下載本文檔
版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內(nèi)容提供方，若內(nèi)容存在侵權，請進行舉報或認領
文檔簡介
2017
年5
月30
日第九章·微分方程與差分方程暨南大學數(shù)學系第一節(jié)
微分方程的一般概念第二節(jié)
一階微分方程第三節(jié)
二階微分方程[第四節(jié)
差分方程的一般概念第五節(jié)
一階常系數(shù)線性差分方程第六節(jié) 二階常系數(shù)線性差分方程[定義
1
含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程F
(
,
y
,
y
′
,
y
′′
,
·
·
·
,
y(n))
=
0稱為微分方程．階例子1
23≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
3/46
定義
1
含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程F
(
,
y
,
y
′
,
y
′′
,
·
·
·
,
y(n))
=
0稱為微分方程．其中出現(xiàn)的導數(shù)的最高階數(shù)n
，稱為微分方程的階．例子1
23≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
3/46
定義
1
含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程F
(
,
y
,
y
′
,
y
′′
,
·
·
·
,
y(n))
=
0稱為微分方程．其中出現(xiàn)的導數(shù)的最高階數(shù)n
，稱為微分方程的階．例子
判別下列微分方程的階數(shù)：d
y1.
+
y
=d2
.
d
?
y
2
d
y
=03.
y
′′
+
y
′
=
e≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
3/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程y
=
1
=
3初始條件解答≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）初始條件通解特解≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．通解特解≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．因此通解y
=
2
+
2特解≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·通
解將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．因此2+
2y
=特解≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程·
·
·
·
·
初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·通
解將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．因此y
=
2
+2
特解≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程·
·
·
·
·
初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·通
解將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．因此y
=
2
+2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
特解≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
4/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答O1O2通解初始條件初始條件O1O2特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）O2通解初始條件初始條件O1O2特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到1O2
y
=
?
2
+
C
1通解2初始條件初始條件+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）O1O2特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到O2
y
=
?12,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解2
+
C
1
+
C2
（
C1O1O2初始條件初始條件特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．初始條件O2特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．將初始條件
y
|
=
0
=
0
代入
O2
，得到
C
2
=
0．特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．將初始條件
y
|
=
0
=
0
代入
O2
，得到
C
2
=
0．因此特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．將初始條件
y
|
=
0
=
0
代入
O2
，得到
C
2
=
0．因此12y
=
?2
+特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．將初始條件
y
|
=
0
=
0
代入
O2
，得到
C
2
=
0．因此12
+y
=?
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
特2解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
第一節(jié)
微分方程的一般概念第二節(jié)
一階微分方程第三節(jié)
二階微分方程[第四節(jié)
差分方程的一般概念第五節(jié)
一階常系數(shù)線性差分方程第六節(jié) 二階常系數(shù)線性差分方程[一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
7/46
一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.在這一節(jié)中，研究
3
種一階微分方程：≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
7/46
一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.在這一節(jié)中，
研究
3
種一階微分方程：1.可分離變量微分方程2.3≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
7/46
一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.在這一節(jié)中，
研究
3
種一階微分方程：可分離變量微分方程齊次微分方程3≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
7/46
一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.在這一節(jié)中，
研究
3
種一階微分方程：可分離變量微分方程齊次微分方程一階線性微分方程≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
7/46
可分離變量微分方程齊次微分方程一階線性微分方程㈠可分離變量微分方程形如?
(y)d
y
=g
(分方程．)d
的方程稱為可分離變量微≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
9/46
㈠可分離變量微分方程形如?
(y)d
y
=g
(分方程．)d
的方程稱為可分離變量微對這種方程的兩邊同時積分，就可以求出它的通解．≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
9/46
可分離變量微分方程dd
y
=
?
y例
1
求微分方程練的通解．≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
10/46
可分離變量微分方程dd
y
=
?
y例
1
求微分方程的通解．練的通解．求微分方程
(1
+
y)
d
?
