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文檔簡介
2017
年5
月30
日第九章·微分方程與差分方程暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系第一節(jié)
微分方程的一般概念第二節(jié)
一階微分方程第三節(jié)
二階微分方程[第四節(jié)
差分方程的一般概念第五節(jié)
一階常系數(shù)線性差分方程第六節(jié) 二階常系數(shù)線性差分方程[定義
1
含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程F
(
,
y
,
y
′
,
y
′′
,
·
·
·
,
y(n))
=
0稱為微分方程．階例子1
23≡
1
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2
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3
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4
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5
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6
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3/46
定義
1
含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程F
(
,
y
,
y
′
,
y
′′
,
·
·
·
,
y(n))
=
0稱為微分方程．其中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n
，稱為微分方程的階．例子1
23≡
1
?
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2
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3
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4
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5
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6
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3/46
定義
1
含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程F
(
,
y
,
y
′
,
y
′′
,
·
·
·
,
y(n))
=
0稱為微分方程．其中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n
，稱為微分方程的階．例子
判別下列微分方程的階數(shù)：d
y1.
+
y
=d2
.
d
?
y
2
d
y
=03.
y
′′
+
y
′
=
e≡
1
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2
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3
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4
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5
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6
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3/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程y
=
1
=
3初始條件解答≡
1
?
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2
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3
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4
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5
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?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）初始條件通解特解≡
1
?
??
2
?
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3
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4
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?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．通解特解≡
1
?
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2
?
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3
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4
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?
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?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．因此通解y
=
2
+
2特解≡
1
?
??
2
?
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3
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4
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?
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?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·通
解將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．因此2+
2y
=特解≡
1
?
??
2
?
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?
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3
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4
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?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程·
·
·
·
·
初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·通
解將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．因此y
=
2
+2
特解≡
1
?
??
2
?
?
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??
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3
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4
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?
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?
5
?
?
6
?
4/46
d
y =
2d例
1
求解一階微分方程·
·
·
·
·
初始條件y
=
1
=
3解答
對方程兩邊積分，得到y(tǒng)
=
2
+C
（
C
為任意常數(shù)）
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·通
解將
=
1
時
y
=
3
代入上式，得到
C
=
2．因此y
=
2
+2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
特解≡
1
?
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2
?
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3
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4
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5
?
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6
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4/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答O1O2通解初始條件初始條件O1O2特解≡
1
?
??
2
?
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???
?
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3
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4
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?
?
5
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6
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5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）O2通解初始條件初始條件O1O2特解≡
1
?
??
2
?
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???
?
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3
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4
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?
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5
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6
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5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到1O2
y
=
?
2
+
C
1通解2初始條件初始條件+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）O1O2特解≡
1
?
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2
?
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???
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3
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4
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5
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6
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5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到O2
y
=
?12,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解2
+
C
1
+
C2
（
C1O1O2初始條件初始條件特解≡
1
?
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2
?
?
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???
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?
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?
3
?
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4
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?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．初始條件O2特解≡
1
?
??
2
?
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???
?
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3
?
???
?
?
4
?
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?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．將初始條件
y
|
=
0
=
0
代入
O2
，得到
C
2
=
0．特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
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3
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4
?
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?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．將初始條件
y
|
=
0
=
0
代入
O2
，得到
C
2
=
0．因此特解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
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?
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?
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?
3
?
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?
4
?
?
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?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．將初始條件
y
|
=
0
=
0
代入
O2
，得到
C
2
=
0．因此12y
=
?2
+特解≡
1
?
??
2
?
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?
???
?
??
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?
3
?
???
?
?
4
?
?
?
?
?
5
??
6
?
5/46
例
2
求解二階微分方程(y
′′
=
?
1
,=
0y
=
0,
y
′=
0=
1.解答
對方程兩邊積分，得到O1
y
′=?
+C
1
（
C
1
為常數(shù)）再對前式兩邊積分，得到12O2
y
=
?
2
+
C
1+C2
（
C1
,C2
為常數(shù)）·
·
·
通解將初始條件
y
′
|
=
0
=
1
代入
O1
，得到
C
1
=
1．將初始條件
y
|
=
0
=
0
代入
O2
，得到
C
2
=
0．因此12
+y
=?
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
特2解≡
1
?
??
2
?
?
?
???
?
??
??
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3
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?
?
4
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?
?
?
5
??
