人教A版選擇性必修第三冊7.3.1 離散型隨機變量的均值課時作業(yè)

【優(yōu)質(zhì)】7.3.1離散型隨機變量的均值課時練習一．單項選擇（）1．某科研團隊發(fā)現(xiàn)了一種新型單細胞生物，在長時間觀測后，科研團隊發(fā)現(xiàn)每個活細胞在每一分鐘內(nèi)都會獨立且等可能地發(fā)生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原狀；③分裂成兩個活細胞；④分裂成三個活細胞.若初始時在一條件適宜的孤立系統(tǒng)中放置兩個活細胞，試計算理論上在無限長時間后該系統(tǒng)中仍有活細胞存活的概率.2．足球比賽中規(guī)定，若雙方在進行了90分鐘激戰(zhàn)和加時賽仍然無法分出勝負，則采取點球大戰(zhàn)的方式?jīng)Q定勝負，點球大戰(zhàn)規(guī)則如下：兩隊應各派5名隊員，雙方輪流踢，如果在踢滿5輪前，一隊的進球數(shù)已多于另一隊踢滿5次時可能射中的球數(shù)，則不需再踢，若5輪之后雙方進球數(shù)相同，則繼續(xù)點球，直到出現(xiàn)某一輪結(jié)束時，一方踢進且另一方未踢進時比賽結(jié)束，現(xiàn)有甲乙兩支球隊進行點球大戰(zhàn)，每支球隊每次點球進球的概率均為，每輪點球中，兩隊進球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.（1）最少進行幾輪比賽能分出勝負？并求相應概率：（2）求至少進行5輪比賽才能分出勝負的概率.3．排球比賽實行“每球得分制”，即每次發(fā)球都完成得分，誰取勝誰就得1分，得分的隊擁有發(fā)球權，最后先得25分的隊獲得本局比賽勝利，若出現(xiàn)比分24：24，要繼續(xù)比賽至某隊領先2分才能取勝，該局比賽結(jié)束．甲．乙兩隊進行一局排球比賽，已知甲隊發(fā)球時甲隊獲勝的概率為，乙隊發(fā)球時甲隊獲勝的概率為，且各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立，若甲．乙兩隊雙方平后，甲隊擁有發(fā)球權．（1）當時，求兩隊共發(fā)2次球就結(jié)束比賽的概率；（2）當時，求甲隊得25分且取得該局比賽勝利的概率．4．已知某機床的控制芯片由個相同的單元組成，每個單元正常工作的概率為，且每個單元正常工作與否相互獨立.（1）若，求至少有3個單元正常工作的概率；（2）若，并且個單元里有一半及其以上的正常工作，這個芯片就能控制機床，其概率記為.①求的值；②若，求的值.5．電子郵件是一種用電子手段提供信息交換的通信方式，是互聯(lián)網(wǎng)應用最廣的服務.我們在使用電子郵件時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：中國人的郵箱名稱里含有數(shù)字的比較多，而外國人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究郵箱名稱里含有數(shù)字是否與國籍有關，隨機調(diào)取40個郵箱名稱，其中中國人的20個，外國人的20個，在20個中國人的郵箱名稱中有15個含數(shù)字，在20個外國人的郵箱名稱中有5個含數(shù)字.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表；（2）能否有的把握認為“郵箱名稱里含有數(shù)字與國籍有關”？（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率.在中國人郵箱名稱里和外國人郵箱名稱里各隨機調(diào)取6個郵箱名稱，記“6個中國人郵箱名稱里恰有3個含數(shù)字”的概率為，“6個外國人郵箱名稱里恰有3個含數(shù)字”的概率為，試比較與的大小.參考公式和數(shù)據(jù)：（其中為樣本容量）.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8286．隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一.駕駛證考試，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在每一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算通過，即進入下一科目考試，如果5次都沒有通過，則需要重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計，得到如下結(jié)論：男性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為，女性學員參加科目二考試，每次通過的概率均為.