二次函數(shù)應(yīng)用題之最值問題

-.z.二次函數(shù)應(yīng)用題之最值問題〔講義〕一、知識點睛理解題意，辨識類型．二次函數(shù)應(yīng)用題常見類型有：實際應(yīng)用問題，最值問題．梳理信息時需要借助_______________．②函數(shù)模型：確定自變量和因變量；根據(jù)題意確定題目中各個量之間的等量關(guān)系，用自變量表達對應(yīng)的量從而確定函數(shù)表達式．例如：問"當售價為多少元時，年利潤最大？〞確定售價為自變量*，年利潤為因變量y，年利潤=(售價-進價)×年銷量，用*表達年銷量，從而確定y與*之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解，_____________．驗證結(jié)果是否符合實際背景及自變量取值范圍要求．二、精講精練*汽車租賃公司擁有20輛汽車．據(jù)統(tǒng)計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出，且每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛，公司平均每日的各項支出共4800元．設(shè)公司每日租出*輛車時，日收益為y元．〔日收益=日租金收入-平均每日各項支出〕〔1〕公司每日租出*輛車時，每輛車的日租金為_______元〔用含*的代數(shù)式表示〕；〔2〕當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益最大？最大是多少元？〔3〕當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧？【分析】日租金租出車輛每日本錢解：*商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件．如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件〔每件售價不能高于65元〕．設(shè)每件商品的售價上漲*元〔*為正整數(shù)〕，每個月的銷售利潤為y元．〔1〕求y與*的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量*的取值范圍；〔2〕每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？〔3〕每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元．【分析】售價進價利潤銷量解：*中學(xué)課外活動小組準備圍建一個矩形生物苗圃園．其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成．墻長為18米〔如下圖〕，設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為*米．〔1〕假設(shè)平行于墻的一邊的長為y米，直接寫出y與*之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量*的取值范圍．〔2〕垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大？最大面積是多少？〔3〕當這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出*的取值范圍．*工廠生產(chǎn)一種合金薄板〔其厚度忽略不計〕，這些薄板的形狀均為正方形，邊長在5~50〔單位：cm〕之間．每張薄板的本錢價〔單位：元〕與它的面積〔單位：cm2〕成正比例；每張薄板的出廠價〔單位：元〕由根底價和浮動價兩局部組成，其中根底價與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的，浮動價與薄板的邊長成正比例．在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)：薄板的邊長〔cm〕2030出廠價〔元/〕5070〔1〕求一張薄板的出廠價與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．〔2〕出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得的利潤為26元．〔利潤=出廠價-本錢價〕①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數(shù)關(guān)系式．②當邊長為多少時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【分析】邊長出廠價本錢價解：我市高新技術(shù)開發(fā)區(qū)的*公司，用480萬元購得*種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，并進一步投入資金1520萬元購置生產(chǎn)設(shè)備，進展該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工．生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需本錢費40元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷售單價定在150元到300元之間較為合理，銷售單價*〔元〕與年銷售量y〔萬件〕之間的變化可近似的看作是如下表所反映的一次函數(shù)：銷售單價*〔元〕200230250年銷售量y〔萬件〕1075〔1〕請求出y與*之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量*的取值范圍．〔2〕請說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？假設(shè)盈利，最大利潤是多少？