全等三角形的經(jīng)典模型(一)

3全等三形經(jīng)典模（）滿分晉級(jí)三形7級(jí)倍中線與長(zhǎng)補(bǔ)三形8級(jí)全三角形經(jīng)典型（一三形級(jí)全三角形經(jīng)典型（二

秋班第二秋季班第三講漫畫(huà)釋義

作弊？知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)題型一：等腰直三角形模型思路導(dǎo)航等直角三角形數(shù)模型思路：⑴用特殊邊特殊證題或圖1；⑵見(jiàn)輔助線為作，利用三線合的性質(zhì)解決問(wèn).如圖；⑶全為正方.如，4C

CA

45°45°

B

A

D

B圖

圖2圖3

圖典題精練【1】已：如圖所示eq\o\ac(△,Rt)ABC，=，90O為BC的點(diǎn)，⑴出點(diǎn)O到的個(gè)頂點(diǎn)、B、的離的關(guān)系不要求明）

B⑵果點(diǎn)MN分在線段、AB移動(dòng)，且在移中保持

OANCM試斷△形狀，并證明的結(jié).⑶果點(diǎn)M、分在線段CA、的延長(zhǎng)上移，且在移動(dòng)中

保ANCM試判斷⑵中結(jié)是否依然成立如果是請(qǐng)給出明．

A

M

【析】⑴OAOC⑵接OA,∵OA=OC45°

∴≌

∴=OM∴NOA∴BONMOC

N

C∴∴OMN是等腰角三形⑶ONM依然為腰直三角形，證∵∠BAC，，O為中點(diǎn)∴==ABC∠=45°，∴AO==OC∵eq\o\ac(△,)中

NB

CO∴≌（SAS）∴=OM，∠∠COM又∠COM=90°，∴OMN為等腰角三形．

CM

B【2】?jī)扇鹊暮?0角三角和三角，圖示放置，,C三在一直線上，連接BD，取的中M連MC試斷△的形狀說(shuō)明理由．【析】△EMC是腰直角三角．

A證：連接由題意，DEAC,DAE,DAB90.

M

B∴△DAB為腰直角三角形.∵DMMB，∴MADMMAB45．∴MAC105，∴EDM≌△CAM．∴EMDME．又EMC90．∴CMEM，∴EMC是等直角三角形．

AC【3】已：如圖，ABC中AB，BAC90D是AC的點(diǎn)AF于E，BC于F，接DF．求：ADBCDF．

AE

D【析】證一：如圖，過(guò)作AN于N，BD于M．

B

F

C∵ABAC，∴DAM45∵45∴．∵AF，BAE°∵90∴BAE∴

在ABM和△CAF中

M

D

F

∴ABM≌△CAF．AM．在ADM和CDF，ADCDDAMAMCF∴ADM△CDF∴ADBCDF．證二：如圖，作CM交AF延長(zhǎng)線于．∵AF，∵∴∴．

AE

D在ACM和中，

B

F

CM

ACMBAD90°∴△≌BAD．∴MADB，AD∵ADDC，CM．在△CMF和CDF中MCF°

CM∴≌．∴∴ADBCDF．【4】如，等腰直角中，為ABC內(nèi)一，滿AC

求：BCPADP

B

C【析】補(bǔ)正方形ACBD，接DP易△ADP是邊角形，DAPBAD45∴∴75∴BCP【究對(duì)象】等腰角三角形添補(bǔ)正方形的幾種見(jiàn)題型在有關(guān)等腰直角角形中的一些題，若遇到不解決或解法比復(fù)雜時(shí)，可將腰直角三角形輔線轉(zhuǎn)化成正方，再利用正方的一些性質(zhì)來(lái)，常常可以起化難為易的效，從而順利地解。例為角度的用，其他應(yīng)用究如下：【究一】證角等【選如圖，eq\o\ac(△,Rt)中=90°AB為中連結(jié)BM作ADBM交于點(diǎn)D連，證∠=∠．

M

M

D

D

F【析】作腰eq\o\ac(△,)關(guān)于對(duì)的等腰eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BFC，長(zhǎng)AD交CF于N∵⊥，正方形的性質(zhì)可得=BM易eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)CAN∴∠=∠CND，=，∵M(jìn)為中∴，∵∠1=∠，證eq\o\ac(△,)CMD△CNDCND=CMDAMB∠CMD．【究二】判定三形形狀【選】圖，eq\o\ac(△,Rt)中，∠BAC，=AC=CE⊥點(diǎn)M，延長(zhǎng)BD的長(zhǎng)線點(diǎn)，試判定△的形．A

