MBA數(shù)學(xué)考試概率知識(shí)點(diǎn)和常見問題及方法

(圓滿版)MBA數(shù)學(xué)考試概率知識(shí)點(diǎn)和常有問題及方法(圓滿版)MBA數(shù)學(xué)考試概率知識(shí)點(diǎn)和常有問題及方法(圓滿版)MBA數(shù)學(xué)考試概率知識(shí)點(diǎn)和常有問題及方法概率知識(shí)點(diǎn)/常有問題及方法知識(shí)點(diǎn)1.概率的見解和性質(zhì)在大批重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻次老是湊近某個(gè)常數(shù)，在它附近搖動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率PA.事件A的概率PA擁有以下性質(zhì)：關(guān)于每一個(gè)事件A,0PA1.關(guān)于不能夠能事件P1.關(guān)于必定事件P1.對(duì)隨意的兩事件A，B有PAUBPAPBPAIB.2.古典概型假如試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)根本事件，并且試驗(yàn)中每個(gè)根本事件發(fā)生的可能性同樣，這類試驗(yàn)稱為等可能概型或古典概型.對(duì)古典概型，假如樣本空間S中根本事件的總數(shù)是n，而事件A包含的根本事件數(shù)為m,那么事件A的概率是PAm.n比方：先后扔擲兩枚平均的硬幣，計(jì)算：〔1)兩枚都出現(xiàn)正面的概率；〔2)一枚出現(xiàn)正面，一枚出現(xiàn)反面的概率.【解析】兩次扔擲可能出現(xiàn)的結(jié)果是“正正〞“正反〞“反正〞“反反〞，并且這4種結(jié)果可能性都同樣，是等可能事件.〔1〕設(shè)事件A1為“兩枚都出現(xiàn)正面〞，在4種結(jié)果中，事件A1包含的結(jié)果只1有一種，所以PA1.〔2〕設(shè)事件A2為“一枚出現(xiàn)正面，一枚出現(xiàn)反面〞，在4種結(jié)果中，事件A2包含的結(jié)果有兩種，所以21PA2.423.和事件的概年〔1〕事件A1，A2，?，An，兩兩互不相容，PA1UA2ULAmPA1PA2LPAm.〔2〕隨意兩個(gè)事件A,B有PAUBPAPBPAB.〔3〕隨意三個(gè)事件

