期權定價中的蒙特卡洛模擬方法

..期權定價中的蒙特卡洛模擬方法期權作為最基礎的金融衍生產品之一,為其定價一直是金融工程的重要研究領域,主要使用的定價方法有偏微分方程法、鞅方法和數值方法。而數值方法又包括了二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎是概率論與數理統(tǒng)計,其實質是通過模擬標的資產價格路徑預測期權的平均回報并得到期權價格估計值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢是誤差收斂率不依賴于問題的維數,從而非常適宜為高維期權定價。§1.預備知識◆兩個重要的定理：柯爾莫哥洛夫<Kolmogorov>強大數定律和萊維一林德貝格<Levy-Lindeberg>中心極限定理。大數定律是概率論中用以說明大量隨機現(xiàn)象平均結果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨機變量序列同分布的Kolmogorov強大數定律：設為獨立同分布的隨機變量序列,若則有顯然,若是由同一總體中得到的抽樣,那么由此大數定律可知樣本均值當n很大時以概率1收斂于總體均值。中心極限定理是研究隨機變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的,并由此應用正態(tài)分布的良好性質解決實際問題。設為獨立同分布的隨機變量序列,若則有其等價形式為?！鬊lack-Scholes期權定價模型模型的假設條件：1、標的證券的價格遵循幾何布朗運動其中,標的資產的價格是時間的函數,為標的資產的瞬時期望收益率,為標的資產的波動率,是維納過程。2、證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。3、不考慮交易費用或稅收等交易成本。4、在衍生證券的存續(xù)期內不支付紅利。5、市場上不存在無風險的套利機會。6、無風險利率為一個固定的常數。下面,通過構造標的資產與期權的資產組合并根據無套利定價原理建立期權定價模型。首先,為了得到期權的微分形式,先介紹隨機微積分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：設,是二元可微函數,若隨機過程滿足如下的隨機微分方程則有根據伊藤公式,當標的資產的運動規(guī)律服從假設條件中的幾何布朗運動時,期權的價值的微分形式為現(xiàn)在構造無風險資產組合,即有,經整理后得到這個表達式就是表示期權價格變化的Black-Scholes偏微分方程。它同時適合歐式看漲期權、歐式看跌期權、美式看漲期權和美式看跌期權,只是它們的終值條件和邊界條件不同,其價值也不相同。歐式看漲期權的終邊值條件分別為,通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程,得出歐式看漲期權的的解析解：其中,,,,為期權的執(zhí)行日期,為期權的執(zhí)行價格。歐式看跌期權的終邊值條件分別為,此外,美式看漲期權的終值條件為,美式看跌期權的終值條件為。然而,美式期權的價值沒有解析解,我們一般可通過數值方法〔蒙特卡洛模擬、有限差分法等求得其近似解。◆風險中性期權定價模型如果期權的標的資產價格服從幾何布朗運動即標的資產的瞬時期望收益率取為無風險利率。同理,根據伊藤公式可以得到對數正態(tài)分布的概率密度函數：設,,則的密度函數為根據上述公式,得到標的資產的密度函數如下在風險中性概率測度下,歐式看漲期權定價為：接下來,求解以上風險中性期望。首先,對上式的右邊第一個廣義積分分別作變量替換和,可以得到再對等式的右邊的第二個無窮積分,令,可求得將以上的計算結果代入期望等式中,得到歐式看漲期權的價格公式為：其中,,。可以看出,對于歐式看漲期權的風險中性定價方法的結果與基于資產復制的偏微分方程定價方法的結果是一致的?；陲L險中性的期權定價原理在于：任何資產在風險中性概率測度下,對于持有者來說都是風險偏好中性的,便可用風險中性概率求取期權的期望回報再將其進行無風險折現(xiàn)便是初始時刻的期權價值。蒙特卡洛模擬方法就是一種基于風險中性原理的期權數值定價方法?！?.