《最短路徑問題》軸對稱課件

第十三章軸對稱最短路徑問題第十三章軸對稱最短路徑問題1學(xué)習(xí)目標12體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．（重點）能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（難點）學(xué)習(xí)目標12體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思2新課導(dǎo)入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短新課導(dǎo)入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？AB33.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點A關(guān)于直線l的對稱點？AlA′3.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小三角形三邊關(guān)4知識講解1、牧馬人飲馬問題“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.AB①②③PlABCD知識講解1、牧馬人飲馬問題“兩點的所有連線中，線段最5

如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，6問題1

現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.連接AB,與直線l相交于一點C.問題1現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何7問題2

如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？Al利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′.BB′問題2如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該8作法：（1）作點B

關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C作法：ABlB′C9問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖10例1

如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）

A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B例1如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、11

總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關(guān)鍵，而12例2

如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點關(guān)于y軸對稱點B′，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據(jù)點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′EA例2如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，13

總結(jié)：求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.總結(jié)：求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定14

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BA2、造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋15

?BA●●NMNM

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？?BA●●NMNM如圖假定任選位置造橋MN，連接A16我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思考方案：（1）把A平移到岸邊.（2）把B平移到岸邊.（3）把橋平移到和A相連.（4）把橋平移到和B相連.BAＭＮ我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？思17BAＭＮA'B'（1）把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了（2）把B平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了BAＭＮA'B'（1）把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改18BAＭＮ（3）把橋平移到和A相連.（4）把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長度有沒有改變呢？BAＭＮ（3）把橋平移到和A相連.（4）把橋平移到和B相連.19解決問題BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN

轉(zhuǎn)化為AA１＋A１B，而AM１＋M１N１＋BN１

轉(zhuǎn)化為AA１＋A１N１＋BN１.在△A１N１B

中，因為A1N1+BN1＞A1B.因此AM１＋M１N１＋BN１＞AM+MN+BN.解決問題BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連20ABMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,∴A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，故橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.ABMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=E21總結(jié)：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.總結(jié)：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把22隨堂訓(xùn)練1、如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMCPQlMDDPQlMQ隨堂訓(xùn)練1、如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上232、如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（）A．10B．15

C．20D．30A2、如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=1243、如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河10003、如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別254、如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè)護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B4、如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到26解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬27感謝您的閱讀！為了便于學(xué)習(xí)和使用，本文檔下載后內(nèi)容可隨意修改調(diào)整及打印，歡迎下載！

感謝您的閱讀！28課堂小結(jié)原理線段公理和垂線段最短牧馬人飲馬問題解題方法造橋選址問題關(guān)鍵是將固定線段“橋”平移最短路徑問題軸對稱知識+線段公理解題方法課堂小結(jié)原理線段公理和垂線段最短牧馬人飲馬問題解題方法造橋選29《最短路徑問題》軸對稱課件30第十三章軸對稱最短路徑問題第十三章軸對稱最短路徑問題31學(xué)習(xí)目標12體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．（重點）能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（難點）學(xué)習(xí)目標12體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思32新課導(dǎo)入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短新課導(dǎo)入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？AB333.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點A關(guān)于直線l的對稱點？AlA′3.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小三角形三邊關(guān)34知識講解1、牧馬人飲馬問題“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.AB①②③PlABCD知識講解1、牧馬人飲馬問題“兩點的所有連線中，線段最35

如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，36問題1

現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.連接AB,與直線l相交于一點C.問題1現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何37問題2

如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？Al利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′.BB′問題2如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該38作法：（1）作點B

關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C作法：ABlB′C39問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖40例1

如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）

A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B例1如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、41

總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準對稱點是關(guān)鍵，而42例2

如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時點C的坐標是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點關(guān)于y軸對稱點B′，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據(jù)點A與點B′的坐標可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′EA例2如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，43

總結(jié)：求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.總結(jié)：求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定44

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BA2、造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋45

?BA●●NMNM

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？?BA●●NMNM如圖假定任選位置造橋MN，連接A46我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思考方案：（1）把A平移到岸邊.（2）把B平移到岸邊.（3）把橋平移到和A相連.（4）把橋平移到和B相連.BAＭＮ我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？思47BAＭＮA'B'（1）把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了（2）把B平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了BAＭＮA'B'（1）把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改48BAＭＮ（3）把橋平移到和A相連.（4）把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長度有沒有改變呢？BAＭＮ（3）把橋平移到和A相連.（4）把橋平移到和B相連.49解決問題BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN

轉(zhuǎn)化為AA１＋A１B，而AM１＋M１N１＋BN１

轉(zhuǎn)化為AA１＋A１N１＋BN１.在△A１N１B

中，因為A1N1+BN1＞A1B.因此AM１＋M１N１＋BN１＞AM+MN+BN.解決問題BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連50ABMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,∴A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，故橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.ABMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=E51總結(jié)：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.總結(jié)：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把52隨堂訓(xùn)練1、如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMCPQlMDDPQlMQ隨堂