辨別分式的類型求分式函數(shù)的值域

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孫蘭紅

分式函數(shù)是一種重要的函數(shù).分式函數(shù)問題一般較為繁雜，在解題時需首先根據(jù)分母不為0確定函數(shù)的定義域，然后將函數(shù)式化簡.求分式函數(shù)值域問題的難度較大，本文重點(diǎn)探討一下兩類常見的分式函數(shù)值域問題，以幫助同學(xué)們提升解答此類問題的效率.

一、fx=或型

形如fx=或（a、b、c、d∈R，且c、d不全為零）的分式函數(shù)有明顯的特點(diǎn)：分子、分母的最高次數(shù)一致，且結(jié)構(gòu)類似.對于fx=或dx2+ex+f型的分式函數(shù)，常采用分開常數(shù)法求其值域，首先將分母配湊成分子的倍數(shù)，使常數(shù)分開，這樣便將函數(shù)式簡化.只需根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式，利用配方法、判別式法求得含有變量式子的最值即可.若常數(shù)不易分開，可將y或fx看作參數(shù)，構(gòu)造關(guān)于x的一元一次方程、一元二次方程，利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、一次方程、二次方程的性質(zhì)，來探討根的分布狀況即可.

例1.求函數(shù)fx=的值域.

解：由于2x-1+=3x+2，

因此，函數(shù)fx=的值域為y|y≠.

我們直接將函數(shù)式變形，使常數(shù)分開，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和分式的性質(zhì)即可求得fx的值域.

例2.求函數(shù)fx=3x2+4x+5的值域.

解：

解答此題，需先將函數(shù)式變形，使常數(shù)分開，然后通過換元，構(gòu)造函數(shù)gt，利用基本不等式求得gt的取值范圍，從而得到函數(shù)fx的值域.

二、fx=型

若遇到形如fx=

（a、b不全為零，c≠0）的分式函數(shù)式時，需首先將分子、分母同時除以分子，使其轉(zhuǎn)化為gx++n（m、n為常數(shù)，m≠0）的形式，然后利用基本不等式來求其分母的最值.若基本不等式不可用，則需利用對勾函數(shù)y=x+的單調(diào)性來求函數(shù)的最值.

例3.已知函數(shù)fx=，則其值域為.

解：由題意可知，當(dāng)x+2=0時，fx=0，當(dāng)x≠-2時，

因此，函數(shù)fx的值域為-，?（ù）.

我們將問題分成兩種狀況：x≠-2和x=-2進(jìn)行探討.在x≠-2時，直接利用基本不等式求得分母的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)fx的值域.

總之，求分式函數(shù)值域的方法有好多種，如分開參數(shù)法、基本不等式法、函數(shù)性質(zhì)法、配方法、判別式法等.在解題時，我們需明確分式函數(shù)式的特點(diǎn)，分辯其類型，再選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解.值得注意的是，在求分式函