年2月06日-數(shù)理觀點(diǎn)與連續(xù)介質(zhì)世界

數(shù)理觀點(diǎn)

與

連續(xù)介質(zhì)世界體積介質(zhì)

曲面介質(zhì)

天體宇宙

數(shù)學(xué)通識(shí)復(fù)旦力學(xué):

xiex

2016年12月書院導(dǎo)師科學(xué)講座Pursuit

ofLight基于數(shù)理分析認(rèn)知世界—

認(rèn)知事物 機(jī)制一般需要數(shù)理分析牧童牽牛

數(shù)學(xué)模型所得結(jié)論為實(shí)際經(jīng)驗(yàn)提供定量依據(jù)船舶靠岸如果行進(jìn)的速度是距離的光滑（線性）函數(shù)，則整個(gè)靠岸的過(guò)程將會(huì)耗費(fèi)無(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間，由此最終彈性撞擊下不可避免—Arnold

On

teaching

mathematics數(shù)學(xué)機(jī)制數(shù)學(xué)機(jī)制

0p

1

發(fā)散x0

dx

xpddT

T

oxox非適合方案

適合方案y

yy

x

p

p

2轉(zhuǎn)軌設(shè)計(jì)關(guān)鍵要素為曲線的曲率（二階導(dǎo)數(shù)）連續(xù)—菲赫金哥爾茨微積分?jǐn)?shù)學(xué)機(jī)制

''''''''f

0

,f

0

,

f

0

f

0

p

2p

2y

xp

,有——何數(shù)曲葉面片曲幾率（

構(gòu)二

形階導(dǎo)）

關(guān)連鍵續(xù)要素：壓力分布渦量法向梯度北大吳介之組真實(shí)實(shí)驗(yàn)、數(shù)值實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——在某些情況下“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的結(jié)果可直接確認(rèn)為真理；而其它二類實(shí)驗(yàn)往往由于無(wú)法窮盡或者精度問(wèn)題而不能單方面就確認(rèn)為真理。較多形式為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與真實(shí)實(shí)驗(yàn)的結(jié)論加以相互驗(yàn)證。

21Nreali2

i1

,i

i1i1i1

2

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,i

inf

R

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d，as P

03Nii1P

0x2

y2

z2

t

dti1

lim

r

t

r

t

曲線弧長(zhǎng)曲邊扇形數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)論可直接確認(rèn)為真理數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)論不可直接確認(rèn)為真理流體力學(xué)介質(zhì)中相鄰二質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度2

2V

r

r

V

r

DV

r

r

o

r

1

DV

r

DV

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1

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r

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r

r2

2

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ry總是以某種認(rèn)為合適的方式認(rèn)知世界認(rèn)知世界的

性

—V

rV

r

rV

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V

r

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r

r

V

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a1

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i

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a

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a32

302

1數(shù)學(xué)機(jī)制1ii3o1e

t

e2

t

e3

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p

t

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i2rp

t

rr

t

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rrpt

dadted

adtdadt

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v

ω ω

r

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Vra

a

p

ω

ω

rr

2ω

Vr

ar認(rèn)知世界的性

—

不要離開數(shù)學(xué)談物理與

離開物理談數(shù)學(xué)x2

curvene

2V

3X

2X1X

3ox1,

x2

22

g

x212ex1

curveV

V

g

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t

d

b

t

ω

bdt

dt數(shù)學(xué)機(jī)制運(yùn)動(dòng) 原理渦量的解釋平面運(yùn)動(dòng)的自然基一組飛機(jī)表面上的渦量—“流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)”—“托起”了飛機(jī)，也產(chǎn)生了“摩擦力”n????????飛機(jī)受力公式邊界層流動(dòng)：小參數(shù)*Laplace項(xiàng)2dx2dx

