人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè) 3.2《雙曲線》教學(xué)分析

8/8《雙曲線》教學(xué)分析一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：雙曲線的幾何特征，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡單幾何性質(zhì).難點(diǎn)：雙曲線的形成及其漸近線的發(fā)現(xiàn).三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議本節(jié)主要內(nèi)容是雙曲線的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡單幾何性質(zhì).雙曲線的研究是完全類比橢圓的研究方法進(jìn)行的，教學(xué)時(shí)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)通過類比學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容.3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.類比橢圓的概念提出雙曲線的問題研究了橢圓之后，一個(gè)自然的問題是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？它揭示了橢圓與雙曲線在概念內(nèi)涵屬性上的異同，相同的是它們都是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離具有某種確定關(guān)系的點(diǎn)的軌跡，而且這種確定關(guān)系是通過代數(shù)運(yùn)算得到的；不同的是所用的運(yùn)算方法.2.運(yùn)用信息技術(shù)探索雙曲線的幾何特征問題提出后，教科書通過“探究”，創(chuàng)設(shè)情境并運(yùn)用信息技術(shù)探索雙曲線的圖形特征，進(jìn)而抽象出雙曲線的概念.實(shí)際上,這是一個(gè)將橢圓與雙曲線的定義統(tǒng)一在一起的幾何情何.情境中直線上的定長線段就是橢圓、雙曲線的一個(gè)幾何要素,兩個(gè)定點(diǎn)是它們的另一個(gè)幾何要素,直線上的動(dòng)點(diǎn)與線段的位?關(guān)系的變化決定了軌跡的形狀.當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),如果,那么兩圓相交,其交點(diǎn)的軌?是橢圓；如果,那么兩圓不相交,不存在交點(diǎn)軌跡.在的條件下,一個(gè)自然的問題是:點(diǎn)在線段外運(yùn)動(dòng),兩圓是否相交?如果相交,交點(diǎn)的軌跡是什么形狀?為此,運(yùn)用信息技術(shù)工具，可以讓學(xué)生看到兩圓相交,而且交點(diǎn)的軌跡是不同于橢圓的曲線,它分左右兩支,而且是不封閉的曲線，這樣,教科書在直觀呈現(xiàn)雙曲線幾何特征的基礎(chǔ)上，水到渠成地抽象出雙曲線的概念.教科書是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題的,從“距離之和”到“距離之差”非常自然,但要象出雙曲線,卻需要很高水平的想象力.這時(shí),發(fā)揮信息技術(shù)的作用是必須的.教學(xué)時(shí),要用好教科書的這個(gè)情境,給學(xué)生充分的幾何直觀的同時(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)橢圓、雙曲線之間的聯(lián)系與差異,提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.在利用信息技術(shù)探索雙曲線的圖形特征時(shí),需要把幾何條件轉(zhuǎn)變?yōu)樾畔⒓夹g(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)的方式,這種方式需要根據(jù)幾何要素進(jìn)行構(gòu)造.這個(gè)過程體現(xiàn)了幾何條件的轉(zhuǎn)化.對(duì)于培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)都有幫助.3.雙曲線定義中的“非?常數(shù)”對(duì)于雙曲線定義中的“非零常數(shù)(小于)”,學(xué)生容易忽略“非零”.教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差等于零的點(diǎn)的軌跡是什么?進(jìn)而討論平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值不小于的點(diǎn)的軌跡.通過這兩個(gè)問題的討論,可以加深學(xué)生對(duì)雙曲線定義的認(rèn)識(shí).4.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程教科書通過類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的研究過程與方法,建立雙曲線的方程.教學(xué)中要在對(duì)比橢圓、雙曲線定義的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生自主推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;并對(duì)橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較,分析它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),發(fā)是不同點(diǎn)以及不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系觀察發(fā)現(xiàn)雙曲線具有對(duì)稱性,與求橢圓方程的建系過程完全類似,建立以點(diǎn)和所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸的平面直角坐標(biāo)系.教學(xué)中應(yīng)再次強(qiáng)調(diào),把握所研究的幾何對(duì)象的基本特征（如對(duì)稱性、特殊的點(diǎn)等),對(duì)于合理建立坐標(biāo)系、簡化代數(shù)運(yùn)算、得出特征明顯的代數(shù)方程等都是非常重要的.（2）寫出曲線上的點(diǎn)所滿足條件的集合求曲線方程的實(shí)質(zhì)是要找到曲線上的點(diǎn)所滿足的條件.一般情況下,可以由確定曲線的幾何條件得到.根據(jù)雙曲線的定義,雙曲線上的點(diǎn)滿足條件的集合是,.教學(xué)中可以讓學(xué)生類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程,認(rèn)識(shí)把與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值設(shè)為,可以為運(yùn)算帶來方便，并且使標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式簡潔.