慣性力與非慣性系

慣性力與非慣性系摘要慣性力是非慣性系中的非真實(shí)力，本文證明了在非慣性系中將慣性力視為真實(shí)力計(jì)入后，慣性系下的所有力學(xué)規(guī)律在非慣性系下都能成立。當(dāng)慣性力做功與路徑無(wú)關(guān)時(shí)，可以引入慣性力勢(shì)能，引入慣性力勢(shì)能并計(jì)入系統(tǒng)總機(jī)械能后，機(jī)械能守恒體系中的條件與結(jié)論也仍然成立。關(guān)鍵字:非慣性系；慣性力；慣性力勢(shì)能ABSTRACTInertiaforceisunrealpowerinnon-inertiasystem.Itprovesinthisarticlethatwheninertiaforceisaddedasrealpowerinnon-inertiasystem,allthemechanicallawswhichapplyininertiasystemalsodoinnon-inertialsystem.Wheninertiaforce’sdoingworkhasnothingtodowithpath,potentialenergycanbebroughtin.Theconditionsandconclusionsstillapplyinthesystemofconservationofmechanicalenergywhenitaddspotentialenergytothetotalmechanicalenergy.Keywords:Non-inertial;Inertia;Inertialforcepotentialenergy1非慣性系與慣性力我們?cè)诿枥L物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，稱選作參照?qǐng)龅奈矬w或物體群，為參照系。又因?yàn)榕ｎD第一定律又稱為慣性定律。所以凡適用用牛頓定律的參照系都可以稱作慣性參照系。從伽俐若相對(duì)性原理中還得到：相對(duì)于慣性參照系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系來(lái)說(shuō)，其力學(xué)過(guò)程是完全等價(jià)的。所以，一個(gè)參照系做勻速直線運(yùn)動(dòng)，都可以當(dāng)做是慣性參照系。而當(dāng)一參照系相對(duì)于慣性參照系做加速a0運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)牛頓定律不再成立，我們將這樣的參照系叫非慣性參照系。a0又叫做牽連加速度，設(shè)o1為慣性系，o2為非慣性系，o2相對(duì)于o1的加速度即為a0,得：a2=ai'a0又為了使加速參照系中牛頓定律仍然適用，我們可以假想在加速參照系中的一切物體都受有某種力，我們把它叫做慣性力f=-ma0。而在這種參照系中，物體所受的這種力沒有施力物體的存在，所以慣性力為非真實(shí)力。如：設(shè)在一車廂內(nèi)有一光滑平板，平板上放有一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)車廂靜止時(shí)，小球于車廂保持靜止?fàn)顟B(tài)，不受力；當(dāng)車廂勻速行駛時(shí)，小球與地面保持靜止，而與車廂有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，以車廂為參照系可以觀察到小球勻速向反方向行駛，不受力；當(dāng)車廂以a加速行駛時(shí)，以地面為參照系可知小球保持靜止不動(dòng)，當(dāng)一小車為參照系時(shí)，可以看到小球在以相反的方向以-a的加速度向反方向行駛。如圖：aF=-ma—4在上圖中，以車廂為參照系的觀察者（習(xí)慣于用牛頓第二定律來(lái)研究力和加速度的問(wèn)題），雖然觀測(cè)到這個(gè)加速度，但卻未能找到引起這個(gè)加速度的力。于是他不得不設(shè)想有個(gè)假想力f作用在小球上，這個(gè)力使質(zhì)量為m的小球獲得以加速度-a，按照牛頓第二定律，f=-ma這個(gè)假想力就稱為慣性力。2慣性系與非慣性系下的力學(xué)規(guī)律設(shè)有兩個(gè)參照系o1和o2,o1為慣性系，o2為非慣性系：2.1慣性系下，即o1系下，有：a1=F/mdv1=a1dtdr1=v1dtdv1=a1dt=Fdt/m=>mdv1=Fdt=>d(mv1)=Fdt沖量定理元功8w1=Fdr1=ma1v1dt=mv1dv1=d(mv12/2)動(dòng)能定理由d(mv12/2)=Fdr1=(F保+F非保)dr1=F保dr1+F非保dr1引入勢(shì)能即F保dr1=-dU1d(mv12/2)=-dU1+F非保dr1d(mv12/2+U1)=F非保dr1——功能原理若F非保dr1=0=>mv12/2+U1=常量機(jī)械能守恒2.2非慣性系下，即o2系下，有：=^"0)=F/m+f/m=(F+f)/m=F/m