蒙特卡洛模擬方法及其效率假設所求量是隨機變量的數學期望,那么近似確定的蒙特卡洛方法是對進行n次重復抽樣,產生獨立同分布的隨機變量序列,并計算樣本均值。那么根據Kolmogorov強大數定律有。因此,當n充分大時,可用作為所求量的估計值。由中心極限定理可得到估計的誤差。設隨機變量的方差,對于標準正態(tài)分布的上分位數,有這表明,置信水平對應的漸近置信區(qū)間是。實際上,由此可確定蒙特卡洛方法的概率化誤差邊界,其誤差為,誤差收斂速度是。不難看出,蒙特卡洛方法的誤差是由和決定的。在對同一個進行抽樣的前提下,若想將精度提高一位數字,要么固定,將n增大100倍；要么固定n將減小10倍。若兩個隨機變量的數學期望,,那么無論從或中抽樣均可得到的蒙特卡洛估計值。比較其誤差,設獲得的一個抽樣所需的機時為,那么在時間T內生成的抽樣數,若使,則需使。因而,若要提高蒙特卡羅方法的效率,不能單純考慮增加模擬的次數n或是減小方差,應當在減小方差的同時兼顧抽取一個樣本所耗費的機時,使方差與機時t的乘積盡量的小?！?.蒙特卡洛模擬方法為期權定價的實現(xiàn)步驟期權定價的蒙特卡洛方法的理論依據是風險中性定價原理：在風險中性測度下,期權價格能夠表示為其到期回報的貼現(xiàn)的期望值,即,其中的表示風險中性期望,r為無風險利率,T為期權的到期執(zhí)行時刻,是關于標的資產價格路徑的預期收益。由此可知,計算期權價格即就是計算一個期望值,蒙特卡洛方法便是用于估計期望值,因此可以得到期權定價的蒙特卡洛方法。一般地,期權定價的蒙特卡洛模擬方法包含以下幾步〔以歐式看漲期權為例:<l>在風險中性測度下模擬標的資產的價格路徑將時間區(qū)間分成n個子區(qū)間,標的資產價格過程的離散形式是,<2>計算在這條路徑下期權的到期回報,并根據無風險利率求得回報的貼現(xiàn)<3>重復前兩步,得到大量期權回報貼現(xiàn)值的抽樣樣本<4>求樣本均值,得到期權價格的蒙特卡洛模擬值另外,我們還可以得到蒙特卡洛模擬值與真值的概率化誤差邊界,這也是蒙特卡洛方法為期權定價的優(yōu)勢之一。由于,m條路徑的收益均值為,m條路徑的方差為,則可得95%的置信區(qū)間為。例1：假設無紅利的股票A,初始價格為￥6,價格過程服從幾何布朗運動,年預期收益率為10%,收益率的波動率為每年25%,時間步長為0.01年〔1年為100時間步,給定數據,,以及＝100,用蒙特卡洛方法模擬資產的價格路徑如下：〔1〔2圖〔1蒙特卡洛方法模擬股票A價格路徑,圖〔2蒙特卡洛方法模擬股票B價格路徑。若無紅利的股票B、C、D,其價格均為￥6,股票B的期望收益率為0.1,波動率為0.6；股票C的期望收益率為0.5,波動率為0.25；股票D的期望收益率為0.5,波動率為0.6,分別用蒙特卡洛方法模擬該三種股票在一年內的價格路徑如下：〔3〔4圖〔3蒙特卡洛方法模擬股票C價格路徑,圖〔4蒙特卡洛方法模擬股票D價格路徑。從圖中可以看出,股票C和股票D的價格上升速度較快,而股票B和股票D的價格波動比較大。這是與股票C和股票D價格的期望收益率較高,股票B和股票D價格的波動率較高相對應的。歐式看漲期權,通過Black-Scholes公式計算得的精確值為,蒙特卡洛模擬的價格為,其蒙特卡洛模擬圖如下：〔5上述同樣的條件,路徑由100逐漸增加到1000000條,對應地分別得到的期權價值的模擬值和置信區(qū)間,結果如下表所示：各種路徑下蒙特卡洛方法模擬的95%置信區(qū)間N模擬值置信區(qū)間1004.3146[4.0112,4.6180]5004.2262[4.0962,4.3563]10004.2213[4.1287,4.3139]20004.1633[4.0984,4.2281]50004.1695[4.1280,4.2111]100004.1787[4.1490,4.2083]500004.1960[4.1826,4.2094]1000004.1886[4.1791,4.1980]10000004.1914[4.1884,4.1944]§4.蒙特卡洛模擬方法為我國權證定價權證是一種合同,權證投資者在約定時間內有權按約定價格向發(fā)行人購入或者出售合同規(guī)定的標的證券。權證發(fā)行人可以是標的證券的發(fā)行人或其之外的第三方。權證主要具有價格發(fā)現(xiàn)和風險管理的功能,它是一種有效的風險管理和資源配置工具?