(1
?
)
d
y
=
0≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
10/46
可分離變量微分方程在初始條件
y|
=0
=
1
下例
2
求微分方程
y
′
=
?y的特解．練習2≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
11/46
可分離變量微分方程例
2
求微分方程
y
′
=
?y的特解．在初始條件
y|
=0
=
1
下1
+
y練習
2
求微分方程
d件y
|–
y1+d
y
=0
滿足初始條=0
=1
的特解．≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
11/46
可分離變量微分方程?例
3
求微分方程
y
′
=
2條件y
=
0
=
?
1
下的特解．y
2的通解，以及在初始解答注記≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
12/46
可分離變量微分方程?例
3
求微分方程
y
′
=
2條件y
=
0
=
?
1
下的特解．y
2的通解，以及在初始12
+
C
．解答
通解為
y
=
?注記≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
12/46
可分離變量微分方程?y
2的通解，以及在初始例
3
求微分方程
y
′
=
2條件y
=
0
=
?
1
下的特解．1解答
通解為
y
=
?2．+
C注記
通解
?=
全部解．≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
12/46
可分離變量微分方程齊次微分方程一階線性微分方程o
齊次微分方程形如d
yd=
?y的微分方程稱為齊次微分方程．≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
14/46
o
齊次微分方程形如d
yd=
?y的微分方程稱為齊次微分方程．例如：=d
y
?
2yd
+
yd
yy
2
=
d
y
+2≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
14/46
齊次微分方程的解法1.標準化：將微分方程化為d
y
=?
(y
)d2≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
15/46
齊次微分方程的解法標準化：將微分方程化為d
y
=?
(y
)d換元：令
=
y
，≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
15/46
齊次微分方程的解法1.標準化：將微分方程化為d
y
=?
(y
)d2.
換元：令
=
y
，則有
y
=
，≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
15/46
齊次微分方程的解法1.標準化：將微分方程化為d
y
=?
(y
)2.換元：令d=
y
，則有
y
=
，
從而
d
y
=
d
+．d
d≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
15/46
齊次微分方程的解法1.標準化：將微分方程化為
d
y
=?
(y
)2.換元：令d=
y
，則有
y
=
，
從而
d
y
=
d
+．代入原方程得到d
dd(
)d+ =
?34≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
15/46
齊次微分方程的解法1.標準化：將微分方程化為
d
y
=?
(y
)2.換元：令d=
y
，則有
y
=
，
從而
d
y
=
d
+得到d
d．代入原方程d+ =
?(
)
d=分離變量：得到
d
d
?
( )
?3.4≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
15/46
齊次微分方程的解法1.標準化：將微分方程化為
d
y
=?
(y
)2.換元：令d=
y
，則有
y
=
，
從而
d
y
=
d
+得到d
d．代入原方程d3.分離變量：得到d+ =
?
()dd=?
( )
?4.兩邊積分：得到通解，然后將回代≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
15/46
齊次微分方程求d
y
=y
2dy?2的通解．例4練習3≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
16/46
齊次微分方程求d
y
=y
2d
y?2的通解．例4練習
3
求微分方程
y
′
=
y
+
的通解．≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
16/46
齊次微分方程y例
5
求
(
e
+
y)
d
=
d
y
在初始條件
y|=
0下的特解．練習4=1≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
17/46
齊次微分方程y例
5
求
(
e
+
y)
d
=
d
y
在初始條件
y|=
0=1下的特解．練始條習件4
y
|求微=1分=方0程下(的特2解+．y
2
)d初–
y
d
y
=0
在≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
17/46
可分離變量微分方程齊次微分方程一階線性微分方程㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．一階線性齊·
次·
微分方程
階線性非齊次微分方程≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
19/46
㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．
若
q
( )
≡
0，稱為一階線性·齊·次微分方程若q
()?≡0，稱為一階線性非·
齊·
次·
微分方程≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
19/46
㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．
若q
()≡0，稱為一階線性齊·
次·
微分方程
若q
()?≡0，稱為一階線性非·
齊·
次·
微分方程·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
··1.