0總F總=F+ff為慣性力dv2=a2dt,dr2=v2dtd^=^dt=Fdt/m總=>mdv?=Fdt2總=>d(mv2)=F總dt沖量定理此式表明：盡管f非真實(shí)力，但在形式上計(jì)入力f的沖量后，慣性系下的沖量定理形式在非慣性系中得以成立。同樣，因f非真實(shí)力，我們把包含f在內(nèi)的所有力做的功合稱為視在功。視在元功8w2=F總,dr2=ma2v2dt=mv2dv2=d(mv22/2)動(dòng)能定理此式亦表明：雖然f為非真實(shí)力，但引入視在功并計(jì)入總功內(nèi)，慣性力下動(dòng)能定理形式在非慣性系下得以成立。由d(mv22/2)=F總dr2=(F保+F非保+f)dr2=F保dr2+F非保dr2+fdr2引入勢(shì)能即Fdr2=-dU9保22d(mv22/2)=-dU2+F非保dr2+fdr2d(mv22/2+U2)=(F非保+f)dr2——功能原理若（F非保+f）dr2=0=>mv22/2+U2=常量機(jī)械能守恒此兩式又表明：即使f為非真實(shí)力，但在形式上計(jì)入力f后，慣性系下機(jī)械能守恒定律形式在非慣性系中也得以成立?？梢姡阂霊T性力f并將其視為真實(shí)力計(jì)入后，慣性系下的力學(xué)規(guī)律仍然適用于非慣性系。3慣性力勢(shì)能類似于真實(shí)保守力的勢(shì)能，若慣性力做功與路徑無(wú)關(guān)，我們也可以考慮引入慣性力勢(shì)能。3.1慣性力做功與路徑無(wú)關(guān)的例子設(shè)有一平面圓臺(tái)，繞過(guò)圓心且垂直于臺(tái)面的軸以定角速度3轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)處于園面上，以圓臺(tái)為參考系，以。點(diǎn)為原點(diǎn)。由于這是一個(gè)非慣性系，質(zhì)點(diǎn)的慣性力為f=mrW2.以。點(diǎn)為原點(diǎn)，臺(tái)面上任一點(diǎn)位置矢量為r.則慣性力的元功為dW=fdr,=>W=rmrW2drrB=mw2(rB2-rA2)/2可見，慣性力的功W于路徑無(wú)關(guān)3.2慣性力勢(shì)能的定義當(dāng)慣性力做功與路徑無(wú)關(guān)，類似于保守力的勢(shì)能，定義慣性力的功等于慣性勢(shì)能增量的負(fù)值，即F慣dr=-dU慣在上例中，設(shè)。點(diǎn)(r=0)處慣性力勢(shì)能為零，則系中任一點(diǎn)r處的慣性力勢(shì)能可表示為U(r)=-W=-mW2(r2-0)/2=-mW2r2/23.3運(yùn)用慣性力勢(shì)能處理非慣性系的力學(xué)問(wèn)題的實(shí)例：在一光滑水平直管內(nèi)有一質(zhì)量為m的小球，此管以勻角速度口繞通過(guò)其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，球距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為b，球相對(duì)于管的速度為零，管總長(zhǎng)為2b，求球剛要離開管口時(shí)的相對(duì)速度和絕對(duì)速度。解：取與管固定連接的坐標(biāo)系為參考系?！蛟诠軆?nèi)相對(duì)。'的運(yùn)動(dòng)即球相對(duì)管的運(yùn)動(dòng)乃是慣性力作用的結(jié)果，而球所受壓力、重力等均與其運(yùn)動(dòng)方向垂直，它們所做的功為零。1>.利用慣性力勢(shì)能解該題球受到的慣性力的功屬于前述“慣性力作功與路徑無(wú)關(guān)”的情形，可引入慣性力勢(shì)能U(r)=-m?2r2/2，并且在。’系看，其機(jī)械能守恒。至球剛要離開時(shí)，其相對(duì)速度v’滿足-mb2^2/2=-m(2b)2^2/2+mv’2/2所以V,2=3b2W2v'=02bwv’的方向沿管方向且指向管外球的牽連速度vt=rXw,vt=rw.至要離開管時(shí)，r=2b,vt=2bw球的絕對(duì)速度為V=(V’2+Vt2)1/2=(3b2^2+4b2^2)1/2=7i/2bw2>.不引入慣性力勢(shì)能求解在這個(gè)過(guò)程中，我們可以知道物體在o’中只有慣性力做功，我們可以根據(jù)動(dòng)量定理，即fAt=mAv,f=m?2r可以寫出元?jiǎng)恿縡dt=mdv’又dr=v’dt代入上式，得fdr/v，=mdv’=>mw2rdr=mv’dv’兩邊同時(shí)積分后，可得到v’=3i/2bw其他過(guò)程，同上。比較以上不同的兩種不同的解法，可以看到利用慣性力勢(shì)能解題要簡(jiǎn)便一些。結(jié)束語(yǔ)：根據(jù)上面的討論知道：在非慣性系中，將慣性力視為真實(shí)力計(jì)入后，成立于慣性系的沖量定理、動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒等都得以在非慣性系下成立。而在慣性力做功與路徑無(wú)關(guān)的條件下，還可以引入慣性力勢(shì)能，讓總機(jī)械能中包含慣性力勢(shì)能