d

2ydyx

x

02

1

x

x

x

x2

2

y

x

A1

e

A

y

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0

o

2

,當(dāng)x

0

0邊界層（有黏性，高梯度）平板邊界層內(nèi)的流動(dòng)奇異攝動(dòng)理論：銜接二個(gè)區(qū)域勢(shì)流區(qū)（無(wú)黏性）B737

on

final

approach

shortly

after

a

B747(NASA)航空領(lǐng)域中的旋渦數(shù)值模擬中的Karman渦街（組）自然界中的Karman渦街人類的飛行夢(mèng)想與追求之一：可變形邊界流固耦合達(dá)芬奇算例：軸向振動(dòng)橢圓柱與駐波振動(dòng)圓柱謝錫麟組r

t=r0

a

sin

2

ft

cos6

a

t=a0

sin2

ft

b

t=b

sin

2

ft-

0

2

流線時(shí)空演化變形率特征值時(shí)空演化：局部拉伸/收縮率算例：軸向振動(dòng)橢圓柱與駐波振動(dòng)圓柱組渦量時(shí)空演化：局部旋轉(zhuǎn)角速度符松研究組

階控制流動(dòng)膜控制膜控制本組

可變形壁面槽道流含有可變形邊界的流動(dòng)時(shí)刻

T

4時(shí)刻

T

2時(shí)刻

3T

4時(shí)刻T

33

n

dl

d

x3

H

d可變形壁面上的動(dòng)力系統(tǒng)——

切向渦量線（背景：法向BVF）截面法向渦量3

3x3

H

n

dl

d壓力集中切向BVF切向BV法向BVF產(chǎn)生壁面幾何流向結(jié)構(gòu)渦歸納機(jī)制

壁面變形、壓力集中、切向BVF、切向渦量、法向BVF、流向結(jié)構(gòu)4

2x4

x23x

x

x

0；V

x;

3x24

2

x

x

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0；V

x;

x43

2x3x2x

x2

x

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x;

x33

xx

x2

0；V

x;

鞍結(jié)分叉跨臨界分叉叉式分叉遲滯系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)化

分ifurcation)

4xt

t3y

t

t3t2t

2Eiffel-Tower曲線V.I.Arnold

On

teaching

mathematics2015年秋季學(xué)期《數(shù)學(xué)分析》Cartesian葉形線Lissajous圖形3t23x

t

3tt31

y

t

t

1xt

a

cos

2t

y

t

a

cos

3t對(duì)數(shù)螺旋r

aePerpetual

Ocean風(fēng)速分布洋流分布NASA/全球觀測(cè)預(yù)測(cè)系統(tǒng)軌跡圖模型簡(jiǎn)化PDE

toODE動(dòng)力系統(tǒng)模型Lorenz方程旋轉(zhuǎn)速度徑向溫差溫差偏移基于參數(shù)r（Rayleigh數(shù)，刻畫徑向溫差）的狀態(tài)演化地球氣上旋的研大究氣運(yùn)動(dòng)ChaosCoriolis

力分叉圖Trajectory

of

KiloHurricane

Modeling密度ρ(A=15)位移Z(A=15)膜的有限變形振動(dòng)（本組）密度A=0.05密度A=20有序態(tài)混沌態(tài)力學(xué)-幾何耦合項(xiàng)0.2121

21.2

ReSt

0.212

112.7

ReRe

200Re

200Shadowgraph

Thickness

Distribution

Re=182Experimental

StudyCylinder

wakes

in

flowingsoap

fi .

Boffetta

&Ecke

PRE

1999Vorticity

Area

~

Thinner

AreaDensity

distributionRe

=

5003DView2DTopViewpressible

Flows

on

Fixed

SmoothSurface

(Locally

Convex)