教學(xué)時(shí)還應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)它的幾何意義,以及它與橢圓長軸長的區(qū)別.（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件的集合寫出方程將中的等式解析化,也就是用坐標(biāo)表示集合中的等式,得到關(guān)于的方程,記為.教學(xué)中應(yīng)指明,坐標(biāo)法的基礎(chǔ)是建立平面直角坐標(biāo)系,然后由集合得到方程,把幾何條件代數(shù)化,從而獲得方程.（4）化簡方程為用方程研究曲線的性質(zhì),需要化簡方程.教科書將等價(jià)變形為,然后類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡過程,得到.教學(xué)中要通過讓學(xué)生自主解決教科書邊空中的問題:你能在軸上找一點(diǎn),使得嗎?使學(xué)生認(rèn)識(shí)的幾何意義,并要與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比,認(rèn)識(shí)雙曲線中的與?圓中的之間的差異.（5）“雙曲線的方程”與“方程的雙曲線"與前面的學(xué)習(xí)一樣，在推導(dǎo)出方程后，教科書結(jié)合化簡過程,對(duì)雙曲線與方程之間的關(guān)系進(jìn)行了討論.教學(xué)時(shí)應(yīng)通過問題,讓學(xué)生再一次體會(huì)這種討論的必要性.（6）焦點(diǎn)在軸、y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的比較得到焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后,應(yīng)讓學(xué)生按教科書中的“思考”,回答焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么.當(dāng)學(xué)生類比焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,回答后,可通過如下兩個(gè)方面對(duì)進(jìn)行比較:一是兩個(gè)焦點(diǎn)的位置（在軸上還是在軸上）與負(fù)號(hào)的位置,二是方程中與的對(duì)應(yīng)位置,要使他們認(rèn)識(shí)到:若項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù),則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上;若項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù),則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.對(duì)于雙曲線,要強(qiáng)調(diào)不一定大于,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.5.橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的比較獲得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師可指導(dǎo)學(xué)生將橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程列表進(jìn)行對(duì)比，以弄清它們的區(qū)別與聯(lián)系.6.例1、例2的教學(xué)本小節(jié)安排了兩個(gè)例題.安排例1的目的是熟悉雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，明確確定雙曲線的幾何要素，并會(huì)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中需要識(shí)別，熟練應(yīng)用解決雙曲線的相關(guān)問題.例2是雙曲線的實(shí)際應(yīng)用，它可以使學(xué)生在例1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步熟悉雙曲線的定義，把握實(shí)際問題解決的過程.教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生在分析與解答中再次體會(huì)依據(jù)不同條件求曲線方程的方法.教科書在這道例題之后給出了利用雙曲線進(jìn)行點(diǎn)的定位問題的一般性論述，教學(xué)時(shí)可以考慮設(shè)計(jì)一個(gè)具體問題，讓學(xué)生在課堂解決或作為作業(yè).7.關(guān)于第121頁的“探究”這個(gè)“探究”與“橢圓”中的例3相呼應(yīng)，那時(shí)斜率之積是一個(gè)負(fù)的常數(shù)，此時(shí)斜率之積是正的常數(shù).“探究”結(jié)論的一般化表述是：如果動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)所連直線的斜率之積是一個(gè)正數(shù),那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.3.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1.如何研究雙曲線的幾何性質(zhì)教科書給出的“思考”提出了類比橢圓幾何性質(zhì)的研究方法,對(duì)雙曲線,）的幾何性質(zhì)進(jìn)行研究.教學(xué)中,要讓學(xué)生通過類比,提出可以研究雙曲線的哪些性質(zhì),構(gòu)建研究路徑,給出研究方法并自主探究得出結(jié)論.當(dāng)然,對(duì)于雙曲線的漸近線問題,教師要加強(qiáng)引導(dǎo).2.雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)類比橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)的研究，通過方程研究雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn).（1）范圍觀是雙曲線,可以直觀發(fā)現(xiàn)雙曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是或,縱坐標(biāo)的范圍是.這是“形”的角度，接著從“數(shù)”的角度予以確認(rèn).根據(jù)方程,得到,從而,或.由的范圍，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線不是封閉的曲線.