工程測量員培訓883T7

491§5-1測量誤差概念一、測量誤差產生的原因二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性492一、測量誤差產生的原因產生測量誤差的三個因素：

儀器原因—儀器精度的局限性,軸系殘余誤差等；人的原因—判斷力和分辨力的限制,經驗缺乏等；外界影響—氣象因素如溫度變化,風力,大氣折光等

。結論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關名詞：觀測條件—上述三大因素總稱為觀測條件觀測精度—在觀測條件基本相同的情況下進行的觀測，稱為“等精度觀測”；否則，稱為“不等精度觀測”。

493二、測量誤差的分類與處理原則（一）系統(tǒng)誤差

在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，如果誤差的出現(xiàn)在符號(正負號)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響有一定(數(shù)學或物理)的規(guī)律性。如能夠發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可進行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494

按測量誤差產生原因和對觀測成果的影響，分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。495

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺檢定,尺長改正

鋼尺溫度誤差Dt

鋼尺檢定,溫度改正

水準儀視準軸誤差

i

中間法水準,前后視等距

經緯儀視準軸誤差C

盤左盤右觀測,取平均值

對系統(tǒng)誤差采取措施舉例：誤差來源采取措施在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計學規(guī)律。（三）粗差

由于觀測者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯誤)，應避免和舍棄粗差。

偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標瞄準、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀測。496（二）偶然誤差（四）誤差處理原則497粗差

—細心觀測，用多余觀測和幾何條來件來發(fā)現(xiàn)，將含有粗差的觀測值剔除。系統(tǒng)誤差

—找出發(fā)生規(guī)律，用觀測方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—用多余觀測減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來限制。三、偶然誤差的特性

偶然誤差的定義設某一量的真值為X，對該量進行n

次觀測，得n個觀測值，產生n個真誤498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值與觀測值之差定義為“真誤差”,真誤差屬于偶然誤差,但真值必須已知才能求得真誤差。測量的觀測和計算中,在一般情況下真值是不知道的，只能根據幾何條件等間接知道真值,例如三角形三個內角之和為180°(真值),而三個內角的觀測值之和也可以作為一個獨立的觀測值，據此求得三內角之和的真誤差(稱為三角形角度閉合差)。

多次觀測中尋找偶然誤差的規(guī)律：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內角,三角形內角之和的真值為180°，觀測值為三個內角之和

