20172018學年北京市西城區(qū)高三(上)期末數(shù)學試卷(文科)

2017-2018學年北京市西城區(qū)高三(上)期末數(shù)學試卷(文科)2017-2018學年北京市西城區(qū)高三(上)期末數(shù)學試卷(文科)2017-2018學年北京市西城區(qū)高三(上)期末數(shù)學試卷(文科)2017-2018學年北京市西城區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出吻合題目要求的一項．1．（5分）若會集A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，則A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）以下函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞加的是（）A．y=﹣x+1B．y=（x﹣1）2C．y=sinxD．4．（5分）執(zhí)行以下列圖的程序框圖，輸出的S值為（）A．2B．6C．30D．2705．（5分）若，則有（）A．a(chǎn)=2bB．b=2aC．a(chǎn)=4bD．b=4a6．（5分）一個棱長為2的正方體被一個平面截去一部分后，節(jié)余幾何體的三視第1頁（共20頁）圖以下列圖，則截去的幾何體是（）A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱7．（5分）函數(shù)f（x）=sin（x+φ）的圖象記為曲線C．則“f（0）=f（π）”是“曲線C關于直線對稱”的（）A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件8．（5分）已知A，B是函數(shù)y=2x的圖象上的相異兩點．若點A，B到直線的距離相等，則點A，B的橫坐標之和的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．9．（5分）若函數(shù)f（x）=x（x+b）是偶函數(shù)，則實數(shù)b=．10．（5分）已知雙曲線的一個焦點是（F2，0），其漸近線方程為，該雙曲線的方程是．11．（5分）向量，在正方形網(wǎng)格中的地址以下列圖．若是小正方形網(wǎng)格的邊長為1，那么=．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面積為，則b=；c=．13．（5分）已知點M（x，y）的坐標滿足條件，設O為原點，則|OM|的最小值是．第2頁（共20頁）14．（5分）已知函數(shù)，若c=0，則f（x）的值域是；若f（x）的值域是，則實數(shù)c的取值范圍是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求證：當時，．16．（13分）已知數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，且a2+6是a1和a3的等差中項．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列{an}的前n項之積為Tn，求Tn的最大值．17．（13分）某市高中全體學生參加某項測評，按得分評為A，B兩類（評定標準見表）．依照男女學生比率，使用分層抽樣的方法隨機抽取了10000名學生的得分數(shù)據(jù)，其中等級為A1的學生中有40%是男生，等級為A2的學生中有一半是女生．等級為A1和A2的學生統(tǒng)稱為A類學生，等級為B1和B2的學生統(tǒng)稱為B類學生．整理這10000名學生的得分數(shù)據(jù)，獲取以下列圖的頻率分布直方圖．種類得分（x）BB180≤x≤90B270≤x＜80AA150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知該市高中學生共20萬人，試估計在該項測評中被評為A類學生的人數(shù)；（Ⅱ）某5人得分分別為45，50，55，75，85．從這5人中隨機采用2人組成甲組，別的3人組第3頁（共20頁）成乙組，求“甲、乙兩組各有1名B類學生”的概率；（Ⅲ）在這10000名學生中，男生占總數(shù)的比率為51%，B類女生占女生總數(shù)的比率為k1，B類男生占男生總數(shù)的比率為k2．判斷k1與k2的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）18．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．過AA1的平面交B1C1于點E，交BC于點F．（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求證：A1A∥EF；（Ⅲ）記四棱錐B1﹣AA1EF的體積為V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V．若，求的值．19．（14分）已知橢圓過A（2，0），B（0，1）兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；（Ⅱ）設點Q在橢圓C上．試問直線x+y﹣4=0上可否存在點P，使得四邊形PAQB是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明原由．20．（13分）已知函數(shù)f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求證：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線的斜率為f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比較f（）與﹣2.01的大小，并加以證第4頁（共20頁）明．第5頁（共20頁）2017-2018學年北京市西城區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）參照答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題列出的四個選項中，選出吻合題目要求的一項．1．（5分）若會集A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，則A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解析】利用并集定義直接求解．