選修2-2綜合綜合測(cè)試題(答案)

數(shù)學(xué)選修2-2綜合測(cè)試題(答案)一、選擇題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi(12i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（B）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限πxdx的值等于（A2．定積分2sin2）2π1π11ππ1A．2B．2C．4D．4422xxa3．類(lèi)比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，a，S(x)2xaxC(x)a，其中a0，且a1，下面正確的運(yùn)算公式是（Ｄ）2①S(xy)S(x)C(y)②S(xy)S(x)C(y)③C(xy)C(x)C(y)④C(xy)C(x)C(y)

C(x)S(y)；C(x)S(y)；S(x)S(y)；S(x)S(y)；Ａ．①③Ｂ．②④Ｃ．①④Ｄ．①②③④4.已知f(x)2x36x2m(m為常數(shù)）在[2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[2,2]上的最小值為（A）A.-37B．-29C．-5D．-115.已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)A．1a2B．3a6Ca3或a6D．1或a2a6．設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為0，，4則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（），1B．1，0C．01，D．1，227．設(shè)曲線yx1在點(diǎn)(3，2)處的切線與直線axy10垂直，則a（）x1A．2B．1C．122D．2f(x)，則當(dāng)a08．已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿(mǎn)足f'(x)時(shí)，f(a)和eaf(0)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）大小關(guān)系為（A）A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)eaf(0)D．f(a)eaf(0)9.給出以下命題：b0，則f(x)>0；⑵2sinxdx4;⑴若f(x)dx0aaaT⑶已知F(x)f(x)，且F(x)是以T為周期的函數(shù)，則f(x)dxf(x)dx；0T其中正確命題的個(gè)數(shù)為(B)A.1B.2C.3D.010.已知函數(shù)f(x)x2bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線的斜率為3，數(shù)列1f(n)的前n項(xiàng)和為Sn,則S2011的值為（D）A.2008B.2009C.2010D.20112009201020112012二、填空題11、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是14。12．若函數(shù)f(x)4x在區(qū)間(m，2m1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．x21答案：1m≤013．已知f(n)111L1(nN)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)n時(shí)，f(2k1)f(2k)等23n2于．答案：11L1k1k2k122214.15.三、解答題2zzi3i（i為虛數(shù)單位）．求z．16、已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2i解．由已知得2zzi1i，z設(shè)zxyi,x,yR代人上式得x2y22xi1ix2y21x1所以，解得22x13y2故z13i2217.（1）求證：(1)a2b23ab3(ab);證明：（1）∵a2 b2 2ab,a2323a,b2323b;將此三式相加得2(a2b23)2ab23a23b,∴a2b23ab3(ab).（2）已知a,b,c均為實(shí)數(shù)，且ax22y,by22z,cz22x，求證：a,b,c中至少有一個(gè)大于0.236證明：（反證法）0，則abc0假設(shè)a,b,c都不大于0，即a0,b0,c，因?yàn)閍x22yπ22zπ22xπ,by,cz62π)3π)(z2π)abc(x22y(y22z2x236(x1)2(y1)2(z1)2π30即abc0，與abc0矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立.18、設(shè)函數(shù)f(x)x3x23x3a(a0)（12分）3（1）如果a1，點(diǎn)P為曲線yf(x)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以P為切點(diǎn)的切線斜率取得最小值時(shí)的切線方程；（2）若x[a,3a]時(shí)，f(x)0恒成立，求a的取值范圍。解：（1）設(shè)切線斜率為k,則kf'(x)x22x3.當(dāng)x=1時(shí)，k有最小值-4。又f(1)292949x1),即12x3y170。（6分）3,所以切線方程為y3若x[a,3a]時(shí)，f(x)0恒成立，則：0a3a30a33aa3f(3a)（1）或f(3)(2)或(3)00f(a)0（1），（2）無(wú)解，由（3）解得a6，綜上所述。19．設(shè)函數(shù)f(x)(e1)x,g(x)ex．