，F(xiàn)選取我國認股權證中的五糧YGC1、馬鋼CWB1、伊利CWB1為例,以20XX的價格作為樣本區(qū)間模擬認股權證的價值,并將這些權證的蒙特卡洛模擬價值和由wind數據庫給出的理論值進行比較。本例采用一年期短期利率2.52%作為無風險利率,用這些權證的正股股票價格序列來計算波動率?，F(xiàn)實中用等時間間隔觀測股票價格序列,股票投資的連續(xù)復利收益率,〔,則的樣本標準差。如果用日數據計算波動率,則年度波動率按下式計算：年度波動率＝日波動率*〔每年的交易日數1/2將時間區(qū)間取為2006年12月1日－2006年12月29日,則由蒙特卡洛方法模擬的認股權證價格與Black-Scholes模型的精確值和市場價格比較的結果如下：蒙特卡洛方法對五糧YGC1認股權證的模擬〔日期實際值蒙特卡洛模擬值理論值日期實際值蒙特卡洛模擬值理論值12-110.16410.0669.82112-1812.10013.52413.35112-410.12010.35710.12112-1912.08013.57413.40112-59.88010.63010.40112-2012.21013.77113.60112-69.39510.38610.15112-2111.90013.37613.20112-79.1479.9989.75112-2211.42012.68712.50112-89.0509.7859.53112-2512.03813.74213.57112-119.8509.2258.95112-2611.97813.40613.23112-129.82510.60010.37112-2713.00114.36414.20112-139.76610.26010.02112-2813.05014.61214.45112-1410.58911.33211.12112-2914.50016.19816.05112-1510.84912.02811.831－－－－蒙特卡洛方法對馬鋼CWB1認股權證的模擬〔日期實際值蒙特卡洛模擬值理論值日期實際值蒙特卡洛模擬值理論值12-11.1431.2440.56912-181.7751.7091.05212-41.2091.1880.51712-191.8031.7091.05212-51.2411.2230.54912-201.7301.7561.10312-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.05212-71.6331.4160.74312-221.7001.5420.77812-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.84812-111.9191.4160.74312-261.8351.5201.05212-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.05212-131.7941.7481.09412-281.6441.8111.16312-141.7941.6330.96912-291.7081.7481.09412-151.8301.6330.969－－－－蒙特卡洛方法對伊利CWB1認股權證的模擬〔日期實際值蒙特卡洛模擬值理論值日期實際值蒙特卡洛模擬值理論值12-113.32413.53312.62912-1814.76014.81813.98812-413.25013.94713.06912-1915.47915.54114.74812-513.29613.95713.07912-2015.48716.63015.88812-612.91113.95713.07912-2115.59416.44915.69812-712.85313.28812.36912-2215.16816.57315.82812-812.73412.76311.80912-2516.61615.81715.03812-1112.92012.57611.60912-2616.61917.75417.05812-1214.05912.94111.99912-2717.67317.87917.18812-1313.52814.10813.23912-2817.67319.72619.09812-1414.28113.81512.92912-2917.67319.72619.09812-1514.34914.61913.778－－－－從表可看出,由蒙特卡洛方法模擬的認購權證價格的模擬值比由Black-Scholes公式計算的理論值更接近實際值。