現(xiàn)有一對夫妻報名參加駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止.假設每個人科目二5次考試是否通過互不影響，且夫妻二人每次考試是否通過也互不影響.（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；（2）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為200元的概率.7．甲．乙兩組各有位病人，且位病人癥狀相同，為檢驗．兩種藥物的藥效，甲組服用種藥物，乙組服用種藥物，用藥后，甲組中每人康復的概率都為，乙組三人康復的概率分別為．．.（1）設甲組中康復人數(shù)為，求的分布列；（2）求甲組中康復人數(shù)比乙組中康復人數(shù)多人的概率.8．甲．乙兩人玩一個擲骰子游戲，規(guī)則如下：甲擲兩次骰子，第一次擲出的數(shù)字作為十位數(shù)，第二次擲出的數(shù)字作為個位數(shù)，組成一個兩位數(shù)，然后讓乙猜.若乙猜出的結(jié)果與該兩位數(shù)滿足的數(shù)字特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝，一輪游戲結(jié)束，然后進行下一輪（每輪游戲都由甲擲兩次骰子）.所要猜的兩位數(shù)的數(shù)字特征方案從以下兩種猜法中選擇一種；猜法一：猜“兩位數(shù)的十位大于個位”；猜法二：猜“兩位數(shù)的十位不大于個位”.請回答：（1）如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜法，并說明理由；（2）假定每輪游戲結(jié)果相互獨立，規(guī)定有人連續(xù)獲勝兩次則整個游戲停止，若乙按照（1）中的猜法進行游戲，求第三輪后游戲停止的概率.9．市教育部門為研究高中學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關系，對該市某校名高中學生的課外體育鍛煉平均每天鍛煉的時間進行了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：平均每天鍛煉的時間（分鐘）總?cè)藬?shù)將學生日均課外體育鍛煉時間在內(nèi)的學生評價為“課外體育達標”.（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“課外體育達標”與性別有關；課外體育不達標課外體育達標總計男女總計（2）從上述課外體育不達標的學生中，按性別用分層抽樣的方法抽取名學生，再從這名學生中隨機抽取人了解他們鍛煉時間偏少的原因，記所抽取的人中男生的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；（3）將上述調(diào)查所得到的概率視為概率來估計全市的情況，現(xiàn)在從該市所有高中學生中抽取名學生，求其中恰好有名學生課外體育達標的概率.附：參考公式及臨界值表：，其中.（）10．武漢出現(xiàn)的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒，某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，則需要檢驗n次；②混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這k份血液全為陰性，因此這k份血液樣本檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陰性還是陽性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份為陽性，若采取逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（i）試運用概率統(tǒng)計知識，若，試求P關于k的函數(shù)關系式；（ii）若，采用混合檢驗方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，11．某市有兩家共享單車公司，在市場上分別投放了黃．藍兩種顏色的單車，已知黃．藍兩種顏色的單車的投放比例為.監(jiān)管部門為了了解兩種顏色的單車的質(zhì)量，決定從市場中隨機抽取輛單車進行體驗，若每輛單車被抽取的可能性相同.（1）求抽取的輛單車中有輛是藍色顏色單車的概率；（2）在騎行體驗過程中，發(fā)現(xiàn)藍色單車存在一定質(zhì)量問題，監(jiān)管部門決定從市場中隨機地抽取一輛送技術部門作進一步抽樣檢測，并規(guī)定若抽到的是藍色單車，則抽樣結(jié)束，若抽取的是黃色單車，則將其放回市場中，并繼續(xù)從市場中隨機地抽取下一輛單車，并規(guī)定抽樣的次數(shù)最多不超過次.