對(duì)于雙曲線的范圍,教學(xué)時(shí)要講清兩點(diǎn),一是只有當(dāng)時(shí),方程(1)中的才有與之對(duì)應(yīng)的值;二是對(duì)任意實(shí)數(shù),方程中都有的值與之對(duì)應(yīng),且滿足.由上可知,位于兩條直線與之內(nèi)的區(qū)域沒有雙曲線上的點(diǎn),所以,雙曲線位于直線及其左側(cè),以及直線及其右側(cè)的區(qū)域,并且兩支都向外無限延伸.（2）對(duì)稱性觀察雙曲線,從圖形直觀上可以發(fā)現(xiàn)雙曲線既關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.教學(xué)時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生根據(jù)方程回答為什么雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都對(duì)稱.此時(shí),可以完全類比?圓對(duì)稱性的研究過程:用代代分別代,方程的形式不變,從而說明雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱.（3）頂點(diǎn)觀察雙曲線,從圖形直觀上可以發(fā)現(xiàn)雙曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和,與軸沒有公共點(diǎn).這與橢圓不同.教學(xué)時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生根據(jù)方程說明雙曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn),與軸沒有公共點(diǎn).對(duì)于教科書為什么把兩點(diǎn)畫在軸上,并把線段稱為雙曲線的虛軸,學(xué)生會(huì)有疑問.教學(xué)時(shí)可以通過教科書之前安排的邊空問題“你能在軸上找一點(diǎn),使得嗎?"啟發(fā)學(xué)生，線段有明顯的幾何意義,即是直角三角形,且,并且在緊接著的漸近線的研究中就要用到它.3.漸近線對(duì)圓雙曲線來說,漸近線是雙曲線特有的性質(zhì).利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便,只要作出雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩條漸近線,就能較為精確地畫出它的圖形.在學(xué)習(xí)雙曲線的漸近線前,教科書設(shè)置了一個(gè)“探究",要求在雙曲線位于第一象限的曲線上畫一點(diǎn),測量點(diǎn)的橫坐標(biāo)及它到直線的距離,向右拖動(dòng)點(diǎn)，觀察與的大小關(guān)系,你發(fā)現(xiàn)了什么?這個(gè)“探究”目的在于讓學(xué)生通過操作，直觀感受,在向右拖動(dòng)點(diǎn)時(shí)(無限)增大),逐漸減小，（無限）趨向于零.教科書指出：可以看到,雙曲線的各支向外延伸時(shí),與兩條直線逐新接近,我們把這兩條直線叫做雙曲線的新近線.也就是說,雙曲線與它的漸近線無限接近,但永不相交.這里沒有給出雙曲線的新近線嚴(yán)格定義,只是一種描述.對(duì)于“無限接近”也只能是直觀感受,操作確認(rèn).教科書在本節(jié)末的“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中,解釋了為什么是雙曲線的漸近線.供學(xué)生閱讀參考,以便完善對(duì)雙曲線漸近線的正確認(rèn)識(shí).4.離心率首先，教科書給出“思考”,要求學(xué)生探索雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的什么幾何特征.雙曲線的離心率同樣用表示.在橢圓中,;而在雙曲線中,.類比橢圓的離心率,我們猜想雙曲線的離心率刻畫的也是某種“扁平程度".由可知,當(dāng)逐新增大時(shí)，逐漸增大,即雙曲線的新近線的斜率逐漸增大,此時(shí)雙曲線的“張口”逐新增大,反之也成立.此時(shí)的“扁平程度”描述的是雙曲線的“張口大小”.因此,雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小.由上可知,兩者均能刻畫雙曲線的“張口”大小,從三角函數(shù)的角度看,,其中是直線的傾斜角,這也同時(shí)回答了教科書邊空中所提的問題“用雙曲線漸近線的斜率能刻畫雙曲線的'張口'大小嗎?它與用離心率刻的‘張口’大小有什么聯(lián)系和區(qū)別?”另外,教學(xué)時(shí)還可通過信息技術(shù)工具的演示,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“雙曲線的離心率是如何影響雙曲線‘張口’大小的認(rèn)識(shí).5.例3~例6的教學(xué)教科書安排例3的目的是鞏固對(duì)雙曲線中的幾何要素及其幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí).在得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，先確定實(shí)半軸長和虛半軸長，然后確定焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定離心率、漸近線關(guān)鍵是a，b，c的確定，并認(rèn)識(shí)它們的幾何意義，以及三者之間的關(guān)系.教學(xué)時(shí)，可以畫出草圖，結(jié)合圖形，直觀認(rèn)識(shí)雙曲線中的幾何要素，以及這些要素之間的關(guān)系，獲得相應(yīng)的幾何性質(zhì).例4綜合運(yùn)用待定系數(shù)法和雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，基礎(chǔ)是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，獲得“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)，即坐標(biāo)與點(diǎn)，方程與曲線的對(duì)應(yīng).其中B，C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的表以及相關(guān)方程組的求解，需要引導(dǎo)學(xué)生正確消元，進(jìn)而獲得問題的解決.與“3.1橢圓”中的例6類似，例5通過具體例子讓學(xué)生感受雙曲線的另一種定義方式將其一般化是橢圓、雙曲線以及下面學(xué)習(xí)的拋物線等圓錐曲線的統(tǒng)一定義.本節(jié)習(xí)題的“綜合運(yùn)用”中給了一個(gè)題目，是對(duì)本例的一般化.教學(xué)時(shí)，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，結(jié)合本例的解決，提出完成這個(gè)題目的要求，使學(xué)生對(duì)“統(tǒng)一定義”