F

A

FDM

E

DM

EB

N

C

B

N

K

CH【析】作腰eq\o\ac(△,)關(guān)于對(duì)的等腰eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)，可四邊形正方形，延長(zhǎng)AN交于點(diǎn)K，∵⊥BD，可AK=，證eq\o\ac(△,)ABDeq\o\ac(△,)CAK∴ADB∠AD∵，∴CK=，易eq\o\ac(△,)CKN△CEN，∴CKN=∠CEN，易∠EDF∠DEF，∴DEF為等腰角形．【究三】利用等變形求面積【選如圖，eq\o\ac(△,Rt)中∠=90°AB=ACD為BC上點(diǎn)DE∥DF∥且CF=3，求S．

BE

BE

ACF【析】作腰eq\o\ac(△,)關(guān)于的稱(chēng)的等腰eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)GCB可四邊形ABGC為方形分別延長(zhǎng)FD、ED交BG于、，可DN=EB，DM=FC，由方形對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可=DM．DFAEDMGN【究四】求線段【選】圖，中AD⊥于D，∠=45°，=3，CD=2，求AD的．F

C

D

CD

G【析】此題若用積公式結(jié)合勾定理再列方程求解是可以的但解法太繁瑣本題盡管已知件不是腰直角三角形∵BAC=45°，分別AB為稱(chēng)軸作eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ADB對(duì)稱(chēng)直角三形和eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)的稱(chēng)直角三角形這樣就出現(xiàn)兩相等且?jiàn)A角為的圖形滿足等腰直角角形的件，然后再引助線使之轉(zhuǎn)化正方形．【析】以為作eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)的稱(chēng)的eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)，以為作eq\o\ac(△,)的稱(chēng)的eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AFC．可==3，==2，延、交，∵∠BAC=45°，由稱(chēng)性，可∠EAF，AE==，易四邊形AFGE為方形，且邊等于AD，設(shè)=，=－3，x，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BCG中由勾股定理得

，解，．【究五】求最小【選5如，eq\o\ac(△,Rt)中為的點(diǎn)為邊上動(dòng)點(diǎn)PM+PC的小值．A

A

DP

PM

M

B【析】將圖形通過(guò)引輔線化歸為正方eq\o\ac(△,)關(guān)對(duì)的eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)四形ACBD為方形接CD知點(diǎn)C于的稱(chēng)點(diǎn)D接MD交于P連+的為最小，最小:PM+=DM=4

5．題型二：三垂直模型思路導(dǎo)航常三垂直模型例題精講E【例】已知⊥BD，ED⊥BD，=CD，BCDE⑴求證⊥；⑵將△沿方向移得到①②③等不同情形，ABD，其條件不變，試斷ACCE這結(jié)論是否成？若成立，給證

C

D明若不成立，請(qǐng)明理E

E

AA

B

CDBC

D(C)

D

C

D①②③④【析】⑴⊥BDEDBD∴在△ABC與CD

BCDE∴△≌CDE（SAS∴

∵∴⊥CE⑵①②四種情形中結(jié)論永遠(yuǎn)成立證明方法與⑴全類(lèi)似，只要eq\o\ac(△,明)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)DE∴ACBED∵CEDDC90∴DCE90∴⊥典題精練【5】正方ABCD中點(diǎn)A、的坐標(biāo)別為第一象．求方形邊長(zhǎng)及頂C坐標(biāo)算用：在角三角形中，條直角邊的平和等于斜邊的）

D

CA

CA

2O

B

E

1

B

3

【析】過(guò)CCG⊥軸，作BE軸，反向長(zhǎng)交CG于F點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為∴BE，=6，∴AB=10∵邊形是方形，∴=BC∵0∴

∵∴≌△∴CF，=AE∴=12EF=14∴，12)，正形的邊長(zhǎng)為10【評(píng)】此中三垂直模型【6】如圖示角形中ABCAD，

M

AB，是AB的點(diǎn)，CEBD．⑴求證：BE；

C求：AC是線段ED垂平分線；△是等腰角形嗎？請(qǐng)說(shuō)理由．【析】∵BD，∴DBCDBC90ECB，∵ABCBC，∴≌△CBE，BE⑵是中∴由得：AD∴AD∵AD∥BC，CADACB∵45BAC由腰三角形的性，得：EMMDAM即是段的直平分線．⑶DBC是腰三角形，CD由得：CDCE，⑴得：CE∴CD，∴等腰三角形【7】⑴如，△是等三角D、E分是AB、BC上的點(diǎn)，且BD=CE連、CD相于P．請(qǐng)你補(bǔ)全形，并直接寫(xiě)APD的=