(i+i+i)，因此其真誤差(三角形閉合差)為：i

=180°–

(i

+

i+i)觀測數(shù)據統(tǒng)計結果列于表5-1,據此分析三角形內角和的真誤差i的分布規(guī)律。499

表5-1

偶然誤差的統(tǒng)計4910誤差區(qū)間dΔ"負誤差正誤差誤差絕對值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，，偶然誤差不超過過一定數(shù)值；漸降性：誤差絕對值小的出出現(xiàn)的頻率大，誤誤差絕對值大的出出現(xiàn)的頻率小；對稱性：絕對值相等的正負負誤差頻率大致相相等；抵償性：當觀測次數(shù)無限增增大時，由于正負負相消，偶然誤差差的平均值趨近于于零。用公式表示示為：4911三角形閉合差的頻頻率直方圖正態(tài)分布曲線以及及標準差和方差4912在統(tǒng)計理論論上如果觀觀測次數(shù)無無限增多(n→∞)，而誤差區(qū)區(qū)間dΔ又無限縮小小，則頻率率直方圖成成為一條光光滑的曲線線，在統(tǒng)計計學中稱為為偶然誤差差的“正態(tài)態(tài)分布曲線線”,其數(shù)學方程程式為：式中參數(shù)σ稱為“標準差”,其平方σ2稱為“方差”,方差為偶然然誤差(真誤差)平方的理論論平均值：：標準差的計計算式：§5-2評定測量精精度的標準準一、中誤差4913用標準差衡衡量測量觀觀測成果的的精度，在在理論上是是嚴格和合合理的。但但在實際測測量工作中中，不可能能對某一量量進行無窮多次觀測測。因此，，定義：根根據有限次次觀測的偶偶然誤差，，用標準差差計算式求求得的稱為為“中誤差差”，其計計算式為：：選擇兩組三三角形內角角之和的觀觀測值，求求得三角形形角度閉合合差，分別別按上式在在表5-2中計算中誤誤差，得到到：第1組:m1=±2.7″″第2組:m2=±3.6″″可見第1組的觀測精精度高于第第2組。按觀測值的的改正值計計算中誤差差4914表5-2m1較小,誤差分布比比較集中，，觀測值精精度較高；；m2較大，誤差差分布比較較離散，觀觀測值精度度較低。兩組觀測值值誤差的正正態(tài)分布曲曲線的比較較：m1=2.7m2=3.64915不同中誤差差的正態(tài)分分布曲線4916二、相對中中誤差三、極限誤誤差某些觀測值值的精度如如果僅用中中誤差衡量量，還不能能正確反映映其質量，，例如，距距離測量誤誤差應與長長度成正比比。觀測值值的中誤差差除以觀測測量，稱為為“相對中中誤差”(簡稱相對誤誤差)，例如200m距離的測距距中誤差為為2cm,測距的相對對誤差為1∶10000;500m距離測距中中誤差也為為2cm，則測距相相對誤差為為1∶25000；后者精度度高于前者者。根據正態(tài)分分布方程式式，可以表表示誤差出出現(xiàn)在微小小區(qū)間dΔ的概率：將上式積分分，得到偶偶然誤差在在任意大小小區(qū)間中出出現(xiàn)的概率率。設以k倍中誤差作作為區(qū)間,則在此區(qū)間間中誤差出出現(xiàn)的概率率：4917分別以k=1,k=2,k=3代入上式，，可得到偶偶然誤差的的絕對值不不大于中誤誤差、2倍中誤差、、3倍中誤差的的概率：由此可見，，大于2倍中誤差出出現(xiàn)的概率率小于5％，大于3倍中誤差出出現(xiàn)的概率率小于0.3％。因此，，測量工作作中以2倍中誤差作作為允許的的誤差極限限，稱為““允許誤差”或“限差”。4918§5-3觀測值的算算術平均值值及改正值值一、算術平平均值在相同的觀觀測條件下下，對某一一量進行n次觀測，觀觀測值為li(i=1～n),取其算術平均值值作為該量的的最可靠的的數(shù)值（故故也稱“最或然值”）：算術平均值值為何是該該量最可靠靠的數(shù)值？？可以用偶偶然誤差的的特性來證證明：證明算術平平均值是最最或然值4919按真值計算算各個觀測測值的真誤誤差：將上列等式式相加，并除以n,得到：故算術平均均值比較接近于真值值，而成為最可靠的的數(shù)值：二、觀測值值的改正值值最或然值與與觀測值之之差稱為““觀測值的的改正值””(簡稱改正值)v:4920對［vv]求極小值：：算術平均值值符合最小小二乘法原原理取改正值總總和：說明：一組觀測測值取算術術平均值后后，各個觀觀測值的改正值之和恒等等于零，此可以作作為計算的的檢核?！?-4觀測值的精精度評定在同樣觀測測條件下對對某一量進進行n次觀測，求求得算術平平均值及觀測值值的各個改改正值v，據此計算觀觀測值的中中誤差：4921對比按真誤誤差Δ計算中誤差差的公式：：兩者差別別僅在于以以（n－1）代替n，以代代替真值X：兩式取總和和并顧及偶然然誤差的相相消性，可可以證明：：因此可以按觀測值的的改正值計計算中誤差差算術平均值值計算的實實用公式由于各個觀觀測值相差差很小，為為計算方便便令其數(shù)值值的相同部部分為l0,差異部份為為Δl，即li=l0+Δli,算術平均值值的實用公公式：4922按各個觀測測值的改正正值計算觀觀測值中誤誤差的公式式：按觀測值的的改正值計計算中誤差差的算例（一段水平平距離的多多次觀測））4923次序觀測值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算術平均值及觀測值中誤差1120.031+3.1-1.41.96算術平均值:=120.017(m)觀測值中誤差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26計算算術平平均值及其其中誤差的的小結：一、已知知真值X,進行n次觀測，則則計算觀測測值的真誤誤差與中誤誤差。二、真值不不知,則進行n次觀測，計計算算術平平均值、改改正值及其其中誤差。。