廣東高考數(shù)學(xué)(理)一輪題庫(kù)88立體幾何中的向量方法(二)

匠心文檔，專屬精選。第8講立體幾何中的向量方法（二）一、選擇題1．兩平行平面α，β分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量n＝(－1,0,1)，則兩平面間的距離是()32A.2B.2C.3D．32分析兩平面的一個(gè)單位法向量n0＝22，故兩平面間的距離d－2，0，2→2＝|OA·n0＝2.|答案B2．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉1＝－2，則l與α所成的角為()．A．30°B．60°C．120°D．150°1分析設(shè)l與α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈m，n〉|＝2，∴θ＝30°.答案A3．長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()．1030215310A.10B.10C.10D.10分析成立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)．→→BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，→→→→BC1·AE30cos〈BC1，AE〉＝→→＝10.|BC1||AE|30因此異面直線BC1與AE所成角的余弦值為10.答案B匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。4．已知直二面角αl-β，點(diǎn)AαACl，C為垂足，點(diǎn)BβBDl，D-∈，⊥∈，⊥為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝()．A．2B.3C.2D．1分析如圖，成立直角坐標(biāo)系Dxyz，由已-知條件B，A，t,0)(t＞0)，(0,0,1)(1由AB＝2解得t＝2.答案C5．如圖，在四周體ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，πCD＝2.∠ABC＝∠DCB＝2，則二面角A－BC－D的大小為()．ππ5π5πA.6B.3C.3D.6→→→分析二面角A－BC－D的大小等于AB與CD所成角的大小.AD＝AB＋BC＋→→→→→→→→→CD.而AD2＝AB2＋CD2＋BC2－2|AB··〈AB，CD〉，即12＝1＋4＋9－||CD|cos→→→→π，CD〉，∴cos〈AB，CD〉＝1，∴AB與CD所成角為，即二面2×2cos〈AB23π角A－BC－D的大小為3.應(yīng)選B.答案B6．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小為°，則AD的長(zhǎng)為()60A.2B.3C．2D.22匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選。分析如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CACBCC所在的直線分別為x軸，y軸，1z軸成立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)．則m·CB1＝02y＋2z＝0?1m·CD＝0x＋az＝0得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，m·n112，則由cos60°＝mn，得2＝，即a＝||||a＋22故AD＝2.答案A二、填空題7．若平面α的一個(gè)法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的正弦值為_(kāi)_______．分析cos〈n，a〉＝n·a＝－8411＝－|n||a|32×2233.411又l與α所成角記為θ，即sinθ＝|cos〈n，a〉|＝33.11答案33.88．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為9，則λ________.8a·b－λ＋4分析＝2由已知得＝|a||b|，95＋λ2·985＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝2.552答案－2或559．已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。CF＝2FC，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_(kāi)_______．1分析如圖，成立直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)DA＝1由已12知條件A(1,0,0)，E1，1，3，F(xiàn)0，1，3，→→12AE＝0，1，3，AF＝－1，1，3，設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)，面AEF與面ABC所成的二面角為θ，→1＝0，y＋3z＝0，得由→－x＋y＋2＝0.n·AF＝03z令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1,1，－3)平面ABC的法向量為m＝(0,0，－1)311，tanθ＝2cosθ＝cos〈n，m〉＝113.2答案310．在三棱錐O－ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的正切值是________．分析如下圖成立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA＝OB＝OC＝1，則A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，1→→→1M2，2，0，故AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)，OM11＝2，2，0.設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，→，－x＋y＝0，則由n⊥AB得－x＋z＝0，→，n⊥AC匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選?！?6，令x＝1，得n＝(1,1,1)．故cos〈n，OM〉＝＝233×26因此OM與平面ABC所成角的正弦值為3，其正切值為2.答案2三、解答題11．如圖，四周體ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn)．(1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距離；(3)求EF與平面ACD所成角的正弦值．解如圖，分別以直線BC、BD、BA為x、y、z軸成立空間直角坐標(biāo)系，則各有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)．