為了更直觀的比較,由蒙特卡洛方法模擬的認股權證價格與Black-Scholes模型的精確值和市場價格比較的結果如下圖。其中SJ代表實際值,MC代表蒙特卡洛方法求得的模擬值,BS代表由Black-Scholes公式計算出的理論值。五糧YGC1價格模擬比較圖馬鋼CWB1價格模擬比較圖伊利CWB1價格模擬比較圖從圖中明顯看出,五糧YGC1和伊利CWB1的模擬結果比較好,蒙特卡洛模擬值和Black-Scholes模型的理論值均與實際值吻合；而馬鋼CWB1的實證結果不理想,但是三種結果的走勢圖有共同的趨勢。從比較分析中發(fā)現(xiàn)蒙特卡洛方法模擬的價格比Black-Scholes模型更接近實際價格。對于這些認股權證價格的模擬結果的好壞,受諸多因素影響,主要與選取的波動率和中國權證市場的發(fā)展特點有關等等?！綦[含波動率及其數值計算方法隱含波動率是一個在市場上無法觀察到的波動率,是通過Black-Scholes期權定價公式計算出來的波動率。由于我們無法給出它的解析解,因此,只能借助于數值計算給出近似解。下面介紹牛頓迭代法計算隱含波動率。牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數域上近似求解方程根的方法。步驟1.將函數在點附近展開成泰勒級數步驟2.取泰勒級數的前兩項作為假設,求解方程,并令其解為,得,這樣得到迭代公式,經過n次迭代后,可以求出的近似解。根據牛頓迭代法,隱含波動率的計算步驟如下：1.假設其他變量保持不變,認為函數是隱含波動率的一元函數,其中的是市場上觀察到的期權價格。2.求函數的導數3.由迭代公式計算波動率,直至〔是期望達到的精度。此外,為了計算隱含波動率,經濟學家和理財專家曾做過種種努力試圖尋找一個計算波動率的公式。如Brenner和Subrahmanyam于1988年,Chance于1993年分別提出計算隱含波動率的公式,雖然這些公式對于持有平價期權的波動率的計算還算準確,但是基礎資產的價格一旦偏離期權的執(zhí)行價格的現(xiàn)值,其準確性就會喪失。1996年,Corrado和Miller在前人研究的基礎上建立了如下公式,大大提高了隱含波動率的計算的準確性：§5.服從跳擴散過程的無形資產期權定價問題及其蒙特卡洛模擬分析◆服從跳擴散過程的期權定價方法正常的波動用幾何布朗運動<Brown>來描述—由供需不平衡、利率變動或整個經濟的波動等因素引起的。不正常的波動用泊松過程<Poisson>來描述—由未預料到的重要信息的出現(xiàn)引起的。這些信息在不連續(xù)的時間點出現(xiàn),而且出現(xiàn)的時間點不確定,是否會出現(xiàn)也不確定。帶跳躍項的伊藤Ito公式：設,是二元可微函數,若隨機過程服從隨機微分方程其中,是標準維納過程,表示不可預測的跳躍,且。則帶跳躍項的伊藤Ito公式為其中,。上式是對跳躍項作如下假定得出的：1、在兩個跳躍之間保持不變,而在跳躍時間是離散和隨機的；2、有種跳躍類型,跳躍尺度為,跳躍尺度為的概率為,跳躍的發(fā)生強度依賴于的最終觀測值,跳躍類型和尺度都是獨立隨機的。則在時間區(qū)間內,增量為這里表示的是至時間發(fā)生的跳躍大小的總和,表示跳躍發(fā)生的概率,為跳躍的期望值,則是不可預測的。漂移參數可看作兩個漂移的和這里表示中連續(xù)運動的維納過程部分,第二項為純跳躍部分。將Poisson過程引入到期權定價模型中,得到標的資產價格價格的跳擴散方程如下其中,,標的資產價格的變化比率為,,且與相互獨立。令,根據帶跳躍項的伊藤公式可得其微分形式為整理上式,得到標的資產價格公式為在標的資產價格遵循跳擴散過程的假設下,根據上述帶跳伊藤公式可得期權價值的微分形式如下構造期權與標的資產的無套利資產組合,其微分形式為則該無套利資產組合微分形式的期望如下式由于資產組合為無風險組合,因此有如下等式成立兩式聯(lián)立并化簡得到標的資產價格遵從跳擴散過程的定價公式如下：若沒有發(fā)生跳躍事件,則,將其代入上式所得結果與Black-Scholes微分方程完全一致。