【解答】解：∵會集A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，A∪B={x|﹣1＜x＜3}．應選：A．【談論】本題觀察并集的求法，觀察并集定義等基礎知識，觀察運算求解能力，觀察函數(shù)與方程思想，屬于基礎題．2．（5分）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解析】依照復數(shù)的幾何意義，將復數(shù)進行化簡即可．【解答】解：===﹣1+i，對應點的坐標為（﹣1，1），應選：B【談論】本題主要觀察復數(shù)的幾何意義，利用復數(shù)的運算法規(guī)進行化簡是解決本題的要點．3．（5分）以下函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞加的是（）A．y=﹣x+1B．y=（x﹣1）2C．y=sinxD．【解析】依照常有函數(shù)的單調(diào)性分別判斷即可．【解答】解：關于A，函數(shù)在R遞減，第6頁（共20頁）關于B，函數(shù)在（0，1）遞減，關于C，函數(shù)在（0，+∞）無單調(diào)性，關于D，函數(shù)在（0，+∞）遞加，應選：D．【談論】本題觀察了常有函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎題．4．（5分）執(zhí)行以下列圖的程序框圖，輸出的S值為（）A．2B．6C．30D．270【解析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)構造計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，解析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運行，可得S=1，k=2滿足條件k≤5，執(zhí)行循環(huán)體，S=2，k=3滿足條件k≤5，執(zhí)行循環(huán)體，S=6，k=5滿足條件k≤5，執(zhí)行循環(huán)體，S=30，k=9不滿足條件k≤5，退出循環(huán)，輸出S的值為30．應選：C．【談論】本題觀察了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，第7頁（共20頁）以便得出正確的結論，是基礎題．5．（5分）若，則有（）A．a(chǎn)=2bB．b=2aC．a(chǎn)=4bD．b=4a【解析】直接由對數(shù)的運算性質計算得答案．【解答】解：，得，即a=4b．應選：C．【談論】本題觀察了對數(shù)的運算性質，是基礎題．6．（5分）一個棱長為2的正方體被一個平面截去一部分后，節(jié)余幾何體的三視圖以下列圖，則截去的幾何體是（）A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱【解析】由三視圖還原原幾何體，可知原幾何體為直四棱柱，從而可知，截去的部分為三棱柱．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖：該幾何體為直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分為三棱柱BB1E﹣CC1F．第8頁（共20頁）應選：B．【談論】本題觀察由三視圖求面積、體積，要點是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．7．（5分）函數(shù)f（x）=sin（x+φ）的圖象記為曲線C．則“f（0）=f（π）”是“曲線C關于直線對稱”的（）A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件【解析】依照充分條件和必要條件的定義，結合三角函數(shù)對稱性的性質進行判斷即可．【解答】解：若f（0）=f（π），則sinφ=sin（π+φ）=﹣sinφ，則sinφ=0，則φ=kπ，此時f（x）=sin（x+φ）=sin（x+kπ）=±sinx，曲線C關于直線對稱，反之若曲線C關于直線對稱，則f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲線C關于直線對稱”的充要條件，應選：C【談論】本題主要觀察充分條件和必要條件的判斷，結合三角函數(shù)的性質是解決本題的要點．．（分）已知x的圖象上的相異兩點．若點A，B到直線的85A，B是函數(shù)y=2距離相等，則點A，B的橫坐標之和的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）【解析】依題意可得?，利用均值不等式即可求解，【解答】解：不如設A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得?，利用均值不等式1?2x1+x2＜﹣2，第9頁（共20頁）應選：B．【談論】本題觀察了指數(shù)運算，均值不等式，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分．9．（5分）若函數(shù)f（x）=x（x+b）是偶函數(shù)，則實數(shù)b=0．【解析】依照函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程進行求解即可．【解答】解：∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+b）=x（x+b），得x﹣b=x+b，則﹣b=b，得b=0，故答案為：0．【談論】本題主要觀察函數(shù)奇偶性的應用，依照偶函數(shù)的定義建立方程是解決本題的要點．10．（5分）已知雙曲線的一個焦點是（F2，0），其漸近線方程為，該雙曲線的方程是x2﹣=1．【解析】依照雙曲線的一個焦點為（2，0），且雙曲線的漸近線方程為，可得c=2，可得a，b是方程，求出a，b的值，即可得出雙曲線的標準方程．【解答】解：∵雙曲線的一個焦點為（2，0），且雙曲線的漸近線方程為，∴c=2，，∵c=，a=1，b2=3，第10頁（共20頁）∴雙曲線的方程為x2﹣=1．故答案為：x2﹣=1．【談論】本題觀察雙曲線的標準方程，觀察雙曲線的幾何性質，觀察學生的計算能力，正確運用雙曲線的幾何性質是要點．11．（5分）向量，在正方形網(wǎng)格中的地址以下列圖．若是小正方形網(wǎng)格的邊長為1，那么=4．