精設(shè)單元作業(yè)助力數(shù)學學習

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王春東

作業(yè)的設(shè)計是學校教學工作的重要組成部分，高品質(zhì)的作業(yè)具有穩(wěn)定、整段、應(yīng)用、改進等功能。教育部相關(guān)文件中屢屢強調(diào)“嚴控書面作業(yè)總量、創(chuàng)新作業(yè)類型方式、提高作業(yè)設(shè)計質(zhì)量〞，優(yōu)化作業(yè)設(shè)計是每位教師必需直面的一個重要問題。數(shù)學學科具有十分強的系統(tǒng)性，以單元進行作業(yè)設(shè)計能改變作業(yè)類型方式，提高作業(yè)設(shè)計質(zhì)量。

對“單元〞的劃分，可以從內(nèi)容的視角認識單元，即傾向于“教材單元〞的界定，也可以適當補充部分內(nèi)容，構(gòu)成一個新的單元。單元作業(yè)目標依據(jù)單元教學目標進行設(shè)計，作業(yè)設(shè)計時既關(guān)注課時作業(yè)，也關(guān)注跨課時作業(yè)；

既能檢測學生課時知識把握程度，也能通過單元作業(yè)逐步梳理知識間的聯(lián)系，提升學生能力；

可以在穩(wěn)定單元知識同時側(cè)重生活實際的聯(lián)系，進行課外拓展和延伸，重視實踐應(yīng)用，提煉數(shù)學學科思維方式，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

下面以滬教版九年級其次學期其次十七章第一節(jié)《圓的基本性質(zhì)》為例，摸索單元作業(yè)設(shè)計，助力數(shù)學學習。

一、把握單元學習目標，制定作業(yè)目標

單元學習目標的設(shè)定要符合數(shù)學學科課程標準以及教學基本要求的規(guī)定，本單元的學習目標有：

1.通過圓的相關(guān)知識的回想，進一步摸索圓的性質(zhì)，把握圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系及垂徑定理；

2.會運用垂徑定理及其推論解決有關(guān)的數(shù)學問題；

3.利用圓的基本性質(zhì)的探究，熟悉圓中不同量之間的轉(zhuǎn)化，初步把握圓中常見輔助線的添法，進一步培養(yǎng)學生的探究、思維和解決問題的能力。

圍繞單元目標，以兩個定理為主線設(shè)計單元作業(yè)目標。

二、分析內(nèi)容學習水平，設(shè)計框架圖表

在確立單元學習目標后，就可以有條不紊地對單元作業(yè)目標進行梳理，根據(jù)學習目標確定學習水平、題目類型與題目難度，部分單元目標如表1：

三、結(jié)合知識學習要點，設(shè)計單元作業(yè)

作業(yè)內(nèi)容的設(shè)計要保證結(jié)構(gòu)的合理性，也要保持匹配已經(jīng)設(shè)定的作業(yè)目標，讓作業(yè)設(shè)計適應(yīng)每個學生的發(fā)展需求。通過單元作業(yè)，滲透數(shù)學學科素養(yǎng)，助力學生數(shù)學學習。

（一）章節(jié)梳理，構(gòu)建知識系統(tǒng)

單元作業(yè)設(shè)計中，可以通過設(shè)計一兩個典型且能包含多個知識點的問題，讓學生在問題解決中梳理知識、建構(gòu)知識框架圖，還可以通過問題導學優(yōu)化解題策略，形成思維導圖完善知識系統(tǒng)性。

例1：如圖1，在圓O中，直徑CD⊥弦AB，垂足為F，AO⊥BC，垂足為點E，假如BC=3，（1）求證：AB=BC；

（2）聯(lián)結(jié)OB，試求∠BAE的大小，并求圓O的半徑。

通過問題（1）的解決可以讓學生穩(wěn)定垂徑定理與圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系兩個定理，把握兩個定理的用法；

通過問題（2）的解決，可以幫助學生梳理圓中相關(guān)角度、線段大小計算的解題策略。

章節(jié)知識的系統(tǒng)梳理可以在完成單元新課教學后進行作業(yè)布置，也可以通過起始課的長作業(yè)設(shè)計，引導學生架構(gòu)單元內(nèi)容的知識體系。在學習《圓的基本性質(zhì)》這一單元前，學生已經(jīng)直觀地認識了圓，知道弧、弦、圓心角等概念，根據(jù)所學知識設(shè)計作業(yè)：（1）摸索弧、弦、弦心距、圓心角之間的聯(lián)系；