當期權分別為歐式看漲、歐式看跌、美式看漲和美式看跌期權時,其邊界條件和終值條件與本章第一節(jié)的終邊值條件相同。Merton假設標的資產價格跳躍高度服從,從而推導出歐式看漲期權的定價公式為：其中,,。另外,Harworth假設跳躍高度服從對數正態(tài)分布,則歐式看漲期權的解析解為其中,,,。例2.標的資產價格遵從跳擴散過程如下用蒙特卡洛模擬的資產價格路徑如下圖所示：◆無形資產——專利池的期權定價模問題專利池的市場價值V依賴于企業(yè)使用專利池技術前后生產產品所獲得的收益S和成本C及時間t,這三個變量均可用跳擴散模型：通過構造由V和它所依賴的兩個變量S、C組成的資產組合,利用帶跳的伊藤引理獲得V與S、C所遵循的帶跳的隨機微分方程,并根據實際情況在一些假設條件下給出該方程的終邊值條件,最終獲得V的求解公式。構造無風險資產組合一方面的微分的期望為：另一方面,新產品發(fā)明專利池的市場價值V所遵循的方程為期權的價格公式：20世紀90年代初,由高分子工程材料的某高校、研究所、設計院和高新技術企業(yè)等經過兩年的開發(fā)研究,研制出新型建材——鋁塑復合管全套生產工藝,該技術已獲多項國家發(fā)明專利,且己具備成套設備生產供應能力。當時,該技術在國內只此一項,屬新產品發(fā)明專利池技術。且其專利技術使用壽命長達50年以上,受專利保護20年。但該技術在國外存在多家供方,不同供方在核心技術內容、原理、流程上基本一致,同時也不排除在一段時間后出現(xiàn)其他更好技術的可能性,一方面時間越長,這種可能性越大。另一方面該技術使用壽命越長,這種可能性越小<l=l<t>>。并且,其他同類技術的出現(xiàn)使該專利池技術的收益下降,下降幅度為LnY。因為設備的經濟使用壽命是20年,根據市場需求,計劃建成一條年生產100噸的生產線,其20年的成本,包括設備的直接制造成本和運營期間的管理費、工資等。若在期初計劃投資1000萬,以后20年每年的生產量不變,生產成本按每年的通貨脹率10%遞增。假設在初期預計該項技術20年總收益為4000萬,其收益率為25%,方差為20%。新產品發(fā)明專利池的市場價值V=8050●在一次付清許可費用情況下的價格模型：新產品發(fā)明專利池的價格P所遵循的方程為：在一次付清許可費用情況下的新產品發(fā)明專利池的價格為：在一次付清許可費用情況下新產品發(fā)明專利池的價格P=5450。●在首付加每期按收益固定比率支付許可費用情況下的價格模型新產品發(fā)明專利池技術產生的收益S遵循模型引進新產品發(fā)明專利池技術后的成本C遵循模型構造無風險資產組合一方面的微分的期望為新產品發(fā)明專利池的價格P所遵循的方程為：另一方面,的微分及其期望為:新產品發(fā)明專利池的價格P所遵循的方程為：期權的價格公式：在首付加每期按收益固定比率支付許可費用情況下新產品發(fā)明專利池的價格P=855。§6.最小二乘蒙特卡洛模擬與美式期權定價運用最小二乘蒙特卡洛模擬方法為美式期權定價的基本原理與蒙特卡洛模擬方法基本相同,并且用最小二乘回歸同時還可解決各樣本時點上繼續(xù)持有期權價值的確定和各樣本路徑的最優(yōu)停時的確定。其基本思路是：在期權的有效期內,將其標的資產價格過程離散化,隨機模擬出標的資產價格的多條樣本路徑,從而得到每個時刻資產價格的截面數據。選取以某時刻資產價格為變量的一組基函數作為解釋變量,下一時刻期權價值的貼現(xiàn)值作為被解釋變量,進行最小二乘法回歸求得該時刻期權的持有價值,并與該時刻期權的內在價值作比較,若后者較大,則應該立即執(zhí)行期權,否則,就應繼續(xù)持有期權。最小二乘蒙特卡洛模擬方法定價的基本實現(xiàn)步驟：首先,隨機生成標的資產價格的多條樣本路徑；然后,從到期時刻逆向求解,比較期權的內在價值與持有價值,確定出各時刻期權價值和每條樣本路徑的最優(yōu)停時；最后,將所有樣本的的期權價值求取按無風險利率貼現(xiàn)的算數平均值便是模擬的期權價值。下面,我們運用最小二乘蒙特卡洛模擬方法對單個標的資產的美式看跌期權進行定價,其算法實現(xiàn)步驟如下：第一步：隨機生成標的資產價格過程的多條樣本路徑現(xiàn)設一單個標的資產美式看跌期權的持有到期日為,期權的執(zhí)行時刻為,,標的資產價格為,期權的執(zhí)行價格為。