6
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第一節(jié)
微分方程的一般概念第二節(jié)
一階微分方程第三節(jié)
二階微分方程[第四節(jié)
差分方程的一般概念第五節(jié)
一階常系數(shù)線性差分方程第六節(jié) 二階常系數(shù)線性差分方程[一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應(yīng)=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.≡
1
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2
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3
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4
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?
5
?
?
6
?
7/46
一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應(yīng)=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.在這一節(jié)中，研究
3
種一階微分方程：≡
1
?
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2
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3
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4
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?
?
5
?
?
6
?
7/46
一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應(yīng)=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.在這一節(jié)中，
研究
3
種一階微分方程：1.可分離變量微分方程2.3≡
1
?
?
?
2
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?
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3
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?
?
4
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?
?
?
5
?
?
6
?
7/46
一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應(yīng)=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.在這一節(jié)中，
研究
3
種一階微分方程：可分離變量微分方程齊次微分方程3≡
1
?
?
?
2
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?
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3
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4
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?
?
?
5
?
?
6
?
7/46
一階微分方程一階微分方程的一般形式為
F
(
,
y
,
y
′
)
=
0．
對應(yīng)=的初始條件為y
|
0
=
y
0
.在這一節(jié)中，
研究
3
種一階微分方程：可分離變量微分方程齊次微分方程一階線性微分方程≡
1
?
?
?
2
?
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3
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4
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?
?
5
?
?
6
?
7/46
可分離變量微分方程齊次微分方程一階線性微分方程㈠可分離變量微分方程形如?
(y)d
y
=g
(分方程．)d
的方程稱為可分離變量微≡
1
?
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2
?
?
??
??
?
?
??
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?
3
?
??
?
?
?
4
?
?
?
?
?
5
?
?
6
?
9/46
㈠可分離變量微分方程形如?
(y)d
y
=g
(分方程．)d
的方程稱為可分離變量微對這種方程的兩邊同時積分，就可以求出它的通解．≡
1
?
??
2
?
?
??
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5
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6
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9/46
可分離變量微分方程dd
y
=
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y例
1
求微分方程練的通解．≡
1
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2
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6
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10/46
可分離變量微分方程dd
y
=
?
y例
1
求微分方程的通解．練的通解．求微分方程
(1
+
y)
d
?
(1
?
)
d
y
=
0≡
1
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2
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6
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10/46
可分離變量微分方程在初始條件
y|
=0
=
1
下例
2
求微分方程
y
′
=
?y的特解．練習(xí)2≡
1
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2
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11/46
可分離變量微分方程例
2
求微分方程
y
′
=
?y的特解．在初始條件
y|
=0
=
1
下1
+
y練習(xí)
2
求微分方程
d件y
|–
y1+d
y
=0
滿足初始條=0
=1
的特解．≡
1
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2
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6
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11/46
可分離變量微分方程?例
3
求微分方程
y
′
=
2條件y
=
0
=
?
1
下的特解．y
2的通解，以及在初始解答注記≡
1
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2
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3
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4
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5
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6
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12/46
可分離變量微分方程?例
3
求微分方程
y
′
=
2條件y
=
0
=
?
1
下的特解．y
2的通解，以及在初始12
+
C
．解答
通解為
y
=
?注記≡
1
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2
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3
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4
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5
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6
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12/46
可分離變量微分方程?y
2的通解，以及在初始例
3
求微分方程
y
′
=
2條件y
=
0
=
?
1
下的特解．1解答
通解為
y
=
?2．+
C注記
通解
?=
全部解．≡
1
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2
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12/46
可分離變量微分方程齊次微分方程一階線性微分方程o
齊次微分方程形如d
yd=
?y的微分方程稱為齊次微分方程．≡
1
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2
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5
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14/46
o
齊次微分方程形如d
yd=
?y的微分方程稱為齊次微分方程．例如：=d
y
?
2yd
+
yd
yy
2
=
d
y
+2≡
1
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2
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14/46
齊次微分方程的解法1.標(biāo)準(zhǔn)化：將微分方程化為d
y
=?
(y
)d2≡
1
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2
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15/46
齊次微分方程的解法標(biāo)準(zhǔn)化：將微分方程化為d
y
=?
(y
)d換元：令
=
y
，≡
1
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2
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5
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6
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15/46
齊次微分方程的解法1.標(biāo)準(zhǔn)化：將微分方程化為d
y
=?
(y
)d2.
換元：令
=
y
，則有
y
=
，≡
1
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2
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3
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4
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5
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6
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15/46
齊次微分方程的解法1.標(biāo)準(zhǔn)化：將微分方程化為d
y
=?
