)圖6）。

后測(cè)結(jié)果匯總（參與后測(cè)總?cè)藬?shù)為42人）見(jiàn)表2。

后測(cè)結(jié)果分析：絕大部分學(xué)生都能正確解答這8道題，說(shuō)明乘法分派律模型的建構(gòu)相當(dāng)成功，學(xué)生能較靈活運(yùn)用，不再出現(xiàn)結(jié)構(gòu)上“丟三落四〞和“