假設(shè)虧損，最少虧損多少？〔3〕在〔2〕的前提下，即在第一年盈利最大或虧損最小時，第二年公司重新確定產(chǎn)品售價，能否使兩年共盈利1790萬元？假設(shè)能，求出第二年的產(chǎn)品售價；假設(shè)不能，請說明理由．【分析】售價本錢利潤年銷量其他本錢解：三、回憶與思考【參考答案】知識點睛2．函數(shù)表達式，自變量取值范圍．①列表、圖形．3．驗證取舍．精講精練1．〔1〕；〔2〕當每日租出14輛時，租賃公司的日收益最大，最大是5000元．〔3〕當每日租出4輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧．2．〔1〕〔，且*為正整數(shù)〕；〔2〕每件商品的售價定為5元或6元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2400元；〔3〕每件商品的售價定為51元或60元時，每個月的利潤恰為2200元，每件商品的售價m滿足時，每個月的利潤不低于2200元．3．〔1〕〔〕；〔2〕垂直于墻的一邊的長為米時，這個苗圃園的面積最大，最大面積是平方米；〔3〕．4．設(shè)一張薄板的邊長為*cm，出廠價為y元，利潤為w元．〔1〕；〔2〕①；②當邊長為25cm時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大，最大利潤是35元．5．〔1〕〔〕；〔2〕投資的第一年該公司虧損，最少虧損310萬元；〔3〕不能，理由略．二次函數(shù)應(yīng)用題之最值問題〔隨堂測試〕*商場將進貨單價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家"家電下鄉(xiāng)〞政策的實施，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．調(diào)查說明：這種冰箱的銷售單價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．〔1〕設(shè)每臺冰箱降價*元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請求出y與*之間的函數(shù)關(guān)系式．〔2〕商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應(yīng)降價多少元？〔3〕每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤是多少？【分析】售價進價利潤銷量【參考答案】1．〔1〕．〔2〕每臺冰箱應(yīng)降價200元．〔3〕每臺冰箱降價150元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高，最高利潤是5000元．二次函數(shù)應(yīng)用題之最值問題〔作業(yè)〕*商店經(jīng)營兒童益智玩具，成批購進時的單價是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元．設(shè)每件玩具的銷售單價上漲了*元時〔*為正整數(shù)〕，月銷售利潤為y元．〔1〕求y與*之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量*的取值范圍．〔2〕當每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰好為2520元？〔3〕每件玩具的售價定為多少元時，可使月銷售利潤最大？最大的月銷售利潤是多少？【分析】售價進價利潤月銷量解：在Rt△ABC的內(nèi)部作一個矩形DEFG，按如下圖的位置放置，其中∠A=90°，AB=40m，AC=30m．〔1〕如果設(shè)矩形的一邊DE=*m，則DG邊的長度如何表示？〔2〕在〔1〕的條件下，設(shè)矩形的面積為ym2，則當*取何值時，y的值最大？最大值是多少？*商家經(jīng)銷一種綠茶，用于裝修門面已投資3000元，綠茶每千克的本錢為50元，在第一個月的試銷時間內(nèi)發(fā)現(xiàn)，銷量w〔kg〕隨銷售單價*〔元/kg〕的變化而變化，具體變化規(guī)律如下表所示：銷售單價*〔元/kg〕…7075808590…銷售量w〔kg〕…10090807060…設(shè)該綠茶的月銷售利潤為y〔元〕〔銷售利潤=單價×銷售量-本錢-投資〕．〔1〕請根據(jù)上表，寫出w與*之間的函數(shù)關(guān)系式〔不必寫出自變量*的取值范圍〕；〔2〕求y與*之間的函數(shù)關(guān)系式〔不必寫出自變量*的取值范圍〕，并求出當*為何值時，y的值最大；〔3〕假設(shè)在第一個月里，按使y獲得最大值的銷售單價進展銷售后，在第二個月里受物價部門的干預(yù)，銷售單價不得高于90元/kg，要想在全部收回投資的根底上使第二個月的利潤到達1700元，則第二個月里應(yīng)該確定銷售單價為多少元？【分析】售價本錢利潤銷量其他本錢解：二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1，-1)，且圖象經(jīng)過點(0，-3)．求這個二次函數(shù)的解析式．二次函數(shù)的圖象如下圖，假設(shè)一元二次方程有實數(shù)根，則m的最大值為〔〕A．-3B．3C．-5D．9拋物線上局部點的橫坐標*，縱坐標y的對應(yīng)值如下表：*…-1235…y…00-6…根據(jù)上表判斷以下五種說法：①拋物線的對稱軸是直線*=1；②當時，y隨*的增大而減??；③拋物線有最高點，頂點坐標為(2，)；④拋物線的解析式為；⑤以拋物線的頂點以及與*軸的兩個交點為頂點的三角形的面積為4．其中正確結(jié)論的序號是_______________．二次函數(shù)〔a≠0〕的圖象如下圖，有以下結(jié)論：⑤⑥〔m≠1〕其中正確結(jié)論的序號是_______________．【參考答案】1．