在風險中性條件下,該期權的初始時刻價值為：其中,為標的資產價格的路徑,是在最優(yōu)執(zhí)行時刻的期權價值。上式定義的便是將要運用最小二乘蒙特卡洛方法進行模擬的期權價值。將期權的存續(xù)區(qū)間均分為個子區(qū)間,則每個子區(qū)間的長度為,標的資產價格過程的離散形式：其中,,隨機變量服從標準正態(tài)分布。因此,利用生成隨機數模擬得到標的資產價格的一條樣本路徑,重復執(zhí)行次模擬,我們可得到資產價格的總樣本。第二步：計算各個樣本的最優(yōu)停時及各時刻的期權價值對于美式看跌期權,在期權的有效時刻,樣本路徑上的內在價值為,持有價值為。由于美式期權在有效期的任何時候都可行權,所以必須比較該時刻期權的內在價值與持有價值的大小,以確定該時刻的期權價值以及是否執(zhí)行期權,即由期權的持有價值表達式可知它依賴于下一步期權決策的價值,需通過逆向求解這個期望價值,這正是普通的蒙特卡洛模擬法為美式期權定價的難點所在。最小二乘蒙特卡洛模擬方法通過建立一個當前時刻標的資產價格與下一時刻期權價值貼現(xiàn)值的線性回歸計量模型：上述模型以所有樣本路徑在時刻的價格和作為解釋變量,對應的下一時刻期權價值的現(xiàn)值作為被解釋變量。采用普通最小二乘法進行回歸,求得回歸系數的估計值和樣本回歸方程；再將各個資產價格樣本代入到回歸方程分別可以得到其期權的持有價值估計值,根據計量經濟學的理論,這個估計值就是在標的資產價格下的期權持有價值的無偏估計值。另外,本例中選取基函數作為解釋變量,根據實際情況中也可以選取其他形式的基函數：。作為解釋變量。現(xiàn)在,我們從到期日開始倒推計算求解每條樣本路徑上的最優(yōu)停時和每個樣本點的期權價值。在到期日,執(zhí)行看跌期權的價值為。接著,判斷在時刻是否行權。若期權處于實值狀態(tài),即,則與繼續(xù)持有期權的價值相比較,若內在價值大于持有價值,則應立即執(zhí)行期權；否則,繼續(xù)持有期權?？紤]在該時刻期權處于實值的樣本子集,近似期權持有價值的回歸方程為：其中,,是時刻所有期權處于實值狀態(tài)的標的資產價格樣本集。在時刻的資產價格信息下,比較內在價值與繼續(xù)持有期權的價值就可做出是否執(zhí)行期權的決策。同理,我們可倒推繼續(xù)求得時刻的期權持有價值。對于每條樣本路徑,期權或是在最優(yōu)停時執(zhí)行,或是永不執(zhí)行。具體設計程序時,令初值,在時刻,如果繼續(xù)持有期權,則不變；如果執(zhí)行期權,則,依此類推。每個樣本上就只有一個最優(yōu)停時,每次更新,最后便求得每條樣本路徑上的最優(yōu)停時。第三步：對各條樣本路徑上的期權價值按無風險利率貼現(xiàn)并求其均值經過次模擬后,得到條標的資產價格的樣本路徑,以及每條樣本路徑上的最優(yōu)停時和在該時刻的期權價值：由于每條樣本路徑上的最優(yōu)執(zhí)行時間不同,期權價值的貼現(xiàn)因子也不同,所以應分別進行貼現(xiàn)求均值,最終得到初始時刻期權價值的最小二乘蒙特卡洛模擬值：例3：已知股票價格為50,美式看跌期權執(zhí)行價為50到期日為5個月,股票年收益率的標準差為0.4,無風險利率為10%,用最小二乘蒙特卡洛模擬其價格。編制最小二乘蒙特卡洛模擬的MATLAB程序如下：functionprice=AmericanOptLSM<S0,K,r,T,sigma,N,M>dt=T/N;R=exp<<r-sigma^2/2>*dt+sigma*sqrt<dt>*randn<N,M>>;S=cumprod<[S0*ones<1,M>;R]>;ExTime=N*ones<M,1>;CF=zeros<size<S>>;CF<end,:>=max<K-S<end,:>,0>;forii=N:-1:2Idx=find<S<ii,:><K>;X=S<ii,Idx>';X1=X/S0;Y=CF<ii+1,Idx>'*exp<-r*dt>;R=[ones<size<X1>><1-X1>1/2*<2-4*X1+X1.