y
′
+
y
=22.3377≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
19/46
㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．
若
q
( )
≡
0，稱為一階線性·齊·次微分方程若q
()?≡0，稱為一階線性非·
齊·
次·
微分方程·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
··y
′
+
y
=y
′
+
y
2
=
sin32377≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
19/46
㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．
若
q
( )
≡
0，稱為一階線性·齊·次微分方程若q
()?≡0，稱為一階線性非·
齊·
次·
微分方程·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
··1.
y
′
+
y
=2y
′
+
y
2
=
sinyy
′
+
y
=
1377≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
19/46
一階線性齊次微分方程先看一階線性齊·
次·
微分方程
y
′
+
p
( )
y
=
0．y C
e∫p(
)
d≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
20/46
一階線性齊次微分方程先看一階線性齊次微分方程y′·
·+
p
( )
y
=
0．分離變量得到d
yy=
?
p
( )
dy C
e∫p( )
d≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
20/46
一階線性齊次微分方程先看一階線性齊次微分方程y′·
·+
p
( )
y
=
0．分離變量得到d
yy兩邊同時積分，得到=
?
p
( )
d∫ln
y
=
?
p
( )
d
+
lnCy C
e∫p( )
d≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
20/46
一階線性齊次微分方程先看一階線性齊次微分方程y′·
·+
p
( )
y
=
0．分離變量得到d
yy兩邊同時積分，得到ln
y
=
?=
?
p
( )
d∫p
(
)
d
+
lnC消去對數(shù)，得到通解為y
=
C
e
?∫p( )
d≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
20/46
再看一階線性非·
齊·
次·
微分方程
y
′+p
()
y
=
q(
)．∫q(
)yd∫p(
)
d(
)
ey≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
21/46
再看一階線性非齊次微分方程·
·
·′y
+
p
(
)
y
=
q(
)．整理變量得到=d
yy?q(
)y?–
p
( )
d∫q(
)yd∫p(
)
d(
)
ey≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
21/46
再看一階線性非齊次微分方程·
·
·′y
+
p
(
)
y
=
q(
)．整理變量得到d
y
?
q(
)y
y?=
?
p
( )
d兩邊同時積分得到（認定y
為的函數(shù)）q(
)yln
y
=
d∫∫–
p
(
)
d∫p(
)
d(
)
ey≡
1
?
??
2
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
21/46
再看一階線性非齊次微分方程·
·
·′y
+
p
(
)
y
=
q(
)．整理變量得到?q(
)d
yy
y?=
?
p
( )
d兩邊同時積分得到（認定y
為的函數(shù)）q(
)yln
y
=
d∫∫–
p
(
)
dy∫消去對數(shù)，得到通解為（其中
( )
=eq(
)
d>∫y
=
()
e?p( )
d≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
21/46
再看一階線性非齊次微分方程·
·
·′y
+
p
(
)
y
=
q(
)．整理變量得到d
y
?
q(
)y
y?=
?
p
(
)
d兩邊同時積分得到（認定y
為的函數(shù)）q(
)yln
y
=
d∫∫–
p
(
)
dy∫q(
)
d>消去對數(shù)，得到通解為（其中∫y
=
( )
e?( )
=
ep(
)
d這就得到了一階線性非齊次方程的通解的形式．≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
21/46
常數(shù)變易法∫將
y
=
( )
e?p(
)
d代入
y
′
+
p
( )
y
=
q()．
22/46
常數(shù)變易法′
(y
′
= )
e
+
()
e?
p
(
)
d
?
p
(
)
d∫)
e?p( )
d將
y
=
(代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·′·
·
·
·
·
·
22/46
常數(shù)變易法+
()
e?
p
(
)
d
?