（2）圓中半徑、弦等線段組成的圖形與哪些所學圖形有聯(lián)系？你是否可以得到其他結(jié)論？

通過起始課和復習課的作業(yè)設(shè)計，前后呼應(yīng)，有效幫助學生構(gòu)建知識系統(tǒng)。

（二）知識透析，滲透思想方法

作業(yè)設(shè)計中，除了幫助學生梳理章節(jié)知識和把握解題技能，還需要讓學生深入分析所學知識，清楚其本質(zhì)，在解題中滲透數(shù)學思想方法。

例2：已知圓O的半徑為13，弦AB∥弦CD，且AB=20，CD=24，那么AB與CD的距離是_________

例3：已知圓O的直徑AB長5，C、D在圓O上，且CD⊥AB，垂足為E，假如CD=3，那么AE=___________

圓是軸對稱圖形，在作圖時，假設(shè)AB的位置固定，根據(jù)圓的軸對稱性，在例2中，CD可以與AB在圓心O的同側(cè)，也可以在圓心O的兩側(cè)，產(chǎn)生分類探討；

在例3中，運用一致方法可以得到兩個答案。在遇到類似問題時，了解圖形特征，先畫出一種狀況，然后根據(jù)對稱性畫出同側(cè)、兩側(cè)兩種類型進行分類探討，。

在求點與圓的位置關(guān)系相關(guān)問題時，通過厘清對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系就能分析出位置關(guān)系，表達數(shù)形結(jié)合思想的滲透。在應(yīng)用垂徑定理及其推論求解半徑、弦心距、弦長時也經(jīng)常應(yīng)用方程的思想求解問題。

深入挖掘單元中的數(shù)學思想，作業(yè)設(shè)計中重視數(shù)學思想方法的滲透，學生對本章節(jié)的知識結(jié)構(gòu)關(guān)系就有更清楚的認識，學得更活，提高解決數(shù)學問題的能力。

（三）應(yīng)用拓展，加強數(shù)學意識

《上海中小學數(shù)學課程標準》指出“應(yīng)重視數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，一方面要選擇具有廣泛性應(yīng)用性的數(shù)學知識充實課程內(nèi)容；

另一方面要開發(fā)數(shù)學實踐環(huán)節(jié)，加強運用數(shù)學只是分析問題和解決問題的過程。〞

垂徑定理及其推論的應(yīng)用是教學中的重點，在實際生活中也有廣泛應(yīng)用，如《九章算術(shù)》中的提出“圓材埋壁〞問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺。問徑幾何？〞在實際生活中求圓形管內(nèi)水面寬度、卡車能否通過隧道等等，通過實際問題的分析與解決，進一步加強學生應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的意識。

在學習圓形物體的半徑、圓環(huán)的半徑等內(nèi)容時，將實際問題抽象成數(shù)學問題，可以提升學生學習興趣，加強數(shù)學應(yīng)用意識。如圖2，在求圓形物體半徑時，將圓形物體放置在直角處，通過測量AC的高與直角頂點到圓形物體與直角邊接觸點AB的長，再應(yīng)用垂徑定理可以求得圓形物體的半徑。

單元作業(yè)設(shè)計時通過尋覓生活中與圓有關(guān)的問題，引導學生用數(shù)學的眼光認識問題，用數(shù)學的思想方法分析問題、解決問題，加強數(shù)學知識應(yīng)用意識。

（四）專題整合，提升數(shù)學能力

單元作業(yè)的設(shè)計，既要協(xié)助學生穩(wěn)定、整理單元知識，也要協(xié)助學生拓展、提升知識的綜合運用，通過單元專題的整合，進一步加強對知識的理解與應(yīng)用，提升數(shù)學應(yīng)用能力。

例4.如圖3，已知半圓O的直徑AB=4，點C、D在半圓O上（點C與點D：不重合），弦BC與半徑OD相交于點E。

（1）假如弧AC=弧CD=弧DB，求DE的長。

（2）聯(lián)結(jié)AD交BC于F，OD⊥BC

①如圖4，假如AD=BC，求弦AD的長；

②如圖5，假如點F是弦AD的中點，求∠BAD的余切值。

（3）如圖6，過點D作DH⊥AB，垂足為H，DH交BC于點F，∠DOB=∠CBO

此題中第（1）問通過簡單應(yīng)用同圓中圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系及垂徑定理解決問題；

第（2）問需要結(jié)合中位線、全等三角形、銳角三角比等知識解決問題；

第（3）問結(jié)合三角形一邊的平行線、勾股定理等知識解決問題。作業(yè)設(shè)計中專題的整合有較強的綜合性，涉及的知識點多，需要學生從多角度去分析問題，多方法解決問題，以提升學生應(yīng)用知識解決問題的能力。

單元作業(yè)設(shè)計要幫助學生梳理知識框架