【解析】求出向量，向量的坐標，爾后求解數(shù)量積即可．【解答】解：向量，在正方形網(wǎng)格中的地址以下列圖．若是小正方形網(wǎng)格的邊長為1，=（2，0）．=（2，﹣1）．那么=2×2+0×（﹣1）=4．故答案為：4．【談論】本題觀察向量的數(shù)量積的應用，觀察計算能力．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面積為，則b=1；c=．【解析】依照三角形的面積公式和余弦定理，即可求出b和c的值．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面積為absinC=×3×sin=，解得b=1；22222=13，∴c=a+b﹣2abcosC=3+1﹣2×3×1×cos第11頁（共20頁）c=．故答案為：1；．【談論】本題觀察了三角形的面積公式和余弦定理的應用問題，是基礎題．13．（5分）已知點M（x，y）的坐標滿足條件，設O為原點，則|OM|的最小值是．【解析】先依照拘束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=|MO|表示（0，0）到可行域的距離，只需求出（0，0）到可行域的距離的最小值即可．【解答】解：畫出滿足條件的可行域，以下列圖：故|OM|的最小值為原點到直線x+y﹣1=0的距離：=．故答案為：．【談論】本題主要觀察了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．14．（5分）已知函數(shù)，若c=0，則f（x）的值域是[﹣，+∞）；若（fx）的值域是，則實數(shù)c的取值范圍是[，1]．第12頁（共20頁）【解析】若c=0，分別求得f（x）在[﹣2，0]的最值，以及在（0，3]的范圍，求并集即可獲取所求值域；談論f（x）在[﹣2，1]的值域，以及在（c，3]的值域，注意c＞0，運用單調(diào)性，即可獲取所求c的范圍．【解答】解：c=0時，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）遞減，在（﹣，0]遞加，可得f（﹣2）獲取最大值，且為2，最小值為﹣；當0＜x≤3時，f（x）=遞減，可得f（3）=，則f（x）∈[，+∞），綜上可得f（x）的值域為[﹣，+∞）；∵函數(shù)y=x2+x在區(qū)間[﹣2，﹣）上是減函數(shù)，在區(qū)間（﹣，1]上是增函數(shù)，∴當x∈[﹣2，0）時，函數(shù)f（x）最小值為f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由題意可得c＞0，∵當c＜x≤3時，f（x）=是減函數(shù)且值域為[，），當f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案為：；．【談論】本題給出特別分段函數(shù)，求函數(shù)的值域，并在已知值域的情況下求參數(shù)的取值范圍，重視觀察了函數(shù)的值域和二次函數(shù)的單調(diào)性和最值等知識，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．第13頁（共20頁）15．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求證：當時，．【解析】（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，爾后求解函數(shù)fx）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函數(shù)的最值，證明不等式即可．【解答】（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）因為=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因為，所以．[（10分）]所以，[（12分）]所以．[（13分）]【談論】本題觀察兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值的求法，觀察計算能力．16．（13分）已知數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，且a2+6是a1和a3的等差中項．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列{an}的前n項之積為Tn，求Tn的最大值．【解析】（Ⅰ）利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列的首項，爾后求解數(shù)列的通項公式．（Ⅱ）求出an≥1，n≤4判斷數(shù)列的特色，爾后求解Tn獲取最大值時，n=3，求解即可．第14頁（共20頁）【解答】（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）因為a2+6是a1和a3的等差中項，所以2（a2+6）=a1+a3．[（2分）]因為數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列，所以，[（4分）]解得a1=27．[（6分）]所以an=a1?qn﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令an≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤4，[（10分）]故正項數(shù)列{an}的前3項大于1，第4項等于1，今后各項均小于1．[（11分）]所以當n=3，或n=4時，Tn獲取最大值，[（12分）]Tn的最大值為T3=T4=a1?a2?a3=729．[（13分）]【談論】本題觀察等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，觀察轉變首項以及計算能力．17．（13分）某市高中全體學生參加某項測評，按得分評為A，B兩類（評定標準見表）．依照男女學生比率，使用分層抽樣的方法隨機抽取了10000名學生的得分數(shù)據(jù)，其中等級為A1的學生中有40%是男生，等級為A2的學生中有一半是女生．等級為A1和A2的學生統(tǒng)稱為A類學生，等級為B1和B2的學生統(tǒng)稱為B類學生．整理這10000名學生的得分數(shù)據(jù)，獲取以下列圖的頻率分布直方圖．