電磁場與電磁波：第0章 矢量分析

電磁場與電磁波

緒論一、課程的性質(zhì)和任務

“電磁場與電磁波”是高等學校電子信息類及電氣信息類專業(yè)本科生必修的一門技術基礎課，課程涵蓋的內(nèi)容是電子、電氣信息類專業(yè)本科學生應具備知識結(jié)構的重要組成部分。近代科學的發(fā)展表明，電磁場與電磁波基本理論又是一些交叉學科的生長點和新興邊緣學科發(fā)展的基礎，而且對完善自身素質(zhì)，增強適應能力和創(chuàng)造能力長遠地發(fā)揮作用。

本課程將在“大學物理（電磁學）”的基礎上，進一步研究宏觀電磁現(xiàn)象和電磁過程的基本規(guī)律及其分析計算方法。通過課程的學習，掌握基本的宏觀電磁理論，具備分析和解決基本的電磁場工程問題的能力。

二、課程內(nèi)容和教材體系

孫國安電磁場與電磁波理論基礎（第二版）東南大學出版社按教材順序，課程包括9章。第0章矢量分析，主要介紹矢量場的散度和旋度以及標量場的梯度，介紹亥姆霍茲定理，是數(shù)學基礎。第1章電磁場中的基本物理量和基本實驗定律，本章復習和深化了電磁學的基本內(nèi)容，是物理基礎。第2章靜電場分析，第3章恒定磁場分析，第4章靜態(tài)電磁場邊值問題的解法，這三章屬于“靜態(tài)場”。第5章時變電磁場，第6章正弦平面電磁波。這二章是“時變場與波”部分，應該作為課程的重點。第7章導行電磁波，第8章電磁波輻射.（自學不作要求）

本教材采用的是按歸納法建立的傳統(tǒng)體系，即按歸納推理的方向，由特殊到一般的順序組織教材內(nèi)容，從靜態(tài)場的實驗定律開始，逐步將其一般化，歸納成有普遍意義的麥克斯韋方程組，進一步討論時變電磁場與波。這種教材體系的論述順序與宏觀電磁理論的歷史發(fā)展過程相一致，符合從特殊到一般，從實踐到理論的一般認識規(guī)律。而且起點較低，所需的數(shù)學知識和物理概念也是逐步引入的，符合先易后難、循序漸進的教學原則。這種傳統(tǒng)教材體系存在的問題是與先修課程（大學物理的電磁學部分）在內(nèi)容上缺乏明確的分工，容易造成重復過多；靜態(tài)場部分勢必占很大篇幅，占去過多教學學時數(shù)，時變場與波的內(nèi)容就顯得單薄，可用教學學時數(shù)就少。在教與學中應注意掌握適度。三、電磁場、電磁波與工程應用

1831年，英國物理學家法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象并提出電磁感應定律，制造出了世界上第一臺發(fā)電機，并開創(chuàng)了人類應用電力的新紀元。1865年，英國物理學家麥克斯韋在電磁學的三大實驗定律（庫侖定律、畢奧-沙伐定律和法拉第電磁感應定律）基礎上，提出了位移電流的基本假設，歸納總結(jié)出麥克斯韋方程，奠定了宏觀電磁理論的基礎。麥克斯韋方程組給出了電磁場的空間分布和隨時間變化的全部規(guī)律，預言了電磁波的存在。這個預言于1888年被德國物理學家赫茲的實驗結(jié)果所證實，從而導致無線電通信的發(fā)明，展現(xiàn)了電磁場與電磁波應用的廣闊前景。當今世界，電子信息系統(tǒng)，不論是通信、雷達、廣播、電視，還是導航、遙控遙測，都是通過電磁波傳遞信息來進行工作的。因此以宏觀電磁理論為基礎，電磁信息的傳輸和轉(zhuǎn)換為核心的電磁場與電磁波工程技術將充分發(fā)揮其重要作用。下面以無線電通信系統(tǒng)為例來說明。接收機接收天線饋線導行波導行波導行波導行波發(fā)射機發(fā)射天線饋線導行波導行波