→→(1)∵AB＝(0,0，－4)，EF＝(－2,2,2)，→→－83∴|cos〈AB，EF〉|＝4×23＝3，∴異面直線AB與EF所成角的余弦值為33.(2)設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，→→→n·AC＝0，∵AC＝(4,0，－4)，CD＝(－4,4,0)，則→n·CD＝0，4x－4＝0，∴4x＋4y＝0，x＝y(tǒng)＝1，∴n＝(1,1,1，)．→∵F∈平面ACD，EF＝(－2,2,2)，匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選?！郋到平面ACD的距離為d＝|n·EF|＝2＝23|n|33.→2＝1(3)EF與平面ACD所成角的正弦值為|cos〈n，EF〉|＝3×23312．如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)求二面角P－BD－A的大小．(1)證明如圖，成立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，→→∴AP＝(0,0,3)，AC＝(23，6,0)，→BD＝(－23，2,0)．→→→→∴BD·AP＝0，BD·AC＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.(2)解設(shè)平面ABD的法向量為m＝(0,0,1)，設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)，→→→則n·BD＝0，n·BP＝0.∵BP＝(－23，0,3)，－23x＋2y＝0，y＝3x，∴解得23－23x＋3z＝0z＝3x.m·n令x＝3，則n＝(3，3,2)，∴cos〈m，n〉＝|m||n|1＝2.∴二面角P－BD－A的大小為60°.113．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝2AA1，匠心教育文檔系列6匠心文檔，專屬精選。是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC.(2)求二面角A1－BD－C1的大?。?1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．因?yàn)镈為AA1的中點(diǎn)，故DC＝DC1.1222又AC＝2AA1，可得DC1＋DC＝CC1，因此DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，因此DC1⊥平面BCD.因?yàn)锽C?平面BCD，因此DC1⊥BC.(2)解由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，則BC⊥平面ACC1A1，因此CA，CB，為坐標(biāo)原點(diǎn)，→→CC兩兩互相垂直．以C的方向?yàn)閤軸的正方向，|CA為單1位長(zhǎng)，成立如下圖的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.由題意知A1，，(1,0,2)B(0,1,0)D(1,0,1)，C1(0,0,2)．→→→則A1D＝(0,0，－1)，BD＝(1，－1,1)，DC1＝(－1,0,1)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面A11的法向量，則BBD→n·BD＝0，x－y＋z＝0，→即可取n＝(1,1,0)．z＝0，·A1D＝0，同理，設(shè)m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，則→＝0，－＋＝，m·BD即xyz0→可取m＝(1,2,1)．－x＋z＝0，m·DC1＝0，進(jìn)而cos〈n，m〉＝n·m3|n||m|·＝2.故二面角A1－BD－C1的大小為30°.14．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面BCE；匠心教育文檔系列7匠心文檔，專屬精選。求證：平面BCE⊥平面CDE；求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．解方法一：證法一：取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG.1F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF＝2DE，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB∥DE，∴GF∥AB.1又AB＝2DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG.AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE.證法二：取DE的中點(diǎn)M，連結(jié)AM、FM，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴FM∥CE.AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.1又AB＝DE＝ME，2∴四邊形ABEM為平行四邊形，則AM∥BE.FM、AM?平面BCE，CE、BE?平面BCE，∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.AF?平面AFM，∴AF∥平面BCE.匠心教育文檔系列8匠心文檔，專屬精選。證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD.DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.在平面CDE內(nèi)，過(guò)F作FH⊥CE于H，連結(jié)BH，∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE.∴∠FBH為BF和平面BCE所成的角．2設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，則FH＝CFsin45°＝2a，222a2＝a，BF＝AB＋AF＝a＋32FH2在Rt△FHB中，sin∠FBH＝BF＝4.2∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為4.方法二：設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，成立如下圖的坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，Ba，Da，a,，Ea，a,a．(0,0，)(30)(32)F為CD的中點(diǎn)，∴F3a，3a，0.22→33→a，a，a→a,，－a，(1)證明：AF＝a，a，0，BE＝，BC＝(22(3)0)2→1→→AF＝2(BE＋BC)，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE.→33→→(2)證明：∵AF＝2a，2a，0，CD＝(－a，3a,0)，ED＝(0,0，－2a)，匠心教育文檔系列9匠