（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（Ⅰ）判斷函數(shù) H(x) f(x) g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足：a1(0,1)，且f(an1)g(an),nN,①求證：0an1；②比較an與(e1)an1的大?。猓海á瘢〩(x)(e1)ex令H(x)0,x0ln(e1)當(dāng)x(,x0)時(shí)，H(x)0,H(x)在x(,x0)上是增函數(shù)當(dāng)x(x0,)時(shí)，H(x)0,H(x)在x(x0,)上是減函數(shù)?????．2分從而H(x)maxH(0)(e1)x01ex0(e1)ln(e1)e2????．4分注意到函數(shù)k(t)tlntt1在1,上是增函數(shù)，從而k(t)k(1)0,又e11從而H(x0)0綜上可知：H(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．???????????????????．6分（Ⅱ）因?yàn)閒(an1)g(an),即(e1)an11ean所以an11(ean1)???????????????????．7分e1①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 an (0,1)．當(dāng)n1時(shí)，a1(0,1)，不等式成立．假設(shè)nk時(shí)，ak(0,1)那么a11(eak1)ke1Q1eake0eak1e101(eak1)11即ak1(0,1)這表明n k 1時(shí)，不等式成立．所以對(duì)n N，an (0,1)②因?yàn)?e 1)an1 an ean 1 an考慮函數(shù) p(x) ex 1 x (0 x 1) p(x) ex 1 0從而p(x)在(0,1)上是增函數(shù)p(x) p(0) 0所以(e 1)an1 an 0即(e1)an1an20．已知函數(shù) f(x) alnx ax 3(a R)．（Ⅰ）當(dāng)a 1時(shí)，求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y f(x)的圖像在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為 45，問(wèn)：m在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的t[1,2]，函數(shù)g(x)x3x2[mf'(x)]在區(qū)間(t,3)上總存在2極值？（Ⅲ）當(dāng)a2時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)p2e(p2)x3，若在區(qū)間[1,e]上至少存在一個(gè)xx0，使得h(x0)f(x0)成立，試求實(shí)數(shù)p的取值范圍．解（Ι）由f'(x)a(1x)(x0)知：x當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)減區(qū)間是(1,)；（Ⅱ）由f'(x)a1得到a2，故f(x)2lnx2x3,f'(x)222，xg(x)x3x2[mf'(x)]x3(2m)x22x,g'(x)3x2(4m)x222因?yàn)間(x)在區(qū)間(t,3)上總存在極值，且1t2，所以g'(2)0，解得：g'(3)037m9，故當(dāng)37m9時(shí)，對(duì)于任意的t[1,2]，函數(shù)33g(x)x3x2[mf'(x)]在區(qū)間(t,3)上總存在極值。2（Ⅲ）f(x)2lnx2x3，令F(x)h(x)f(x)p2epx2lnxxx①當(dāng)p0時(shí)，由x[1,e]得到pxp0,2e2lnx0,所以在[1,e]上不存在x0，使x得h(x0)f(x0)成立；②當(dāng)p0時(shí)，F(xiàn)'(x)px22xp2ex[1,e]，所以x2，因?yàn)?e2x0,px2p0，F(xiàn)'(x)0在[1,e]上恒成立，故F(x)在[1,e]上單調(diào)遞增。F(x)maxF(e)p4pep4e，所以p的pe，由題意可知40，解得p1eee2取植范圍是4e,)。(e2121.已知a0，設(shè)函數(shù)f(x)alnx2ax2a，g(x)1(x2a)2．（I）求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的最大值；2（II）若e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，當(dāng)ae時(shí)，是否存在常數(shù)k、b，使得不等式f(x)kxbg(x)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（I）∵h(yuǎn)(x)alnx1x2(x0)，??????（2分）2∴h(x)ax(xa)(xa)xx．x(0,a)a(a,)h(x)+0-h(x)極大值∴當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)h(x)取最大值alnaa；??????（4分）2（II）當(dāng)ae時(shí)，h(x)f(x)g(x)的最大值是0，即f(x)g(x)，當(dāng)且僅當(dāng)xe時(shí)取等號(hào)，??????（6分）函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在xe處有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)(e,e)，2∵f(x)ee，函數(shù)f(x)的圖象在xe處切線斜率是kfe，2x∵g(x)x2e，函數(shù)g(x)的圖象在xe處切線斜率是kge，∴f(x)和g(x)的圖象在xe處有公共切線方程為yex3e，2???