發(fā)射機末級回路產(chǎn)生的高頻振蕩電流經(jīng)過饋線送到發(fā)射天線，通過發(fā)射天線將其轉(zhuǎn)換成電磁波輻射出去；到了接收端，電磁波在接收天線上感生高頻振蕩電流，再經(jīng)饋線將高頻振蕩電流送到接收機輸入回路，這就完成了信息的傳遞。在這個過程中，經(jīng)歷了電磁波的傳輸、發(fā)射、傳播、接收等過程。

傳輸——導行電磁波

發(fā)射和接收——天線

傳播——入射、反射、透射、繞射一些常見的天線和饋線中、短波發(fā)射天線微波接力天線卡塞格侖天線MMDS-A型微波天線MMDS-C型微波天線對數(shù)周期天線矩形波導圓波導平行雙線同軸線微帶線

要掌握天線發(fā)射和接收電磁波的機理和性能，必須掌握電磁場與電磁波的基本理論和技術。要掌握電磁波傳輸?shù)臋C理和性能，了解構成導波系統(tǒng)的元件和器件的性能，就必須掌握電磁場與電磁波的基本理論和技術。要掌握電磁波傳播的機理和性能，了解電磁波在水下或地下如何傳播，了解在地面站和衛(wèi)星之間如何傳播，就必須掌握電磁場與電磁波的基本理論和技術?？傊磺袩o線電工程系統(tǒng)，如前面提到的移動通信、衛(wèi)星通信、雷達、電視、微波遙感……都包含許許多多電磁場與電磁波的基礎理論問題，而且不斷地對以電磁場與電磁波為基礎理論的無線電技術、微波技術提出新的課題。因而電磁場與電磁波基礎理論將始終發(fā)揮著重要作用，且不斷擴充其應用領域。此外，隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，電子、電氣系統(tǒng)獲得越來越廣泛的應用。運行中的電子、電氣設備大多伴隨著電磁能量的轉(zhuǎn)換，使得高密度、寬頻譜的電磁信息充滿整個人類的生存空間，構成極其復雜的電磁環(huán)境，出現(xiàn)了電磁干擾和電磁污染，使電子系統(tǒng)受到嚴峻的挑戰(zhàn)，人類生存受到威脅。人們面臨的一個新問題就是如何提高電子系統(tǒng)在復雜電磁環(huán)境下正常運行的能力，如何改善人類生存環(huán)境。在這樣的背景下提出了電磁兼容的概念，逐漸形成了一門新學科——電磁兼容性（ElectromagneticCompatibility,簡寫為EMC）。電子系統(tǒng)的電磁兼容性的分析、計算、試驗都要用到大量的電磁場理論知識，應用到電路的基礎知識，甚至生物醫(yī)學知識?？梢哉f，電磁兼容學科是電磁場學科和其他相關學科相結(jié)合而形成的新學科。

生物電磁學也是與電磁場相關聯(lián)的一門新學科，它研究電磁場與生物系統(tǒng)的相互作用、相互影響的關系，電磁場與電磁波無疑是其討論的理論依據(jù)。

電磁波作為人類的先驅(qū)，作為地球的使者率先訪問了月球，然后才實現(xiàn)了人的登月。在人類目前尚不能進入的茫茫宇宙空間，將電磁波作為尖兵打頭陣，為人們提供信息。電磁波也將作為科學發(fā)明的先驅(qū)，照亮科學與技術發(fā)展的前進道路！第0章矢量分析0.1標量場和矢量場0.4標量場的梯度0.2矢量場的通量散度0.3矢量場的環(huán)流旋度