D

21

222KG

V2GV

2

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2

1

2

K固定曲面上2D不可壓縮流動(dòng)（繞過(guò)圓柱）組Ma=0.1

Re

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500V

22

1

2

KC

C

a2Gt

V

D渦量

致使液膜

變薄VorticitySurfaceDensityDilatation運(yùn)動(dòng)曲面上2D可壓縮流動(dòng)（組）Ma=0.1

Re

=

500Bubble

inUniverse體積、曲面、曲線形態(tài)連續(xù)介質(zhì)有限變形理論的相似結(jié)構(gòu)X

1X

2m1

2

mX1X

23x1x2x3tVtVxX

X

x,t

x

,t

ooooX

1X

2X

3X1X

2X

3x2ooo

x1X

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,

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xX

1X

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3oX1X

2X

3oxx

,

t

x,

t

體積介質(zhì)曲面介質(zhì)曲線介質(zhì)it

t3

i

33g

t

t

t體積介質(zhì)應(yīng)力t

t

g

g曲面介質(zhì)應(yīng)力t

tij

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t曲線介質(zhì)應(yīng)力g

t

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2gi22F

gm3m2m1n

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nT

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g21m2mm

3應(yīng)力作用形式動(dòng)量平衡應(yīng)力形式能量守恒ma

t

fm

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F*F

I

12E

F*F

I

12E

F*F

I

體積介質(zhì)曲面介質(zhì)曲線介質(zhì)守恒律方程對(duì)比EulerEulerEulerEulerEuler

e

V

:

tEulerLagrangeLagrange

(FT)

LagrangeLagrange

LagrangeLagrangeCauchy

t

t

g

g

tCauchy

CauchyPiola-KirchhoffPiola-Kirchhoff

T

Piola-KirchhoffOcean數(shù)學(xué)是物理的一部分；物理是自然科學(xué)，且是實(shí)驗(yàn)科學(xué)；數(shù)學(xué)是物理中“做實(shí)驗(yàn)”比較“便宜”的那部分。——（俄）V.I.Arnold“按照近代觀點(diǎn)，物理、化學(xué)、天體物理、地球物理、生物物理可以全部歸納為物理科學(xué)。力學(xué)是物理科學(xué)的，數(shù)學(xué)又是所有學(xué)科的共同工具，力學(xué)和數(shù)學(xué)原是科學(xué)發(fā)展史上的孿生子，因此，形象的可以認(rèn)為，物理科學(xué)是一根梁，力學(xué)和數(shù)學(xué)是它的兩根支柱?！薄勏壬鶤rnold談數(shù)理觀點(diǎn)— 基于堅(jiān)實(shí)數(shù)理基礎(chǔ)之上的“融會(huì)貫通、觸類旁通”，以此實(shí)現(xiàn)“

學(xué)問(wèn)”

向“能力的進(jìn)階；”表現(xiàn)為按數(shù)量方式，

認(rèn)知自然世界及非自然世界的一種具有 性的世界觀數(shù)理觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)知識(shí)體系”—基礎(chǔ)層面、高級(jí)層面微積分（有限、無(wú)限度系統(tǒng)）線性代數(shù)（有限

度系統(tǒng)）測(cè)度論泛函分析現(xiàn)代幾何學(xué)常微分方程（有限 度系統(tǒng)）偏微分方程（無(wú)限 度系統(tǒng)）概率與統(tǒng)計(jì)復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)層面高級(jí)層面自然延伸核數(shù)心學(xué)知類識(shí)專體業(yè)系數(shù)理學(xué)工知類識(shí)專系體業(yè)理論力學(xué)（有限 度系統(tǒng)）材料力學(xué)電動(dòng)力學(xué)熱力學(xué)/統(tǒng)計(jì)力學(xué)量子力學(xué)彈性力學(xué)（無(wú)限

度系統(tǒng)）流體力學(xué)（無(wú)限

度系統(tǒng)）振動(dòng)力學(xué)（有限、無(wú)限度系統(tǒng)）控制力學(xué)（有限、無(wú)限度系統(tǒng)）基礎(chǔ)層面高級(jí)層面核物心理知學(xué)識(shí)專體業(yè)系自然延伸核力心學(xué)知類識(shí)專體業(yè)系數(shù)理觀點(diǎn)：“專業(yè)知識(shí)體系”—以力學(xué)為基礎(chǔ)層面、高級(jí)層面俄羅力學(xué)數(shù)學(xué)系：力學(xué)專業(yè)（立莫斯