在抽樣結(jié)束時，已取到的黃色單車以表示，求的分布列.12．某醫(yī)學科研單位有甲，乙兩個專門從事病毒治愈的研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取了這兩個小組在過去一年里其中經(jīng)過15次各自研發(fā)的新藥結(jié)果如下：其中分別表示甲組研發(fā)新藥成功和失??；分別表示乙組研發(fā)新藥成功與失敗．（1）根據(jù)上面這組數(shù)據(jù)，計算至少有一組研發(fā)新藥成功的條件下，甲，乙兩組同時都研發(fā)新藥成功的概率；（2）若某組成功研發(fā)一種新藥，則該組可直接為本單位創(chuàng)造經(jīng)濟價值為5萬余元，并且單位獎勵給該組1千元，否則就虧損1萬余元，獎勵0元，試計算甲，乙兩組研發(fā)新藥的經(jīng)濟效益的平均數(shù)；（3）根據(jù)（2）的條件分別計算甲乙兩組的獎金的方差，并且比較甲乙兩組的研發(fā)水平.13．某大學生命科學學院為激發(fā)學生重視和積極參與科學探索的熱情和興趣，提高學生生物學實驗動手能力，舉行生物學實驗技能大賽．大賽先根據(jù)理論筆試和實驗操作兩部分進行初試，初試部分考試成績只記“合格”與“不合格”，只有理論筆試和實驗操作兩部分考試都“合格”者才能進入下一輪的比賽．在初試部分，甲．乙．丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響．（1）假設甲．乙．丙三人同時進行理論筆試與實際操作兩項考試，誰獲得下一輪比賽的可能性最大？（2）這三人進行理論筆試與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得下一輪比賽的概率．14．2020年1月15日教育部制定出臺了《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》也稱（“強基計劃”）《意見》指出：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃．強基計劃要選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生.據(jù)悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，校考過程中筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié)．強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校．某考生可能報考甲大學，也可能報考乙大學，已知該考生報考甲大學的概早是0.6.報考乙大學的概率是0.4，而且報考甲大學通過的概率為0.2，報考乙大學通過的概率為0.7.（1）求該考生通過測試的概率；（2）如果該考生通過了測試，那么他報考的是甲大學的概率為多少？15．有4名學生參加體育達標測驗，4個各自合格的概率分別是．．．，求以下的概率：（1）4人中至少有2人合格的概率；（2）4人中恰好只有2人合格的概率.

參考答案與試題解析1．【答案】.【解析】分析：設一個細胞時它存活的概率為，變成兩個細胞后有存活的概率會變成，列出方程，求得，進而求得兩個細胞初始的時候無限時間后還有細胞存活的概率.詳解：設一個細胞時它存活的概率為，則是與當前時間無關的，一分鐘后及“無限長時間后仍有存活的細胞的概率”還是，變成兩個細胞后有存活的概率會變成，類推可得方程，整理得，解得或（舍去），所以兩個細胞無限時間后還有細胞存活的概率為.【點睛】方法點睛：由一個細胞時存活的概率為，得出兩個細胞后有存活的概率會變成，類推得出方程是解答的關鍵.2．【答案】（1）最少三輪能定勝負，三場能定勝負的概率為；（2）.【解析】分析：（1）一方進球3次，另一方還未進球，根據(jù)每次點球進球的概率即可獲解；（2）由（1），先分析四輪結(jié)束時的情況，再由對立事件的概率公式即可求解.詳解：（1）一方進球3次，另一方還未進球時即可分出勝負，故最少三輪能定勝負.當三輪能定勝負時，甲進3球，乙不進球：或乙進3球，甲不進球，所以三場能定勝負的概率為.（2）記第四輪結(jié)束時，甲，乙進球數(shù)分別記為X，Y若第四輪結(jié)束時，甲勝出有以下情況(按照甲的進球數(shù)分類)；①甲進2球，乙進0球，其概率，②甲進3球，乙進0球或1球，其概率，③甲進4球，乙進1球或2球，其概率，所以第四輪結(jié)束時，甲獲勝的概率為，所以第四輪結(jié)束時，能定勝負的概率為，所以至少5輪比賽才能分出勝負的概率為.3．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：(1)先確定后兩隊共發(fā)2次球就結(jié)束比賽包含這兩個球均由甲隊得分和這兩個球均由乙隊得分兩個事件，再利用事件的相互獨立性求概率；(2)先確定時，甲隊得25分且取得該局比賽勝利包含甲以25：22取得比賽勝利和甲以25：23取得該局勝利兩個事件，再利用事件的相互獨立性求概率.