0.5亥姆霍茲定理矢量運算一矢量加減運算和設兩個矢量,則有:運算法則:平行四邊形矢量圖注意:矢量的寫法1.書寫時字母A上要加上箭頭“→”即2.書中印刷體是用黑體字母表示的3.矢量的大小寫作或二矢量乘積矢量乘積分為標積和矢積1.標積,也稱為點積,定義為:其中矢量為矢量和矢量的夾角。中間這個符號不能掉2.矢積,也稱為叉積,定義為:其中矢量的大小為中間符號不能掉叉積圖示:然后四指沿角轉(zhuǎn)向矢量伸出右手四指與矢量平行,,則大拇指的方向即為矢量的方向。其方向由右手法則確定,和矢量的夾角。為矢量注意幾個問題:1.矢量與標量不能相等;2.兩矢量標積(點積)結(jié)果為標量;3.兩矢量矢積(叉積)結(jié)果為矢量,并且該矢量垂直于原來兩個矢量組成的平面;4.兩矢量作乘法,中間必須有符號;5.兩矢量的夾角三矢量在正交坐標系中計算1.正交坐標系

所謂正交坐標系是指坐標軸兩兩互相垂直的坐標系。

常見的正交坐標系有:直角坐標系柱坐標系球坐標系

正交坐標系常用單位矢量來表示坐標軸的方向。

單位矢量是指矢量大小為1的矢量。

常見的正交坐標系(直角坐標系、柱坐標系、球坐標系)之間可以互相變換,具體內(nèi)容請參考任意一本《電磁場與電磁波》附錄。2.矢量在直角坐標系中的計算

1)矢量在直角坐標系中的表示

平面直角坐標系

代表x軸的方向

代表y軸的方向

則矢量表示為

同理在空間直角坐標系中有

代表z軸的方向矢量大小為矢量方向為是矢量在x、y、z軸上的分量為矢量與x、y、z軸的夾角2)兩矢量的和差即兩矢量的和差等于它們對應分量的和差

3)兩矢量的標積(點積)

方向單位矢量的標積(點積)4)兩矢量的矢積(叉積)

方向單位矢量的矢積(叉積)

即兩矢量的標積(點積)等于它們對應分量的乘積之和,為一標量

兩矢量的矢積(叉積)通常利用行列式

例題:給定三矢量求:(1)(2)(3)(4)(5)在方向上的分量(6)解:(1)(2)(3)(4)根據(jù)公式(5)先求矢量的大小,即再求矢量的方向,即故矢量為(6)利用行列式求解0.1標量場和矢量場

空間某一區(qū)域定義一個標量函數(shù),其值隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一標量場。例如,在直角坐標下,標量場如溫度場,電位場,高度場等。矢量場如速度場,電場、磁場等。

空間某一區(qū)域定義一個矢量函數(shù),其大小和方向隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。形象描繪場分布的工具--場線標量場--等值線(面)等值線矢量場--矢量線(有向曲線)其方程為矢量線0.2矢量場的通量散度一、通量

矢量場的通量

若S為閉合曲面

定義矢量A

沿有向曲面S的面積分為矢量A

穿過有向曲面S的通量二、散度直角坐標系中散度的計算公式

如果包圍點P的閉合面S

所圍區(qū)域

以任意方式縮小為點P時,通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場A在P點的散度。即*:矢量場為什么討論通量問題?矢量場用矢量線(有向曲線)來描述:的大小?的方向?的方向就是場線(矢量線)的切線方向。的大小由場線的疏密程度決定即單位面積通過場線的多少。*面積S面積S'

:哪個面積通過的場線多?如何表述?

由于場是均勻場,因此與場線垂直的單位面積通過的場線數(shù)即為該場的大小,也就是故對應面積S有場的大小面積S在垂直場線方向的投影面積S在垂直場線方向的投影為面積S與的夾角。

由于場是矢量,因此上式通常用矢量來表述,為此必須將面積矢量化。對于平面常用它的法線作為它的方向。*設θ為平面的法線與場線的夾角。很顯然,它是平面S與其在垂直場線方向投影面S┴的夾角夾角為θ故中間是點乘如圖所示,表示平面的法線方向,則θ