學(xué)種類 力學(xué)家） 教學(xué)計(jì)劃數(shù)理知識(shí)體系職業(yè)課程38901數(shù)學(xué)分析1--41--476851225625625688862分析幾何11202線性代數(shù)和幾何2217912864645184代數(shù)學(xué)1115110854544365微分幾何431906數(shù)學(xué)物理方程651907復(fù)分析5,651908概率論771017236362949數(shù)理統(tǒng)計(jì)和隨即過(guò)程889064323226410微分幾何與拓?fù)?9064323226411泛函分析5,65,619012物理力學(xué)實(shí)習(xí)5-828620420482333313理論力學(xué)3,53,4,53612584連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ)3238615連續(xù)介質(zhì)力

學(xué)（數(shù)學(xué)模型）5,65,6238516控制系統(tǒng)力學(xué)87143102683441331離散數(shù)學(xué)7,81902經(jīng)典微分幾何331017236362943計(jì)算機(jī)實(shí)習(xí)7,89568682722專門課程（譯者注：主要是各個(gè)教研室開設(shè)的不同研究方向的專業(yè)課程）1000全年的專門課程6,82042半年的專

門課程7,910872723622挑選大學(xué)生的專門課程1010268683424科研工作6,8,9,106,8,10586204204382222224還包括：專門的

班課程作業(yè)學(xué)科名稱學(xué)期分布教學(xué)工作量/小時(shí)年級(jí)和學(xué)時(shí)分配考試測(cè)驗(yàn)課程設(shè)計(jì)工作量包括課堂作業(yè)獨(dú)立學(xué)習(xí)一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)四年級(jí)五年級(jí)1234567891018

周16

周18

周16

周周周周周周周總數(shù)講課實(shí)習(xí)實(shí)驗(yàn)周學(xué)時(shí)加州理工學(xué)院機(jī)械工程專業(yè) 教學(xué)計(jì)劃柯爾莫哥

的開創(chuàng)性工作在數(shù)學(xué)的一

領(lǐng)域中提供了新方法，打開了新思路，開辟了新方向，揭示了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域間的本質(zhì)聯(lián)系，并廣泛地提供了它們?cè)谖锢怼⒒瘜W(xué)、氣象、生物、力學(xué)、工程、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、金屬結(jié)晶學(xué)、控制論、計(jì)算機(jī)、比較語(yǔ)言學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用前景。他創(chuàng)造的大量構(gòu)造方法和基本引理至今在不同領(lǐng)域中經(jīng)常，其中絕大部分都已成為教科書和專著中的經(jīng)典內(nèi)容?？聽柲?進(jìn)行科學(xué)研究的特點(diǎn)是：幾乎在他所關(guān)心的所有領(lǐng)域，都首先創(chuàng)建了幾個(gè)基本原理，接著讓他的學(xué)生繼

續(xù)進(jìn)行研究，達(dá)到深入完備的程度，最后吸引大量研究 加入，寫綜合

，出專集，開交流會(huì)議，形成科學(xué)方向和學(xué)派。他是他的學(xué)生

的許多學(xué)派的奠基人?？聽柲巛嬓缘摹Ｋ浅０褎?chuàng)造性才能分為演算性的、幾何性的與邏與學(xué)生們交往，并把他們自己未

的能力發(fā)揮出來(lái)．他喜愛(ài)旅行、滑雪、

詩(shī)與美術(shù)，尤其熱愛(ài)油畫與建筑。柯爾莫哥 從不夸談自己的成就、銜頭與地位，并不看重金錢與物質(zhì)條件，他把巴爾桑獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金捐給了學(xué)校