種類得分（x）B180≤x≤90B270≤x＜80AA150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知該市高中學生共20萬人，試估計在該項測評中被評為A類學生的人數(shù)；（Ⅱ）某5人得分分別為45，50，55，75，85．從這5人中隨機采用2人組成甲組，別的3人組第15頁（共20頁）成乙組，求“甲、乙兩組各有1名B類學生”的概率；（Ⅲ）在這10000名學生中，男生占總數(shù)的比率為51%，B類女生占女生總數(shù)的比率為k1，B類男生占男生總數(shù)的比率為k2．判斷k1與k2的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）【解析】（Ⅰ）樣本中B類學生所占比率為60%，從而A類學生所占比率為40%．由此能求出在該項測評中被評為A類學生的人數(shù)．（Ⅱ）在5人（記為a，b，c，d，e）中，B類學生有2人（不如設為b，d）．將他們按要求分成兩組，利用列舉法能求出“甲、乙兩組各有一名B類學生”的概率．（Ⅲ）由題意獲取k1＜k2．【解答】（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）依題意得，樣本中B類學生所占比率為（）×10=60%，（2分）所以A類學生所占比率為40%．（3分）因為全市高中學生共20萬人，所以在該項測評中被評為A類學生的人數(shù)約為8萬人．（4分）（Ⅱ）由表1得，在5人（記為a，b，c，d，e）中，B類學生有2人（不如設為b，d）．將他們按要求分成兩組，分組的方法數(shù)為10種．（6分）依次為：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ae，bcd），（bc，ade），bd，ace），（be，acd），（cd，abe），（ce，abd），（de，abc）．（8分）所以“甲、乙兩組各有一名B類學生”的概率為．（10分）（Ⅲ）k1＜k2．（13分）【談論】本題觀察頻率分布直方圖的應用，觀察概率的求法，觀察頻率分布直方圖、古典概型等基礎知識，觀察運算求解能力，觀察函數(shù)與方程思想，是基礎題．第16頁（共20頁）18．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．過AA1的平面交B1C1于點E，交BC于點F．（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求證：A1A∥EF；（Ⅲ）記四棱錐B1﹣AA1EF的體積為V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V．若，求的值．【解析】（Ⅰ）證明A1C⊥AB，說明四邊形AA1C1C為菱形，推出A1C⊥AC1．即可證明A1C⊥平面ABC1．（Ⅱ）證明A1A∥平面BB1C1C，爾后證明A1A∥EF．（Ⅲ）記三棱錐B1﹣ABF的體積為V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的體積為V3．三棱錐1﹣ABF與三棱柱ABF﹣A11同底等高，，轉變求解．BBE【解答】（本小題滿分14分）（Ⅰ）證明：因為AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（2分）]在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因為AA1=AC，所以四邊形AA1C1C為菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（5分）]（Ⅱ）證明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因為A1A∥B1B，A1A?平面BB1C1C，[（6分）]所以A1A∥平面BB1C1C．[（8分）]因為平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．[（10分）]（Ⅲ）解：記三棱錐B1﹣ABF的體積為V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的體積為V3．第17頁（共20頁）因為三棱錐B1﹣ABF與三棱柱ABF﹣A1B1E同底等高，所以，[（11分）]所以．因為，所以．[（12分）]因為三棱柱ABF﹣A與三棱柱﹣等高，1B1EABCA1B1C1所以△ABF與△ABC的面積之比為，[（13分）]所以．[（14分）]【談論】本題觀察直線與平面垂直的判判定理以及直線與平面平行的判判定理的應用，幾何體的體積的求法，觀察空間想象能力以及計算能力．19．（14分）已知橢圓過A（2，0），B（0，1）兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；（Ⅱ）設點Q在橢圓C上．試問直線x+y﹣4=0上可否存在點P，使得四邊形PAQB是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明原由．【解析】（Ⅰ）求出橢圓C的方程為，爾后求解橢圓的離心率即可．（Ⅱ）設P（t，4﹣t），Q（x0，y0），推出，解得x0=2﹣t，y0=t﹣3，代入，轉變求解t，判斷可否存在點P．【解答】（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）由題意得，a=2，b=1．[（2分）]所以橢圓C的方程為．[（3分）]設橢圓C的半焦距為c，則，[（4分）]所以橢圓C的離心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，設P（t，4﹣t），Q（x0，y0）．[（6分）]第18頁（共20頁）若PAQB是平行四邊形，則，[（8分）]所以（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）=（x0﹣t，y0﹣4+t），整理得x0=2﹣t，y0=t﹣3．[（10分）]將上式代入，得（2﹣t）2+4（t﹣3）2，（11分）]=4[整理得5t2﹣28t+36=0，解得，或t=2．[（13分）]此時，或P（2，2）．經(jīng)檢驗，吻合四邊形PAQB是平行四邊形，所以存在，或P（2，2）滿足題意．[（14分）]【談論】本題觀察橢圓方程的求法，直線與橢圓的地址關系的綜合應用，存在性問題的辦理方法，觀察轉變思想以及計算能力．20．（13分）已知函數(shù)f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程