^2>];a=R\Y;C=R*a;Jdx=max<K-X,0>>C;nIdx=setdiff<<1:M>,Idx<Jdx>>;CF<ii,Idx<Jdx>>=max<K-X<Jdx>',0>;ExTime<Idx<Jdx>>=ii;CF<ii,nIdx>=exp<-r*dt>*CF<ii+1,nIdx>;endPrice=mean<CF<2,:>>*exp<-r*dt>%%%%%繪制標的股票價格模擬圖%%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean<S'>;subplot<2,1,1>plot<x1,y1>subplot<2,1,2>plot<x1,y2>xlabel<'期權存續(xù)期間'>ylabel<'股價的模擬路徑'>%%%%%繪制期權價值模擬圖%%%%%figure;x2=[1:N];y3=CF<2:end,:>';fori=1:My4<i>=y3<i,ExTime<i>>;endplot<x2,y3,ExTime,y4,'*'>xlabel<'期權的最優(yōu)停止時間'>ylabel<'期權價值的模擬路徑'>模擬的美式看跌期權的價格路徑如下圖所示：模擬的期權價值路徑及其最優(yōu)停時如下圖：本例中的美式看跌期權價格為：price=AmericanOptLSM<50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000>Price=4.2654§7.改進蒙特卡洛方法計算效率的常用幾種方差減少技術方差減少技術的共性是利用模型特點,調整或修正模擬的輸出變量,從而降低估計值的方差。在采用方差減少技術時,要具體問題具體分析,針對不同期權類型的特點應用相關的方差減少技術,從而取得效率的最大改進?！魧ε甲兞?lt;Antitheticvariates>技術對偶變量技術是最簡單和最常用的方差減少技術。以標準歐式看漲期權為例,其標準蒙特卡洛估計值為標的股票的股價終值抽樣為由概率論的知識可知也是標準正態(tài)分布中相互獨立的抽樣值,那么用代替得到的也是股票價格終值的抽樣,從而由的平均值也能得到期權價格的無偏估計量。因此,由對偶變量技術得到的期權價格蒙特卡洛估計值為。對偶變量技術的有效性：由于,所以；并且,令,對于標準歐式看漲期權,是單調遞增函數。由不等式,可知,從而,對偶變量技術有效。顯然,標準歐式看跌期權和亞式期權對應的必也是單調函數,所以對偶變量技術對這兩種期權也適用,而障礙期權和回望期權則反之。對偶變量技術置信區(qū)間的估計：由于并不獨立,而才是獨立同分布的抽樣,故采用n個而非2n個來計算樣本標準差。以上對偶變量技術采用的輸入變量Z服從標準正態(tài)分布,實際上使用更廣泛的輸入變量是隨機數。顯然,與具有相同分布且兩者負相關,從而只要輸入變量與輸出變量存在單調關系,對應的輸出變量與對應的輸出變量也存在負相關關系,對偶變量技術有效?！艨刂谱兞?lt;Controlvariates>技術一元控制變量：若是期權到期回報貼現(xiàn)的n次獨立模擬值,那么期權價格的蒙特卡羅估計值是。假設得到的同時能得到另一個輸出變量且己知,獨立同分布,則對于確定的數b有期權價格的控制變量估計值即為所謂的"控制"是指。由下式可知控制變量估計值是無偏估計量。若令,則有對上式關于b求導數,解得能夠使最小化的b值應為。因此,。由此可見,只要X與Y的相關性越強,那么控制變量估計的方差減少越顯著,所以控制變量技術的關鍵是選擇與Y關系密切且期望值已知的控制變量。另外,由于計算的兩個量和未知,故實踐中采用的是的估計值。多元控制變量：控制變量技術也可以推廣到多元情形,假設得到的同時能得到d維向量并且已知,獨立同分布,的協(xié)方差矩陣為是矩陣,是矩陣,且是非奇異矩陣。則對于確定的向量b有。多元控制變量估計值為。由于經過推導可知最優(yōu)控制系數向量,相應的最小化方差為,其中。下面介紹在一種特殊情形下的推導過程：若多元控制變量之間彼此獨立,即,則有由多元函數的極值理論,可解得使最小化的向量的第i個分量應為將代入可得。關于偏差的討論：由于未知,實踐中采用的是其估計值,由與的相關性,可知控制變量估計值將是有偏的,并且也將是有偏的。解決如上問題的方法有兩個：一是增加模擬的次數,當n增大時,偏差的響將會變?。涣硪粋€方法是將模擬分為兩個部分,先用次模擬得到結果生成,再用次模擬的結果計算,這樣得到的估計值將是無偏。