(y
)2.換元：令d=
y
，則有
y
=
，
從而
d
y
=
d
+．d
d≡
1
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2
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5
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6
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15/46
齊次微分方程的解法1.標(biāo)準(zhǔn)化：將微分方程化為
d
y
=?
(y
)2.換元：令d=
y
，則有
y
=
，
從而
d
y
=
d
+．代入原方程得到d
dd(
)d+ =
?34≡
1
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2
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5
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6
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15/46
齊次微分方程的解法1.標(biāo)準(zhǔn)化：將微分方程化為
d
y
=?
(y
)2.換元：令d=
y
，則有
y
=
，
從而
d
y
=
d
+得到d
d．代入原方程d+ =
?(
)
d=分離變量：得到
d
d
?
( )
?3.4≡
1
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2
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3
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???
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4
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5
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6?
15/46
齊次微分方程的解法1.標(biāo)準(zhǔn)化：將微分方程化為
d
y
=?
(y
)2.換元：令d=
y
，則有
y
=
，
從而
d
y
=
d
+得到d
d．代入原方程d3.分離變量：得到d+ =
?
()dd=?
( )
?4.兩邊積分：得到通解，然后將回代≡
1
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2
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5
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6
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15/46
齊次微分方程求d
y
=y
2dy?2的通解．例4練習(xí)3≡
1
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2
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5
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6
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16/46
齊次微分方程求d
y
=y
2d
y?2的通解．例4練習(xí)
3
求微分方程
y
′
=
y
+
的通解．≡
1
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2
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3
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4
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5
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6
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16/46
齊次微分方程y例
5
求
(
e
+
y)
d
=
d
y
在初始條件
y|=
0下的特解．練習(xí)4=1≡
1
???
2
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????
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?????
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3
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4
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5
??
6?
17/46
齊次微分方程y例
5
求
(
e
+
y)
d
=
d
y
在初始條件
y|=
0=1下的特解．練始條習(xí)件4
y
|求微=1分=方0程下(的特2解+．y
2
)d初–
y
d
y
=0
在≡
1
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2
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5
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6
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17/46
可分離變量微分方程齊次微分方程一階線性微分方程㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．一階線性齊·
次·
微分方程
階線性非齊次微分方程≡
1
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2
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?????
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19/46
㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．
若
q
( )
≡
0，稱為一階線性·齊·次微分方程若q
()?≡0，稱為一階線性非·
齊·
次·
微分方程≡
1
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2
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19/46
㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．
若q
()≡0，稱為一階線性齊·
次·
微分方程
若q
()?≡0，稱為一階線性非·
齊·
次·
微分方程·
·
·
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·
·
·
··1.
y
′
+
y
=22.3377≡
1
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2
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3
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6?
19/46
㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．
若
q
( )
≡
0，稱為一階線性·齊·次微分方程若q
()?≡0，稱為一階線性非·
齊·
次·
微分方程·
·
·
·
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·
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·
··y
′
+
y
=y
′
+
y
2
=
sin32377≡
1
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6
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19/46
㈢一階線性微分方程一階線性微分方程
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．
若
q
( )
≡
0，稱為一階線性·齊·次微分方程若q
()?≡0，稱為一階線性非·
齊·
次·
微分方程·
·
·
·
·
·
·
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·
·
·
·
·
··1.
y
′
+
y
=2y
′
+
y
2
=
sinyy
′
+
y
=
1377≡
1
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19/46
一階線性齊次微分方程先看一階線性齊·
次·
微分方程
y
′
+
p
( )
y
=
0．y C
e∫p(
)
d≡
1
???
2
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20/46
一階線性齊次微分方程先看一階線性齊次微分方程y′·
·+
p
( )
y
=
0．分離變量得到d
yy=
?
p
( )
dy C
e∫p( )
d≡
1
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2
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20/46
一階線性齊次微分方程先看一階線性齊次微分方程y′·
·+
p
( )
y
=
0．分離變量得到d
yy兩邊同時積分，得到=
?
p
( )
d∫ln
y
=
?
p
( )
d
+
lnCy C
e∫p( )
d≡
1
???
2
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????
?
????
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?????
??
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3
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6?
20/46
一階線性齊次微分方程先看一階線性齊次微分方程y′·
·+
p
( )
y
=
0．分離變量得到d
yy兩邊同時積分，得到ln
y
=
?=
?
p
( )
d∫p
(
)
d
+
lnC消去對數(shù)，得到通解為y
=
C
e
?∫p( )
d≡
1
???
2
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????
?
????
?
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?????