〔1〕〔，且*為正整數(shù)〕；〔2〕當每件玩具的售價定為32元時，月銷售利潤恰好為2520元；〔3〕每件玩具的售價定為6元或7元時，可使月銷售利潤最大，最大的月銷售利潤是2720元．2．〔1〕；〔2〕當*=12時，y的值最大，最大值是300．3．〔1〕；〔2〕，當*=85時，y的值最大；〔3〕第2個月里應(yīng)該確定銷售單價為75元．4．5．B6．①②④⑤7．①④⑤⑥每周一練〔二〕且，則ABC一定是〔〕A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．有一個角是60°的三角形，則的值為〔〕A． B． C．1 D．對于二次函數(shù)，以下說法正確的選項是〔〕A．圖象開口向下B．當時，y隨*的增大而減小C．函數(shù)有最小值-8D．與y軸交點的坐標為(0，-8)在同一平面直角坐標系內(nèi)，將函數(shù)的圖象沿軸向右平移2個單位長度后再沿軸向下平移1個單位長度，所得圖象的頂點坐標是〔〕A．(-1，1) B．(1，-2)C．(2，-2) D．(1，-1)將拋物線的圖象向左平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為，則有〔〕A．b=2，c=6B．b=2，c=-6C．b=-6，c=14D．b=-6，c=0二次函數(shù)的圖象如下圖，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過〔〕A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．二、三、四象限D(zhuǎn)．一、三、四象限反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的大致圖象如下圖，則它們的解析式可能分別是〔〕A．，B．，C．，D．，第7題圖第8題圖二次函數(shù)〔〕的圖象如下圖，當時，以下說法正確的選項是〔〕A．有最小值-5，最大值0B．有最小值-3，最大值6C．有最小值0，最大值6D．有最小值2，最大值二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1，2)，B(3，2)，C(0，-1)，D(2，3)四點，且點P(，)，Q(，)也在該函數(shù)的圖象上，則當，時，與的大小關(guān)系正確的選項是〔〕A．B．C．D．假設(shè)等腰三角形的面積為10，腰長為5，則此等腰三角形的底角的正切值為_________．假設(shè)拋物線的頂點坐標是(-1，-2)，則b與c的值分別是_______、_______．兩數(shù)之和為-10，則它們乘積的最大值是________，此時兩數(shù)分別為____________．如圖，函數(shù)與〔，〕的圖象交于點P，且點P的縱坐標為1，則關(guān)于的方程的解為____________．假設(shè)不管*取何值，拋物線的函數(shù)值總為正數(shù)，則拋物線的頂點在第___象限，的取值范圍是_______．二次函數(shù)〔〕的圖象與*軸交于A(*1，0)，B(*2，0)兩點，且，則實數(shù)*1，*2，m，n的大小關(guān)系為_______________________．二次函數(shù)〔a≠0〕的局部圖象如下圖，其對稱軸為直線*=1，則以下說法正確的有_________．〔填寫序號〕①；②；③；④當時，；⑤〔≠1〕．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0，3)，B(2，3)，C(-1，0)三點．〔1〕求此二次函數(shù)的解析式；〔2〕求此二次函數(shù)圖象的頂點坐標；〔3〕假設(shè)P(n，y1)，Q(4，y2)是該二次函數(shù)圖象上的兩點，且，則實數(shù)的取值范圍是_________________．二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(3，-2)，且與軸交于點(0，)．〔1〕求函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象；〔2〕當y≤6時，求自變量*的取值范圍．如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C，點B與點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點A(1，0)及點B．〔1〕求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；〔2〕根據(jù)圖象，寫出滿足的*的取值范圍．學(xué)校方案用地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓前矩形廣場的地面ABCD，矩形廣場地面的長為100米，寬為80米．圖案設(shè)計如下圖，廣場的四角均為小正方形，陰影局部為四個矩形，且四個矩形的寬都與小正方形的邊長相等．陰影局部鋪綠色地面磚，其余局部鋪白色地面磚．〔1〕要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，則矩形廣場四角的小正方形的邊長應(yīng)為多少米？〔2〕如果鋪白色地面磚的費用為每平方米30元，鋪綠色地面磚的費用為每平方米20元，則當廣場四角小正方形的邊長為多少米時，鋪廣場地面的總費用最少？最少總費用是多少元？如圖，排球運發(fā)動站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y〔m〕與運行的水平距離*〔m〕滿足關(guān)系式．球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m．〔1〕求y與*的關(guān)系式〔不要求寫出自變量*的取值范圍〕；〔2〕球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由．如下圖，一