不過,現(xiàn)實情形下,的偏差并不大,從而采用復雜的分步運算獲取無偏估的作法并不吸引人?？刂谱兞康念愋停浩跈喽▋r中常采用的三種控制變量有標的資產價格、定價已解決的期權以及為模擬標的資產價格所需的正態(tài)隨機變量。〔1標的資產價格在期權定價的蒙特卡羅模擬中,標的資產價格是來源最廣的一類控制變量。在風險中性測度下,假設無風險利率為常數r,資產價格的貼現(xiàn)為鞅,即。而待定價的期權價格是標的資產價格的函數,兩者具有相關性,因此可以采用標的資產價格<或其貼現(xiàn)>作為控制變量。若待定價的是標準歐式看漲期權,,那么將作為控制變量,相應的控制變量估計值為實驗證明,當K=0時,控制變量與Y的相關性最強,從而方差減少效果顯著,而當K很大時情況相反。若待定價的是亞式期權,,N為一年中交易的總天數,那么可將作為控制變量,由于相應的控制變量估計值為〔2定價己解決的期權如果兩種期權的回報函數具有相似性,并且其中一種期權的定價公式已知,那么可將此期權作為控制變量為另一種期權定價。最著名的例子是Kemna和Vorst使用幾何平均亞式期權作為控制變量為算術平均亞式期權定價,顯然這兩種期權的回報具有很強的相關性,從而方差減少效果顯著。再比如仍是對算術平均資產價亞式期權定價,由于與其具有相同到期日與敲定價格的標準歐式看漲期權的價格可以由B-S公式得到,故可將作為控制變量。〔3正態(tài)隨機變量模擬標的資產價格路徑要用到正態(tài)隨機變量,因此可考慮將正態(tài)隨機變量<或其線性組合>作為控制變量。比如為算術平均執(zhí)行價亞式期權定價,模擬的過程需要獨立的、均值為、方差為的正態(tài)隨機變量,從而將作為多元控制變量可得相應的控制變量估計值為。◆矩匹配<MomentMatching>技術為了模擬標的資產樣本路徑需要從正態(tài)分布中抽樣,考慮最簡單的情形,標準歐式看漲股票期權的蒙特卡洛估計值需要m個獨立且服從標準正態(tài)分布的抽樣。由于的樣本矩不一定與總體矩匹配,故而矩匹配技術的思想就是對這些樣本進行調整,使其一階矩、二階矩乃至高階矩與總體矩匹配,再利用調整后的樣本得到蒙特卡洛估計值。定義是樣本均值,通過如下調整可達到一階矩匹配,,由生成的股票價格終值為,從而期權到期回報貼現(xiàn)的一次模擬值為,利用矩匹配技術得到的蒙特卡洛估計量為。和對偶變量技術一樣,應用矩匹配技術會給置信區(qū)間的估計帶來變化,因為并不獨立,導致也不獨立,所以不能直接應用中心極限定理估計誤差。一個解決方案是將抽樣分隔為不同批次,對每個批次分別應用矩匹配技術得到彼此獨立的期權價格估計,再將批均值作為蒙特卡羅估計值,由批方差得到誤差估計。例如可采用10000個相互獨立的批次,每個批次對100個標準正態(tài)分布抽樣應用矩匹配技術,即總共采用100萬個標準正態(tài)分布抽樣。如果定義為樣本標準,通過如下的調整可達到前兩階矩匹配：。需注意由上式得到的不再服從標準正態(tài)分布,故相應的將是期權價格的有偏估計。這個偏差在極端情況下可能會很大,由此致的復雜性使得矩匹配技術的效率改進沒有一個通用的量化標準。如果待匹配的抽樣其總體均值,總體方差,作如下變換可分別達到一階矩匹配和前兩階矩匹配：其中與的定義同上。仍以標準歐式看漲股票期權為例,若股價服從風險中性的幾何布朗運動,則股價終值的均值與方差已知,故可采用上式對運用矩匹配技術?！舴謱映闃?lt;StratifiedSampling>技術分層抽樣技術使樣本的經驗概率與理論概率相一致,其本質是為了使輸入變量分布得更為均勻,這一點與對偶變量技術相同。考慮簡單情形下分層樣本的獲取。在計算標準歐式看漲期權的價格時,需要標準正態(tài)分布中m個相互獨立的抽樣,其經驗分布不會完全與總體分布相吻合,尤其是尾部表現(xiàn)可能較差。通過下述分層抽樣方法可以對樣本的經驗分布加以改進。是在[0,1]上均勻分布的隨機數,以的長度對區(qū)間進行分層,可以得到n個分層區(qū)間段,令。顯然,落在第j層上,從而落在標準正態(tài)分布的上分位數與上分位數之間,故由可得標準正態(tài)分布的一個分層抽樣。需要注意的是的高度相關性使得標準誤差的估計復雜化,為此用批處理的方法對其進行估計,具體過程同上一節(jié)介紹。在高維情形下,采用拉