；⑵圖，∠=90°M分是BC上點(diǎn)且AMBM連、相于點(diǎn)P．你猜想APM=

，并寫(xiě)出你推理過(guò)程．（2013平一模）

P

A

A

M

B【析】⑴略，60°

圖

圖

⑵E

P

證：作AE⊥且AECNBM

A

M

B可≌MBC∴，.∵CMBCMBAME∴EMC∴△是腰直角角形eq\o\ac(△,又)AEC≌△（SAS）∴NAC∴∥∴APMECM45

45eq\o\ac(△,，)DACeq\o\ac(△,，)DAC思維展訓(xùn)練(講)訓(xùn)

已：如圖中AC，

，是上一點(diǎn)AE⊥延長(zhǎng)線于，且AE

BD求證分.

D

DC

【析】延AE交的長(zhǎng)線于F∵BE⊥AF，ACB∴DBC∴eq\o\ac(△,)AFCeq\o\ac(△,)BDC中DBCACBC

ACFBCDeq\o\ac(△,)≌△（ASA）∴=又AE

∴AE

AFEF訓(xùn)

∴是的垂線∴=BF∴BD平ABC已，在正方形中在BD上，⊥CE，AC于F求證OEOF【析】∵是方形∴OC90∵⊥∴90

D∴∵OFD

F∴ODFCO

C∴eq\o\ac(△,)DOFeq\o\ac(△,)中COE

OCE∴DOF（ASA∴訓(xùn)已圖eq\o\ac(△,)ABC中ACBAC是的點(diǎn)AFBE于證DHDF【析】∵AB，D是BC的點(diǎn)∴，AD⊥∴ADB

A∵AF∴∴DAF

B

GF

E

C∴eq\o\ac(△,)BDHeq\o\ac(△,)中AD

ADBADF≌△（ASA∴DH=DF訓(xùn)如知形ABCD中是AD上的一點(diǎn)是上一點(diǎn)⊥=ECDE=4cm矩ABCD的周為，的長(zhǎng)【析】在eq\o\ac(△,)AEF和eq\o\ac(△,)DEC中∵⊥CE，∴=90°，∴∠=90°而∠+∠DEC=90°，∴∠．又=EDC．=∴eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,)DCE

AEDFB∴AE=CD．∴．∵形ABCD的長(zhǎng)為32cm，∴（）=32．解．復(fù)習(xí)鞏固題型等腰直角三角形型鞏練習(xí)

【】如圖，、ECD為等腰直角三形，圖中與

△全的三角形_【析】△

EADB【】如圖，知Rt中AC，D是點(diǎn)AD，足為E．BF∥AC，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．證AC．

BC的【析】∵ACB90BF∥AC，∴ACD90CAD

C

D∵CEAD，∴FCBADC90

∴FCB又，∴ADC△．∴DCFB∵是的點(diǎn)，∴BC，即ACBF

F題型

三垂模型鞏練習(xí)【】已：如圖，邊形是形＞在BC上且AEADDFAE，足為F．探求DFAB有數(shù)量關(guān)系寫(xiě)出你所得到結(jié)論并給予證．【析】經(jīng)求，結(jié)論是DF=AB．證如下：

D

F

∵邊形是形，∴∠，AD∥BC∴∠DAF∠．∵⊥，∴=90，∵AE=AD，∴△eq\o\ac(△,≌)DFA．∴AB=．DFC

【】如圖，中D是AB任意一點(diǎn)，CD交CD長(zhǎng)線，BFCD于F．求：EFBF．【析】根條件，都與BCF互，∴ACE．在和△中ACCB，∴△．則，，∴EFBF．【】四邊形ABCD是正方．如是BC邊任意一(不B點(diǎn)重合接AG作⊥于F⊥于．證：△ABF≌△DAE；在中段與AFBF的量關(guān)系是直寫(xiě)出結(jié)論即可需證明；⑶圖CD邊上意一不D兩點(diǎn)重接BFAG于F⊥于E．那么中全等三角形，段與、BF的等量系是(直寫(xiě)出結(jié)論即可不