p
( )
d∫將
y
=
( )
e?p(
)
d代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·′·
·
·
·
·
·y
′
==′
(′
()
e∫)
e?
p
(
)
d–
( )
p
(∫)
e
?p()d
22/46
常數(shù)變易法)
e
+
e?
p
( )
d
?
p
(
)
d∫)
e?p( )
d將
y
=
(代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·′·
·
·
·
·
·y
′
=()==?
p
(
)
d∫)
e
?p()d′
(′
(′
(∫)
e∫)
e?
p
(
)
d–
( )
p
(–
p
(
)
y≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
22/46
常數(shù)變易法?
p
(
)
d)
e
+
()
e∫將
y
=
( )
e?p(
)
d代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·′·
·
·
·
·
·?
p
( )
d?
p
( )
d∫
∫)
e
?
( )
p
( )
ey
′
==?p(
)d=得到′
(′
(′
(∫)
e?
p
(
)
d–
p(
)y′
(∫)
e?
p
(
)
d=
q()
22/46
常數(shù)變易法)
e
+
e?
p
( )
d
?
p
(
)
d∫)
e?p( )
d將
y
=
(代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
∫·
·
·
·
·
·
·
·
·′·
·
·
·
·
·y
′
=()==?
p
(
)
d∫)
e
?p()d得到即有′
()
=
q(∫)
p( )
d′
(′
(′
(∫)
e∫)
e?
p
(
)
d–
( )
p
(–
p(
)y′
(∫)
e?
p
(
)
d=
q()≡
1
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
????
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
22/46
常數(shù)變易法′
()
=
q(
)e∫)
e?p( )
d將
y
=
(
代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·∫·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·p( )
dy
e∫p(
)
d?
∫q(
)e∫p( )
d?+
C≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
23/46
常數(shù)變易法∫)
e?p( )
d將
y
=
(
代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·∫·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·p(
)
d′
()
=
q(
)e∫( )
=
q(
)e∫y
e∫p(
)
d?
∫q(
)ep(
)
d+
C∫p( )
d?+
C≡
1
???
2
?
?
????
?
????
?
?
?????
??
?
?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6?
23/46
常數(shù)變易法∫)
e?p( )
d將
y
=
(
代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年技術檢測與標準認證服務合作協(xié)議書
- 2025年鋁硅靶、鋁硅銅靶材項目建議書
- 拱橋：勁性骨架混凝土拱工程現(xiàn)場質量檢驗報告單（三）
- 2025年脂肪醇聚氧乙烯醚項目合作計劃書
- 腎病患者如何預防感冒
- 2025年工程和技術研究與試驗發(fā)展服務項目發(fā)展計劃
- 保鮮花椒企業(yè)數(shù)字化轉型與智慧升級戰(zhàn)略研究報告
- 智能物料搬運系統(tǒng)升級企業(yè)制定與實施新質生產(chǎn)力戰(zhàn)略研究報告
- 沐浴服務企業(yè)ESG實踐與創(chuàng)新戰(zhàn)略研究報告
- 運動褲企業(yè)縣域市場拓展與下沉戰(zhàn)略研究報告
- 城鄉(xiāng)的規(guī)劃法解讀
- 2024年全國鄉(xiāng)村醫(yī)生資格考試專業(yè)基礎知識復習題庫及答案（共150題）
- 蘇教版六年級下冊數(shù)學第三單元第1課《解決問題的策略（1）》課件（公開課）
- EOS-60D-說明手冊課件
- 企業(yè)經(jīng)營管理診斷方案
- 壓瘡上報登記表
- 2021年無人機駕駛員考試題庫及答案(完整版)
- 城軌車輛常見制動系統(tǒng)-EP09制動系統(tǒng)
- 同位素水文學研究綜述
- 【公開課】第1章發(fā)酵工程單元復習教學設計高二下學期生物人教版選擇性必修3
- 植筋施工施工方案
評論
0/150
提交評論