【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 132坐標(biāo)系與參數(shù)方程（北師大）

整理課件整理課件知識(shí)梳理1．極坐標(biāo)系在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線

，叫作極軸，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為極坐標(biāo)系．對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)，θ表示以

為始邊，OM為終邊的角度，ρ叫作點(diǎn)M的

，θ叫做點(diǎn)M的

，有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ、θ)．OxOx極徑極角整理課件當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值；當(dāng)ρ＜0時(shí)，點(diǎn)M(ρ、θ)的位置可以按下列規(guī)則確定：作射線OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使|OM|＝|ρ|，這樣點(diǎn)M的坐標(biāo)就是(ρ，θ)．平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對(duì)，當(dāng)k∈Z時(shí)，

表示同一個(gè)點(diǎn)．(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)整理課件2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ、θ)，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原點(diǎn)外，平面內(nèi)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間就是一一對(duì)應(yīng)的．點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ，θ)和直角坐標(biāo)(x，y)的關(guān)系式為：

.θ所取值要由(x，y)所在象限確定．整理課件3．柱坐標(biāo)在平面極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，通過極點(diǎn)O，再增加一條與極坐標(biāo)系所在平面垂直的z軸，這樣就建立了柱坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y，z)為空間一點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)M在xOy平面上的投影點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(r、θ)則這樣的三個(gè)數(shù)r，θ，z構(gòu)成的有序數(shù)組(r，θ，z)就叫做點(diǎn)M的柱坐標(biāo)，這里規(guī)定r，θ，z的變化范圍為0≤r＜＋∞0≤θ＜2π－∞＜z＜＋∞整理課件特別地，r＝常數(shù)，表示的是

；θ＝常數(shù)，表示的是

；z＝常數(shù)，表示的是

．顯然點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的關(guān)系為

.以z軸為軸的圓柱面過z軸的半平面與xOy平面平行的平面整理課件整理課件特別地r＝常數(shù)，表示的是

；φ＝常數(shù)，表示的是

；θ＝常數(shù)，表示的是

．點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系為：

.以原點(diǎn)為球心的球面原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為x軸的圓錐面平行于z軸的半平面整理課件5．直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角是α的直線的參數(shù)方程為整理課件經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)Q(x1，y1)P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直線的參數(shù)方程為整理課件6．圓的參數(shù)方程整理課件7．圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓的參數(shù)方程整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件[點(diǎn)評(píng)]注意轉(zhuǎn)化時(shí)兩邊同乘以ρ的技巧．結(jié)合圓的位置關(guān)系及兩圓長(zhǎng)度的最大值在何時(shí)取得，即可解得．整理課件整理課件整理課件[例2]O為已知圓O′外的定點(diǎn)，點(diǎn)M在圓O′上，以O(shè)M為邊作正三角形OMN，當(dāng)點(diǎn)M在圓O′上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程(O，M，N逆時(shí)針排列)．整理課件[解析]以O(shè)為極點(diǎn)，以O(shè)和已知圓圓心O′所在射線為極軸，建立極坐標(biāo)系，如圖5所示，設(shè)OO′＝ρ0，圓的半徑為r，由余弦定理得圓O′的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρ0ρcosθ＋ρ02－r2＝0.設(shè)N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)，∵點(diǎn)M在圓上，∴ρ12－2ρ0ρ1cosθ1＋ρ02－r2＝0.①因?yàn)椤鱋MN為正三角形．整理課件[點(diǎn)評(píng)]對(duì)于有些幾何圖形，選用極坐標(biāo)系可以使建立的方程更加簡(jiǎn)單．本題涉及角度、長(zhǎng)度，選用極坐標(biāo)系則更易將已知的幾何條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系．整理課件⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)寫出⊙O1和⊙O2的圓心的極坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過⊙O1和⊙O2交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．整理課件(2)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標(biāo)方程．同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程．整理課件整理課件[例3]已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，傾斜角為(1)求直線l的參數(shù)方程；(2)求直線l和圓x2＋y2＝9的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)A的距離之積．[分析]根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件[例4]在圓x2＋y2－4x－2y－20＝0上求兩點(diǎn)A和B，使它們到直線4x＋3y＋19＝0的距離分別最短和最長(zhǎng)．[分析]利用圓的參數(shù)方程求解．整理課件整理課件整理課件整理課件1．關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換函數(shù)y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω＞0，且ω≠1)的圖像，可以看作把f(x)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)為原來的(縱坐標(biāo)不變)而得到的．函數(shù)y＝Af(x)(x∈R)(其中A＞0且A≠1)的圖像，可以看作f(x)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A＞1時(shí))或縮短(當(dāng)0＜A＜1時(shí))到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的．整理課件2．關(guān)于極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)系的四要素：①極點(diǎn)；②極軸；③長(zhǎng)度單位；④角度單位和它的正方向，四者缺一不可．(2)由極徑的意義知ρ≥0，當(dāng)極角θ的取值范圍是[0,2π)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))與極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，約定極點(diǎn)的極坐標(biāo)是極徑ρ＝0，極角可取任意角．整理課件(3)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的重要區(qū)別：多值性．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與直角坐標(biāo)是“一對(duì)一”的關(guān)系；在極坐標(biāo)系中，由于終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，即點(diǎn)的極角不唯一，因此點(diǎn)與極點(diǎn)是“一對(duì)多”的關(guān)系．但不同的極坐標(biāo)可以寫出統(tǒng)一的表達(dá)式．如果(ρ，θ)是點(diǎn)M的極坐標(biāo)，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．整理課件3．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)化參數(shù)方程為普通方程：消去參數(shù)．常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法．(2)化普通方程為參數(shù)方程：引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．(3)消參后應(yīng)將原參數(shù)的取值范圍相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為變量x(或y)的取值范圍．整理課件4．直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用(1)根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：①直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，