4924中誤差：真誤差：中誤差：改正值：算術平均值值：§5-5誤差傳播定定律4925一、觀測值值的函數(shù)測量所采集集的數(shù)據(量)并非都是直直接觀測值值，而是觀觀測值的函函數(shù)。觀測測值的誤差差使其函數(shù)數(shù)也具有一一定的誤差差。例如：：和差函數(shù)—例如算術平平均值例如斜距改改平例如分段量量距相加例如圖上量量長度,化為實地長長度倍函數(shù)—線性函數(shù)—一般函數(shù)—二、一般函函數(shù)的中誤誤差4926舉例說明：：矩形地塊塊，量長度度a、寬度b，求其面積P。面積是觀測測值長度a和寬度b的函數(shù)，函函數(shù)式為：：對函數(shù)式中中的自變量量a、b求偏微分:將微分元素素以偶然誤誤差Δi代替面積誤差(圖中陰影面面積)具有直觀的幾何何意義4927對于上述地地塊的長度度和寬度進進行n次觀測：上列n個等式平方方后取其總總和，并除除以n,得到：根據偶然誤誤差的抵償償性，得到到：按照中誤差差的定義，，上式可改改寫為求面積中誤誤差公式：4928誤差傳播定定律—一般函數(shù)的的中誤差計計算式中xi為自變量(獨立觀測值值)，設mi為觀測值的的中誤差，，Z為獨立變量量的函數(shù)。。則Z的中誤差為為：式中為為各各個變量的的偏導數(shù)。4929三、線性函函數(shù)和倍函函數(shù)的中誤誤差線性函數(shù)：：自變量的偏偏導數(shù)：按照誤差傳傳播定律，，得到線性性函數(shù)的中中誤差：算術平均值值也也屬于觀測測值的線性性函數(shù)，根根據誤差傳播定律：：4930由于是等精精度觀測,因此m1=m2=…=mn=m由此可見，，算術平均均值的中誤誤差比觀測測值的中誤誤差小倍倍。。如果線性函數(shù)數(shù)只有一個自自變量：,則成為倍函數(shù)，其中誤差為為：上式中的系數(shù)數(shù)k，即為誤差擴大大的倍數(shù)。4931函數(shù)式為：D=500d實地距離和量量距中誤差為為：該距離及其中中誤差可以寫寫成：例：量得比例尺為為1∶500的地形圖上兩兩點間長度d=134.7mm,圖上量距中誤誤差為0.2mm,換算為實地距距離D和量距中誤差差mD。4932其中誤差均為為：和差函數(shù)的中中誤差計算方方式也可用于于多種獨立誤誤差來源的觀測值中誤誤差的計算。。例如用測角角儀器觀測水水平方向時，同時受到到對中、瞄準準、讀數(shù)、儀儀器誤差、大大氣折光等誤差影響，，觀測水平方方向的偶然誤誤差是這些誤誤差的代數(shù)和和：故觀測水平方方向的中誤差差為：誤差傳播定律律小結第一步：寫出出包含各個自自變量(獨立觀測值)的函數(shù)式第二步：寫出出全微分式(計算對各個自自變量的偏導導數(shù))第三步：按誤誤差傳播定律律寫出中誤差差關系式注意：誤差傳播定律律只適用于將將各個獨立觀觀測值作為自變量。如如果觀測值之之間是相關的的，則得到的結果將是不不嚴格的。4933函數(shù)式：函數(shù)中誤差：：§5-6誤差傳播定律律的應用4934一、距離測量量的精度光電測距的誤誤差來源有：：儀器誤差、、氣溫氣壓測測定誤差、儀儀器對中誤差差、傾斜改正正垂直角測定定誤差等。這這里僅討論前前二者，即儀儀器頻率調制制誤差df、測定相位的的誤差dΔφ以及氣象測定定誤差影響折折射率dn。斜距測定的函數(shù)式對各個自變量量求偏導數(shù)得到到真誤差關系式式用誤差傳播定定律得到光電電測距中誤差差的估算式：：4935上式根號內第第一項為測定定相位誤差的的影響，它與與距離長短無無關，稱為““常誤差a”；第二、第三三相為氣象測測定誤差與頻頻率誤差的影影響，它們均均與距離長度度成正比，稱稱為“比例誤差b”。因此,光電測距的誤誤差估算式：：上式常作為測測距儀本身的的精度指標，，a的單位為mm，b為百萬分率，，即每公里的的毫米數(shù)(mm/km)。二、角度測量量的精度DJ6級經緯儀和6秒級全站儀一一測回方向觀觀測值中誤差m=±6″，水平角為兩兩個方向觀測測值之差，故故一測回水平角觀測測的中誤差為為：4936一測回水平角角取盤左盤右右角度的平均均值，故半測測回水平角值值的中誤差為為：盤左、盤右水水平角值之差差的中誤差為為：以2倍中誤差作為為極限誤差為為±34″(一般規(guī)定40″)多邊形水平角角觀測角度閉閉合差的規(guī)定定多邊形內角(水平角β)之和在理論上上應為(n-2)180°,由于水平角觀測中的的偶然誤差，，產生角度閉閉合差：4937每個角度的測測角中誤差為為mβ,則n個角度之和的的中誤差:以2倍中誤差作為為極限誤差,則n邊形的角度的的允許閉合差差例：設水平角角觀測的中誤誤差mβ=±18″,則三角形的允允許角度閉合差差：三、水準測量量的精度水準測量高差差測定的計算算式h=a-b,設用S3水準儀在水準準尺讀數(shù)的中中誤差m=±1mm，則一次測定高差差的中誤差：：4938兩次測定高差差之差Δh=h1-h2,則高差之差的的中誤差：以2倍中誤差作為為極限誤差,則允許的高差差之差為±4mm水準路線高差差測定的精度度4939在一條附合水水準路線進行行水準測量,共設n個測站,其高差的總和：設水準尺讀數(shù)數(shù)誤差為m,每次高差測定定中誤差為mh,則線路的高差差總和的中誤誤差：設水準線路長長度為L,各測站前、后后視平均長度度為d,單位長度的高差測測量中誤差為為m0,則：，，L以公里為單位位m0為每公里高差測量中誤差差4940上式說明：水水準測量的精精度與水準路路線的長度的的平方根成正比。水準測量的等等級以每公里里高差測量的的中誤差mo作為精度指標標：水準測量等級一等二等三等四等