因此對于平面通過的場線的多少與平面和場線的夾角有關。

對于曲面,常以外法方向為正方向,如圖所示。*

可以認為是小平面,并且通過它的場線是均勻的,故

對于曲面,場不均勻的情況,可以選擇微元,則對于整個曲面,則應該是它們之和,即面積ds的方向這就是通量,通常記為通量用來計算某一曲面通過的場線的多少,這就是高等數(shù)學中對曲面的積分。*對于閉合曲面S,如果場線由里向外,如圖所示則場線的方向與曲面外法線方向的夾角為銳角,故即對于閉合曲面S,如果場線由里向外,則通過通量大于零同理對于閉合曲面S,如果場線由外向里,則通過通量小于零如果曲面S是閉合的,則*如果ΨE=0

則無源如果ΨE>0

則有正源(產(chǎn)生場)可以根據(jù)凈通量來判斷閉合面內(nèi)源的性質(zhì)。*如果ΨE<0

則有負源(溝)因此矢量場的通量可以判斷矢量場是有源場還是無源場,如果對于任何閉合曲面ΨE

≡0,則該矢量場是無源場,否則為有源場。*

:矢量場為什么討論散度問題?

矢量場的通量討論了一定曲面所包圍的體積內(nèi)場的性質(zhì),要討論空間中每一點場的性質(zhì),必須引入散度的概念。三、散度的物理意義

散度代表矢量場的通量源的分布特性。?A

=

0(無源）

在矢量場中，若?A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處?A=0，稱之為無源場。

矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數(shù)。=0(正源)?

A

=0(負源)*例題:

計算它穿過一個球心在原點,半徑為b的球面的通量,并計算該矢量場的散度。已知矢量場的表達式為解:根據(jù)通量公式積分變元ds只在球面上移動,而r是矢量場在球面上的取值,因此與積分變元無關,可以從積分中提出來,即*該矢量場的散度,在直角坐標系下四、高斯定理(散度定理)n1=-n2n1n2高斯定理

對于有限大體積

，可將其按如圖方式進行分割，對每一小體積元有式中S為

的外表面

該公式表明了區(qū)域

中場A與邊界S上的場A之間的關系。0.3

矢量場的環(huán)流旋度一、環(huán)流定義矢量場A沿空間有向閉合曲線C的積分為A的環(huán)流二、旋度1.環(huán)流密度

過點P

作一微小曲面S,它的邊界曲線記為C,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋關系。當S

收縮至P點附近時,存在極限

環(huán)流的計算

該極限值與S

的形狀無關，但與S的方向n有關。稱為矢量場A在P

點沿n方向的環(huán)流密度2.旋度

旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用表示它與環(huán)流密度的關系為在直角坐標系下三、旋度的物理意義

矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。

點P的旋度的大小是該點環(huán)流密度的最大值。

點P的旋度的方向是該點最大環(huán)流密度的方向。四、斯托克斯定理由旋度的定義

對于有限大面積S，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有斯托克斯定理*:矢量場為什么討論環(huán)流問題?

矢量場用矢量線來描述,那么矢量線的形狀如何?同樣影響場的性質(zhì)。圖一圖二圖一的場線是發(fā)散的,而圖二的場線是渦旋的,它們描述的場的性質(zhì)是不同的,這種不同是利用場量對曲線的積分即環(huán)流來表示。*例：流速場水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運動流體做渦旋運動0，有產(chǎn)生渦旋的源*

環(huán)流是否為零是判斷矢量場是有旋場(非保守場)還是無旋場(保守場)

上式對于任意閉合回路均成立,則該矢量場是無旋場(保守場)。

例如普通物理中的重力場、萬有引力場、彈性力場,只有在保守場中可以引入“勢能”的概念。

很顯然,這種積分就是高等數(shù)學中與路徑無關的積分問題。*

則該矢量場是有旋場(非保守場)。

在非保守場中不能引入“勢能”的概念。因此在普通物理中摩擦力作功與路徑有關,也就沒有“摩擦勢能”之說。

為了知道空間中每點附近的環(huán)流狀態(tài),即產(chǎn)生環(huán)流的源,必須引入“旋度”的概念。*

旋度有一個重要的性質(zhì),就是它的散度恒等于零。即

矢量分析中,另一個重要定理斯托克斯定理:

線積分與面積分之間的轉(zhuǎn)換。返回85*

在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。例：判斷矢量場的性質(zhì)=0=00=0=00*

三種特殊形式的場

1.平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線(設為Z軸)的一族平行平面上，場F的分布都相同，即F=f(x,y)，則稱這個場為平行平面場。*

2.軸對稱場：如果在經(jīng)過某一軸線(設為Z軸)的一族子午面上，場F的分布都相同，即F=f(r,)，則稱這個場為軸對稱場。*

3,球面對稱場：如果在一族同心球面上(設球心在原點)，場F的分布都相同，即F=f(r)，則稱這個場為球面對稱場。0.4標量場的梯度一、方向性導數(shù)與梯度等值面：標量場中量值相等的點構成的面。方向性導數(shù)

考慮標量場中兩個等值面梯度

由方向性導數(shù)的定義可知：沿等值面法線

的方向性導數(shù)最大。故標量場在P點的梯度是一個矢量大小：最大方向性導數(shù)方向：最大方向性導數(shù)所在的方向為標量場

在P點沿

方向的方向性導數(shù)。其大小與方向

有關。

定義標量函數(shù)

沿給定方向

的變化率?？傻迷谥苯亲鴺讼抵刑荻鹊挠嬎愎?二、梯度的物理意義

標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數(shù);

梯度的大小為該點標量函數(shù)的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù);

梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.*例1

三維高度場的梯度高度場的梯度

與過該點的等高線垂直；

數(shù)值等于該點位移的最大變化率；

指向地勢升高的方向。*例2

電位場的梯度電位場的梯度

與過該點的等位線垂直；

數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；

指向電位增加的方向。0.5亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量惟一地確定）亥姆霍茲定理的意義：是研究電磁場的一條主線。第1章電磁場中的基本物理量和基本實驗定律

為分析電磁場，本章在宏觀理論的假設和實驗的基礎上，介紹電磁場中的基本物理量和實驗定律。

在靜止和穩(wěn)定的情況下，確立分布電荷與分布電流的概念物理量；在電荷守恒的假設前提下，確立電流連續(xù)性方程。

在庫侖實驗定律和安培力實驗定律的基礎上建立電場強度E和磁感應強度B的概念。

在電荷分布和電流分布已知的條件下，提出計算電場與磁場的矢量積分公式。1.1電場1.2高斯定律1.3磁場1.4安培環(huán)路定律1.5電磁感應定律1.6電磁場方程的積分形式1.7電磁場方程的微分形式1.8電磁場的邊界條件1.9電磁場能量關系——坡印亭定理*

一庫侖定律

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。大量試驗表明:真空中兩個靜止的點電荷與之間的相互作用力:

點電荷模型:當帶電體本身的線度與相關長度相比可以忽略不計時,該帶電體可以看成為點電荷,可以利用點電荷的公式,否則不能直接利用點電荷的公式,而必須將帶電體劃分為點電荷的集合,再利用積分求解。1.1電場庫侖定律點電荷對點電荷的作用力。適用條件

兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力;

無限大真空情況(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中F/m)*

二靜電場基本量-電場強度1.靜電荷之間相互發(fā)生作用是靠什么來傳遞的?