詳解：(1)后兩隊共發(fā)2次球就結(jié)束比賽，則這兩個球均由甲隊得分，或均由乙隊得分，且兩者互斥．記事件“后兩隊共發(fā)2次球就結(jié)束比賽”，因為各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立，所以．即后兩隊共發(fā)2次球就結(jié)束比賽的概率為．(2)時，甲隊得25分且取得該局比賽勝利，則甲以25：22或25：23取得該局勝利．記事件“甲以25：22取得該局勝利”，“甲以25：23取得該局勝利”，“時，甲隊得25分且取得該局比賽勝利”，因為各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立，且B，C互斥，所以，，．所以時，甲隊得25分且取得該局比賽勝利的概率為.4．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】分析：(1)至少有3個單元正常工作的概率,即求3個單元和4個單元正常工作的概率之和；(2)①的值，即時，至少有4個單元正常工作的概率，根據(jù)二項分布的概率計算公式求解即可；②對分奇偶討論，結(jié)合二項分布的概率計算公式及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.詳解：解：（1）設至少有3個單元正常工作的概率為，則.（2）①時，至少有4個單元正常工作芯片就能控制機床，所以，由，而，所以.②若，則，頁所以，符合題意.若，則，而對立事件，且，則，所以，故：.5．【答案】（1）表格見解析；（2）有；（3）.【解析】分析：（1）根據(jù)題意，填寫列聯(lián)表即可；（2）由表中的數(shù)據(jù)計算，對照臨界值表即可得到答案；（3）由列聯(lián)表得到，中國人與外國人郵箱名稱里含有數(shù)字的概率，設“6個中國人郵箱名稱里恰有3個含數(shù)字”的人數(shù)為隨機變量，“6個外國人郵箱名稱里恰有3個含數(shù)字”的人數(shù)為隨機變量，即可得到，，再根據(jù)二項分布的概率公式計算可得．詳解：解：（1）填寫列聯(lián)表如下：中國人外國人總計郵箱名稱里有數(shù)字15520郵箱名稱里無數(shù)字51520總計202040（2）.根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為“郵箱名稱里含有數(shù)字與國籍有關”.（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率，根據(jù)（1）中列聯(lián)表.中國人郵箱名稱里含數(shù)字的概率為，外國人郵箱名稱里含數(shù)字的概率為.設“6個中國人郵箱名稱里含數(shù)字”的人數(shù)為隨機變量，“6個外國人郵箱名稱里含數(shù)字”的人數(shù)為隨機變量，根據(jù)題意得：，.則，.所以.6．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）分別計算出兩人均不交補考費的概率，然后利用概率的乘法公式可計算出所求事件概率；（2）根據(jù)題意可知，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為元包含兩種情況：①丈夫不需交補考費，妻子交元補考費；②丈夫交元補考費，妻子不用交補考費.再結(jié)合概率的乘法公式和加法公式可求出所求事件的概率.詳解：解：設“丈夫在科目二考試中第次通過”，“妻子在科目二考試中第次通過”，則，，其中，2，3，4，5.（1）設事件“丈夫參加科目二考試不需要交補考費”，事件“妻子參加科目二考試不需要交補考費”，事件“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費”則，，.因此，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率為（2）設事件“丈夫參加科目二考試需交補考費200元”，事件“妻子參加科目二考試需交補考費200元”，事件“這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為200元”則，，.因此，這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為200元的概率為.7．【答案】（1）分布列見解析；（2）.【解析】分析：（1）由題意可知，，由二項分布的公式逐一計算概率，寫出分布列；（2）甲組中康復人數(shù)比乙組中康復人數(shù)多人有2:0,3:1兩種情況，計算乙組中康復為0人和1人的概率，用相互獨立事件的概率乘法公式求出概率.