mo±1mm±2mm±6mm±10mm據此,可以按水準測測量等級和設設計水準路線線長度,估算水準測量全程程的高差中誤誤差。例如,路線長5km的四等水準測量的精精度：四、坐標計算算的精度4941兩點之間,如果已測定其其水平距離D和方位角α,則可按下式計計算其坐標增增量：對觀測值(自變量)D和α求偏導數(shù),得到函數(shù)式的的全微分：按誤差傳播定定律,將上式轉換為為坐標增量的的中誤差表達達式4942坐標增量的中中誤差:上式右邊根號內內第一項為縱向向誤差,是由距離誤差造造成,第二項為橫向誤誤差,是由角度誤差造造成。由縱橫坐坐標增量誤差或縱橫橫向誤差，形成成兩點間的相對對點位誤差：一、不等精度觀觀測與觀測值的的權4943§5-7加權平均值及其其中誤差同一量的一系列列等精度觀測值值可以取其算術術平均值，而同一量的一系系列不等精度觀觀測值則應取其其加權平均值?！皺唷?P)意為衡量輕重,觀測值的中誤差差(m)小,則權大;反之則權小。定義權與中誤差差的平方成反比比：C為任意常數(shù)。等等于1的權稱為“單位位權”,權等于1的中誤差稱為“單位權中誤差”(mo)。因此,權和中誤差的另另一種表達式為為：4944為了使“權”的的概念簡單明了了，取一次觀測測、一個測回或或單位長度（例例如1k