A,B，C有PAUBUCPA

PBPC

PAB

PBC

PAC

PABC.〔4〕立事件的概率

PAUA

PA

PA

1.比方：100件品中有10件次品，從中拿出5件行，求所取的5件品中至多有一件次品的概率

.【解析】至多有一件次品，能夠分紅兩：第1：只有一件次品的概率C1C41090.C1005第2C905：都是正品的概率5.C100C5C1C4所以，至多有一件次品的概率p9010900.9231.C5C51001004.互相獨(dú)立事件A,B是兩個(gè)事件，假如事件A的生和事件B的生互不影響，稱兩個(gè)事件是互相獨(dú)立的，于互相獨(dú)立的事件A和B，有PABPAPB；獨(dú)立事件A,B最少生一個(gè)的概率PAUB1PAPB；獨(dú)立事件A,B至多生一個(gè)的概率PAUB1PAPB；一性在算個(gè)獨(dú)立事件最少一個(gè)生〞的概率，是特別合用的.比方：甲、乙兩人各獨(dú)立投一次，假如兩人投中的概率分是0.6和0.5,算：〔1〕兩人都投中的概率；〔2〕恰有一人投中的概率；〔3〕最罕有一人投中的概率.【解析】設(shè)“甲投籃一次，投中〞為事件A，“乙投籃一次，投中〞為事件B，據(jù)題意,PB0.5,且A,B互相獨(dú)立.〔1〕PABPA，所以兩人都投中的概率為0.30.〔2〕恰有一人投中，能夠分為兩種狀況：甲中乙不中：AABPAPB0.3；甲不中乙中：AABPAPB0.2；所以恰有一人投中的概率是＋＝0.5.兩人都不中的概率為PAB10.510.8，故最少一人投中的概率為.p1PAB15.伯努利實(shí)驗(yàn)進(jìn)行n次同樣試驗(yàn)，假如每次實(shí)驗(yàn)的條件同樣，且各試驗(yàn)互相獨(dú)立，那么稱其為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).伯努利實(shí)驗(yàn)：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，假定每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種可能.即事件A發(fā)生或不發(fā)生，且每次試驗(yàn)中A事件發(fā)生的概率都同樣，那么這樣的試驗(yàn)稱作重伯努利試驗(yàn).在伯努利實(shí)驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次試驗(yàn)中事件A恰巧發(fā)生k0kn次的概率為PnkCnkpk1nk0,1,2,L,n.pk比方：某射手射擊1次，射中目標(biāo)的概率是，那么他射擊4次恰巧擊中目標(biāo)的概率是〔〕.【解析】P43C43p314330.2916.p4常有問題及方法一、根本古典概型問題〔1〕古典概型公式：PAm.n〔2〕古典概型的實(shí)質(zhì)其實(shí)是擺列組合問題，所以上一節(jié)課總結(jié)的擺列組合的方法及題型，在此問題中合用.〔3〕常用正難那么反的思路(對(duì)峙事件).例1.10件產(chǎn)品中有4件一等品，從中任取2件，那么最罕有1件一等品的概率為〔〕.(A)1(B)2(C)2(D)8(E)1333151515【解析】任取2件，沒有一等品的概率為C621C23，，故最罕有一件一等品的10概率為112.33【答案】B例2.某企業(yè)有9名工程師，張三是此中之一，從中隨意抽調(diào)4人構(gòu)成攻關(guān)小組，包含張三的概率是〔〕.(A)2(B)2(C)1(D)4(E)595399【解析】選張三，再從其他的8個(gè)人中隨意選3個(gè)即可，即為C83；故包含張三的概率為PC834.C949【答案】D例3.將2個(gè)紅球與1個(gè)白球隨機(jī)地放人甲、乙、丙三個(gè)盒子中，那么乙盒中最罕有一個(gè)紅球的概率為〔〕.(A)1(B)8(C)4(D)5(E)179279927【解析】方法一：可分為兩類：乙盒子中有1個(gè)紅球：先從2個(gè)紅球中選1個(gè)放入乙盒子，其他1個(gè)紅球在甲、丙兩個(gè)盒子中任選一個(gè)，白球在3個(gè)盒子中隨意選擇，即C21C213；乙盒子中有2個(gè)紅球：先將2個(gè)紅球放入乙盒子，白球能夠在3個(gè)盒子中隨意選擇，即C13;所以，概率為C21C123C315.339方法二：剔除法.乙盒中沒有紅球，那么紅球在甲丙兩個(gè)盒子中隨意選擇，白球在3個(gè)盒子中任意選擇，即22C31，所以乙盒中最罕有1個(gè)紅球的概率為122C315.339二、古典概型之骰子問題〔1〕骰子問題必用窮舉法.〔2〕常與解析幾何聯(lián)合察看，一般需要轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏仁角蠼?例1假定以連續(xù)擲兩枚骰子分別獲得的點(diǎn)數(shù)a與b作為點(diǎn)M的坐標(biāo)，那么點(diǎn)M落入圓x2y218內(nèi)(不含圓周〕的概率是〔〕.