詳解：（1）由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：（2）設乙組中康復人數(shù)為，記事件甲組中康復人數(shù)比乙組中康復人數(shù)多人，，，則.8．【答案】（1）選擇猜法二，理由見解析；（2）.【解析】分析：(1)求出兩個骰子擲出的數(shù)字所構(gòu)成的兩位數(shù)組成樣本空間中樣本點的個數(shù)，再利用古典概型的計算公式，分別計算猜法一．二的概率，比較即可得到答案；(2)設事件為“游戲結(jié)束時甲連續(xù)獲勝兩次”，為“游戲結(jié)束時乙連續(xù)獲勝兩次”，分別根據(jù)事件獨立的乘法公式計算，即可得到結(jié)果.詳解：解：（1）兩個骰子擲出的數(shù)字所構(gòu)成的兩位數(shù)組成樣本空間：，共36個樣本點.設事件為“兩位數(shù)的十位大于個位”，為“兩位數(shù)的十位不大于個位”，則，，因為，故為了盡可能獲勝，應該選擇猜法二.（2）設事件為“游戲結(jié)束時甲連續(xù)獲勝兩次”，為“游戲結(jié)束時乙連續(xù)獲勝兩次”，則，，故第三輪后游戲停止的概率為.9．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“課外體育達標”與性別有關；（2）分布列見解析，；（3）．【解析】分析：.（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算可填寫列聯(lián)表，然后計算可得；（2）求出抽取的10人男生和女生的人數(shù)，得所有可能值，計算出概率后可得概率分布列，再由期望公式計算期望；（3）求出體育達標頻率為，這樣可得所抽取的4人中，課外體育達標的人數(shù)，由此可計算出恰有2人達標的概率．詳解：（1）由題意列聯(lián)表如下：課外體育不達標課外體育達標總計男603090女90總計15050200，因此不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“課外體育達標”與性別有關；（2）易知抽取的10人中男生有（名），女生有10－4＝6名，的可能值為，，，，，的概率分布列如下：0123；（3）設所抽取的4人中，課外體育達標的人數(shù)為，由已知得達標頻率為，將頻率視為概率，則，，所以抽取的名學生，恰好有名學生課外體育達標的概率為．10．【答案】(1);(2)（i）,;（ii）4【解析】(1)設恰好經(jīng)過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來的事件為,則,故恰好經(jīng)過2次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為(2)（i）由已知可得,所有可能的取值為.所以,,所以.若,則,所以.故.所以P關于k的函數(shù)關系式,（ii）由題意可知,即,化簡得.因為,所以,即.設函數(shù).又,故當時,,即在上單調(diào)遞減.又,.故的最大值為4.11．【答案】（1）；（2）分布列答案見解析.【解析】分析：（1）利用獨立重復試驗的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由題可知，隨機變量的可能取值有．．．．，計算出隨機變量在不同取值下的概率，由此可得出隨機變量的分布列.詳解：（1）因為隨機地抽取一輛單車是藍色單車的概率為，用表示“抽取的輛單車中藍顏色單車的個數(shù)”，則服從二項分布，即，所以抽取的輛單車中有輛是藍顏色單車的概率為；（2）隨機變量的可能取值為：．．．．，，，，，.所以的分布列如下表所示：【點睛】思路點睛：求解隨機變量分布列的基本步驟如下：（1）明確隨機變量的可能取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；（2）求出每一個隨機變量取值的概率；（3）列成表格，對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列．組合數(shù)公式求隨機變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計數(shù)原理求隨機變量在不同取值下的概率.12．【答案】（1）；（2）3萬，2.6萬元；（3）甲組的研發(fā)水平應高于乙組研發(fā)水平.【解析】分析：（1）由古典概型公式即可求得；（2）先列舉出具體數(shù)據(jù)，再由平均數(shù)公式解出；（3）先計算出平均數(shù)，再由方差公式解出方差，再將數(shù)據(jù)進行比較，進而得到答案.詳解：（1）至少有一組研發(fā)成功有13種情況，甲乙都研發(fā)成功有6種情況，則概率為.（2）甲組研發(fā)新藥的貢獻效益依次為5，5，5，，，5，5，5，，5，，5，5，，5.則甲組貢獻經(jīng)濟效