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3
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20/46
再看一階線性非·
齊·
次·
微分方程
y
′+p
()
y
=
q(
)．∫q(
)yd∫p(
)
d(
)
ey≡
1
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2
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21/46
再看一階線性非齊次微分方程·
·
·′y
+
p
(
)
y
=
q(
)．整理變量得到=d
yy?q(
)y?–
p
( )
d∫q(
)yd∫p(
)
d(
)
ey≡
1
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2
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21/46
再看一階線性非齊次微分方程·
·
·′y
+
p
(
)
y
=
q(
)．整理變量得到d
y
?
q(
)y
y?=
?
p
( )
d兩邊同時積分得到（認(rèn)定y
為的函數(shù)）q(
)yln
y
=
d∫∫–
p
(
)
d∫p(
)
d(
)
ey≡
1
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2
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21/46
再看一階線性非齊次微分方程·
·
·′y
+
p
(
)
y
=
q(
)．整理變量得到?q(
)d
yy
y?=
?
p
( )
d兩邊同時積分得到（認(rèn)定y
為的函數(shù)）q(
)yln
y
=
d∫∫–
p
(
)
dy∫消去對數(shù)，得到通解為（其中
( )
=eq(
)
d>∫y
=
()
e?p( )
d≡
1
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2
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3
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???
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6
?
21/46
再看一階線性非齊次微分方程·
·
·′y
+
p
(
)
y
=
q(
)．整理變量得到d
y
?
q(
)y
y?=
?
p
(
)
d兩邊同時積分得到（認(rèn)定y
為的函數(shù)）q(
)yln
y
=
d∫∫–
p
(
)
dy∫q(
)
d>消去對數(shù)，得到通解為（其中∫y
=
( )
e?( )
=
ep(
)
d這就得到了一階線性非齊次方程的通解的形式．≡
1
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2
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4
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5
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6
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21/46
常數(shù)變易法∫將
y
=
( )
e?p(
)
d代入
y
′
+
p
( )
y
=
q()．
22/46
常數(shù)變易法′
(y
′
= )
e
+
()
e?
p
(
)
d
?
p
(
)
d∫)
e?p( )
d將
y
=
(代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
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∫·
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∫·
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·′·
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22/46
常數(shù)變易法+
()
e?
p
(
)
d
?
p
( )
d∫將
y
=
( )
e?p(
)
d代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
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∫·
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∫·
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·′·
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·y
′
==′
(′
()
e∫)
e?
p
(
)
d–
( )
p
(∫)
e
?p()d
22/46
常數(shù)變易法)
e
+
e?
p
( )
d
?
p
(
)
d∫)
e?p( )
d將
y
=
(代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
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∫·
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∫·
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·′·
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·y
′
=()==?
p
(
)
d∫)
e
?p()d′
(′
(′
(∫)
e∫)
e?
p
(
)
d–
( )
p
(–
p
(
)
y≡
1
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6
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22/46
常數(shù)變易法?
p
(
)
d)
e
+
()
e∫將
y
=
( )
e?p(
)
d代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
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∫·
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∫·
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·′·
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·?
p
( )
d?
p
( )
d∫
∫)
e
?
( )
p
( )
ey
′
==?p(
)d=得到′
(′
(′
(∫)
e?
p
(
)
d–
p(
)y′
(∫)
e?
p
(
)
d=
q()
22/46
常數(shù)變易法)
e
+
e?
p
( )
d
?
p
(
)
d∫)
e?p( )
d將
y
=
(代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
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∫·
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∫·
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·′·
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·y
′
=()==?
p
(
)
d∫)
e
?p()d得到即有′
()
=
q(∫)
p( )
d′
(′
(′
(∫)
e∫)
e?
p
(
)
d–
( )
p
(–
p(
)y′
(∫)
e?
p
(
)
d=
q()≡
1
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6
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22/46
常數(shù)變易法′
()
=
q(
)e∫)
e?p( )
d將
y
=
(
代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
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·∫·
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·p( )
dy
e∫p(
)
d?
∫q(
)e∫p( )
d?+
C≡
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2
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3
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5
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23/46
常數(shù)變易法∫)
e?p( )
d將
y
=
(
代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
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·∫·
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·p(
)
d′
()
=
q(
)e∫( )
=
q(
)e∫y
e∫p(
)
d?
∫q(
)ep(
)
d+
C∫p( )
d?+
C≡
1
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2
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??
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3
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4
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5
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6?
23/46
常數(shù)變易法∫)
e?p( )
d將
y
=
(
代入
y
′
+
p
(
)
y
=
q(
)．·
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