館，而沃爾夫獎(jiǎng)金他未曾去領(lǐng)取．柯爾莫哥

為科學(xué)事業(yè)無(wú)私地貢獻(xiàn)了他的光輝的一生．柯爾莫哥A

．

H

．

(

А

н

д

р

е

йНиколаевич

Колмогоров)生于

坦波夫(Тамбов)；1987年10月20日卒于

莫斯科“自然在我筆下”—學(xué)問(wèn)至能力的進(jìn)階柯爾莫哥羅夫認(rèn)為，數(shù)學(xué)需要特別的才能這種觀念在多數(shù)情況下是被夸大了，學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)特別難，問(wèn)題多半出在教師身上。當(dāng)然，的確學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的適應(yīng)性存在差異，這種適應(yīng)性表現(xiàn)在：算法能力，也就是對(duì)復(fù)雜式子作高明的變形，以解決標(biāo)準(zhǔn)方法解決不了的問(wèn)題的能力。幾何直觀能力，對(duì)于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達(dá)出來(lái)，并進(jìn)行思考的能力。

c.一步一步進(jìn)行邏輯推理的能力。但是柯爾莫哥羅夫也

，僅有這些能力，而不對(duì)研究的題目有持久的

，不做持久的努力，也是無(wú)用的。柯爾莫哥羅夫認(rèn)為，在大學(xué)里好的教師要做到以下幾點(diǎn)：（a）講課高明，特別是能用其他

科學(xué)領(lǐng)域的例子來(lái)吸引學(xué)生，增進(jìn)理解，培養(yǎng)理論聯(lián)系實(shí)際的能力。（b）以清楚的解釋和廣博的知識(shí)來(lái)吸引學(xué)生運(yùn)動(dòng)。（c）

因材施教?？聽柲缌_夫以為以上三條都是有價(jià)值的，特別是（c），這是一個(gè)好教師必須做到的。那么對(duì)于數(shù)學(xué)力學(xué)系或計(jì)算數(shù)學(xué)與控制論系的學(xué)生又應(yīng)當(dāng)怎樣做呢？柯爾莫哥羅夫以為除了通常的要求外，有兩點(diǎn)要特別強(qiáng)調(diào)：（1）要把泛函分析這樣的重要學(xué)科（他說(shuō)的重要學(xué)科恐怕

還包括拓?fù)鋵W(xué)和抽象代數(shù)）當(dāng)成日常工具一樣應(yīng)用自如。（2）要重視實(shí)際問(wèn)題。莫大的老師上課，基本不按教學(xué)大綱講課（其實(shí)教學(xué)大綱也

師在滿足大綱的基本要求的情況下，應(yīng)當(dāng)按自己的理解講課），也沒(méi)有什么固定的其實(shí)就是沒(méi)有

，只有參考書！主要課程都有

課，，教師往往同時(shí)指定好幾本書為

，課和講課的比例至少是1:1。學(xué)生做習(xí)題的時(shí)候就要注意進(jìn)行科研訓(xùn)練了！這也是莫大數(shù)學(xué)成功秘訣之一。莫斯

學(xué)討論課上的V.I.Arnold

On

teaching

mathematicsMathematics

is

a

part

of

physics.Physics

is

an

experimental

science,apart

of

natural

science.

Mathematics

is

the

part

of

physics

whereexperiments

are

cheap.——數(shù)學(xué)是認(rèn)知自然及非自然世界的系統(tǒng)的思想及方法，絕非僅是邏輯過(guò)程Jacobi

noted,

as

mathematics‘

mostfascinating

property,

thatin

it

oneand

the

samefunction

controls

both

the

presentations

of

a

wholenumberas

a

sum

of

four

squares

and

the

real

movement

of

a

pendulum.

——These

discoveries

of

connections

between

heterogeneous

mathematicalobjects

can

be

compared

with

the

discovery

of

the

connection

betweenelectricity

and

magnetism

in

physics

or

with

the

discovery

of

thesimilarity

between

the

east

coast

of

America

and

the

west

coast

of

Africaingeology.——數(shù)學(xué)通識(shí)（基本的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”或者“關(guān)系式”），上帝創(chuàng)造自然的“

則”By

the

way,

I

shall

remind

you

of

a

warning

of

L.