2.現(xiàn)代物理認為電荷周圍存在一種特殊運動形態(tài)的物質(zhì)-電場,靜電荷之間是靠電場來發(fā)生作用的;

3.在電荷周圍的電場是存在分布,而且是唯一確定的,那么用何定量計算這些場的強度呢?*定義：

V/m(N/C)

電場強度（ElectricFieldIntensity)E

表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標的矢量函數(shù),定義式給出了E

的大小、方向與單位。

為此引入電場強度的概念*三點電荷的電場強度公式V/mN個點電荷產(chǎn)生的電場強度對于連續(xù)的電荷分布電荷體密度電荷面密度電荷線密度體分布線分布面分布體電流密度電流與電流密度電流

單位時間內(nèi)穿過面積S的電荷量。其單位為A（安培）體電流密度設電流呈體分布流過任意曲面的電流式中的法線方向與電流的方向一致。面電流密度設電流呈面分布面電流密度式中的方向與電流的方向垂直流過任意的電流而于是所以穿過任意曲線的電流*

1.選取微元

例題:真空中有長為L的均勻帶電直導線,電荷線密度為,試求P點的電場強度?！解:利用微元法微元法的步驟如下:微元選在什么地方呢?所以必須建立坐標系。xdx在離原點為x地方取微元dx,其電量為

dx*2.利用公式首先,畫出微元產(chǎn)生的電場·Px其次,寫出公式*3.進行正交分解·PxdExdEyθθ4.整理方程并積分L1L2*故有:*也可以利用書P4面方法,用角度表示。為無限長均勻帶電導線的場強公式。*

1.2高斯定律

一電力線

電場的大小-電力線的疏密程度電力線的性質(zhì)

電場的方向-電力線的切線方向1.電力線是矢量線(有向曲線);2.電力線不閉合;3.電力線起始于正電荷(或無限遠處),終止于負電荷(或無限遠處),在沒有電荷的地方不中斷。電力線：線上每一點的切線方向代表該點的電場強度方向，大小與電力線密度成正比。因此電場中電場矢量E穿過微小面積ds的通量dΨE與穿過此面積的電力線數(shù)成正比電力線是人為定義的，用來形象描述電場強度電力線從正電荷出發(fā)而終止于負電荷，在中間是連續(xù)的，既不會分岔，也不會中斷靜電場：始于正電荷或無窮遠，終于負電荷或無窮遠。時變場：環(huán)，電力線環(huán)套著磁力線環(huán)，磁力線環(huán)套著電力線環(huán)。*

二高斯定理

1.電場強度通量S是不閉合的曲面。對于閉合曲面有定義：一面積元對對一點所張的立體角閉合曲面對面內(nèi)一點所張的立體角因為閉合曲面的外法線為正。所以整個積分區(qū)域即得閉合曲面對面外一點所張的立體角此時在整個積分區(qū)域中有一半是即而另一半是即因此*

2.高斯定理

其中E為曲面S上的電場強度,它是由空間所有電荷共同產(chǎn)生的;Σq是閉合曲面內(nèi)所有電荷的電量代數(shù)和。

E的通量僅與閉合面S所包圍的凈電荷有關。*

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。

對于電荷連續(xù)分布帶電體的高斯定理高斯定律：1）通量：面積分與矢量點乘 方向的定義：閉合曲面與非閉合曲面2）電通量密度：3）高斯定律：關于與兩種：后者于媒質(zhì)無關。用高斯定律計算電場：對稱性的要求，高斯面。*

利用高斯定理求電場強度的條件:

電荷分布與場強具有某種對稱性

通常有三種對稱性:

球?qū)ΨQ分布：包括點電荷,均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。(a)(b)(c)

球?qū)ΨQ場的高斯面試問：能否選取正方形的高斯面求解球?qū)ΨQ場高斯定理

軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。軸對稱場的高斯面

無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板(a)(b)(c)平行平面場的高斯面()

D的通量與介質(zhì)無關，但不能認為D的分布與介質(zhì)無關。

D

通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的

D

是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。點電荷±q分別置于金屬球殼的內(nèi)外()()

點電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)例題1求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點：D線皆垂直于導線，呈輻射狀態(tài)；

等r處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。高斯定律的應用計算技巧：1.分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。2.選擇適當?shù)拈]合面作為高斯面，使容易積分。

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。*由得

要計算此式,矢量點乘必須標量化,即利用點乘的定義,把矢量點乘變?yōu)閿?shù)的乘積S1為柱面的側(cè)面,有

思考：為什么乘以cos0?為什么D1可以從等式中提出來?