Pasteur:

there

neverhave

been

and

never

will

be

any

“applied

sciences”,

there

are

onlyapplications

of

sciences

(quite

useful

ones!).A

teacher

of

mathematics,who

has

not

got

to

grips

with

at

least

some

ofthe

volumes

of

the

course

by

Landau

and

Lifshitz,will

then e

arelict

like

the

one

nowadays

who

does

not

know

the

difference

between

anopen

and

a

closed

set.——數(shù)學(xué)需緊密聯(lián)系于自然教育教學(xué)理念與執(zhí)行架構(gòu)——可借鑒至治學(xué)微積分的一流化進(jìn)程現(xiàn)代連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論及實(shí)踐http://j

/s/354/http://j

/s/353/知識(shí)點(diǎn)為具有一定獨(dú)立性的知識(shí)（思想與方法）的集合。每一知識(shí)點(diǎn)再由若干知識(shí)要素組成，知識(shí)要素為等式、不等式、特定結(jié)構(gòu)或者特定處理。知識(shí)體系研究知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)要素3

1

20

a3

3

1

1

2

32

1

3

1a2

2a1

a1

a2

a3

03

2

a1

2a3

3a2

i

j

k0

a

a

a

1:

ω

a旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)機(jī)制i1i3o1e

t

e2

t

e3

t

p

t

r

t

i2rp

t

rr

t

V

Vp

ω

rr

Vra

a

p

ω

ω

rr

2ω

Vr

ar數(shù)學(xué)通識(shí)

隸屬同一知識(shí)體系甚至不同知識(shí)體系的知識(shí)點(diǎn)可能包含相同的知識(shí)要素，稱為“數(shù)學(xué)通識(shí)”

——

藉此追求

融會(huì)貫通、觸類旁通知識(shí)體系研究

以

結(jié)構(gòu)

驅(qū)動(dòng)

結(jié)論2015年秋季學(xué)期《數(shù)學(xué)分析》等斜率定理（速率不為零）Cauchy中值定理（水平速度不為零）Rolle定理（樸素形式：二端一樣高）Fermat引理極限保號(hào)性知識(shí)體系研究—澄清相關(guān)結(jié)論的本質(zhì)知識(shí)體系研究—澄清相關(guān)結(jié)論的本質(zhì)區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)的充分性條件（閉區(qū)間上連續(xù)，

導(dǎo)數(shù)不為零）Fermat引理極限保號(hào)性Rolle定理（一般形式：含最值點(diǎn)）Darboux定理參數(shù)形式平面曲線作圖進(jìn)動(dòng)效應(yīng)

<—

相對(duì)論效應(yīng)橢圓軌道

<—

無(wú)相對(duì)論效應(yīng)數(shù)學(xué)機(jī)制知識(shí)體系研究

格物致知

—澄清實(shí)際對(duì)象/

現(xiàn)象的“數(shù)學(xué)機(jī)制”，反之?dāng)?shù)學(xué)對(duì)象需要聯(lián)系與實(shí)際事物Mercury

Transit陣—作系統(tǒng)的所有物理量與幾何量無(wú)量綱量阻力系數(shù)Reynolds數(shù)實(shí)驗(yàn)確定無(wú)量綱量之間的關(guān)系CD

f

Re模型進(jìn)行風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)：首先，確定無(wú)量綱量之間的關(guān)系；然后，應(yīng)用于實(shí)際尺度問(wèn)題融驗(yàn)學(xué)理量會(huì)知之實(shí)論綱通體析觸系貫識(shí)

間驗(yàn)的分的同應(yīng)合真用矩實(shí)實(shí)數(shù)秩類研旁究通方法研究

復(fù)雜過(guò)程的要義分解Bernoulli-L’Hospital法則x0

B

x

0x

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B

x

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f

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