(A)7(B)2(C)1(D)5(E)1136941836【解析】點(diǎn)M落入圓x2y218內(nèi)，即a2b218，那么a,b1,1、1,2、1,3、1,4、2,1、2,2、2,3、3,1、3,2、4,1，合計(jì)10種，所以，落在圓內(nèi)的概率P10536.18【答案】D例2假定以連續(xù)兩次擲色子獲得的點(diǎn)數(shù)a和b作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，那么點(diǎn)Pa,b落在直線xy6和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)的概率為〔〕.(A)1(B)7(C)2(D)1(E)56369418【解析】落在三角形內(nèi)部，只要要ab6即可，利用窮舉法可知，P點(diǎn)可認(rèn)為：1,1、1,2、1,3、1,4、2,1、2,2、2,3、3,1、3,2、4,1共計(jì)10種，總合的不同樣可能點(diǎn)數(shù)為6×6＝36(種).故所求概率為P105.3618【答案】E三、古典概型之幾何體涂漆問題將一個(gè)正方體六個(gè)面涂成紅色，此后切成n3個(gè)小正方體，那么〔1〕3面紅色的小正方體：8個(gè)，位于原正方體角上.〔2〕2面紅色的小正方體：12n2個(gè)，位于原正方體棱上.〔3〕1面紅色的小正方體：6n22個(gè)，位于原正方風(fēng)光上(不在棱上的部分).〔4〕沒有紅色的小正方體：n3個(gè)，位于原正方體內(nèi)部.2例1．將一個(gè)白木質(zhì)的正方體的六個(gè)表面都涂上紅漆，再將它鋸成64個(gè)小正方體.從中任取3個(gè)，此中最罕有1個(gè)三面是紅漆的小正方體的概率是〔〕.【解析】3面有紅漆的小正方體位于大正方體的極點(diǎn)上，有8個(gè)；任取3個(gè)最少1個(gè)三面是紅漆的反面是任取3個(gè)沒有1個(gè)三面是紅漆，故所求概率為P1C56311653248.C64【答案】E例2．將一塊各面均涂有紅漆的正立方體鋸成125個(gè)大小同樣的小正立方體，從這些小正立方體中隨機(jī)抽取一個(gè)，所取到的小正立方體最少兩面涂有紅漆的概率是〔〕.【解析】小立方體位于大正立方體的角上時(shí)，有3面為紅色，數(shù)目為8個(gè)；小立方體位于大正立方體的棱上時(shí)，有2面為紅色，數(shù)目為36個(gè).故所求概率P44.125【答案】D練習(xí)：將一個(gè)表面漆有紅色的長方體切割成假定干個(gè)體積為1立方厘米的小正方體，此中，一點(diǎn)紅色也沒有的小正方體有3塊，那么本來的長方體的表面積為〔〕平方厘米.(A)32(B)64(C)78(D)27(E)18【解析】沒有紅色的小正方體位于本來的長方體的內(nèi)部，這三個(gè)小正方體一定是一字排開的，長寬高分別為1，1，3；所以，原長方體的長寬高應(yīng)為3,3,5.故表面積為2×3×3＋4×5×3＝78(平方厘米).四、數(shù)字之和問題例1．袋中有6只紅球、4只黑球，今從袋中隨機(jī)拿出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，那么得分不大于6分的概率是〔〕.(A)23(B)4(C)25(D)134274221【解析】得分不大于6,分為三種狀況：兩紅兩黑，三黑一紅，四黑；故得分不大于6的概率為C62C42C16C43C60C4423C10442.【答案】A例2．假定從原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)M向x軸的正向挪動(dòng)一個(gè)和兩個(gè)坐標(biāo)單{2甿甩率分別是2和1，那么該質(zhì)點(diǎn)挪動(dòng)3個(gè)坐標(biāo)單位，抵達(dá)x3的概率是〔〕.33(A)19(B)20(C)7(D)22(E)23272792727【解析】31221111，故可分為三類：先挪動(dòng)1個(gè)單位，再挪動(dòng)2個(gè)單位：P221；33先挪動(dòng)2個(gè)單位，再挪動(dòng)一個(gè)單位：P1123；323三次挪動(dòng)1個(gè)單位：P3.3故抵達(dá)x3的概率為PPP27.P20【答案】B五、袋中取球問題袋中取球模型有3類：〔1〕無放回取球模型.設(shè)口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，逐個(gè)拿出假定干個(gè)球，看后不再放回袋中，那么恰巧取了mma個(gè)白球，nnb個(gè)黑球的概率是PCamCbnCmn；ab【拓展】抽簽?zāi)Ｐ?設(shè)口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，逐個(gè)拿出假定干個(gè)球，看后不再放回袋中，那么第k次取到白球的概率為a，與k沒關(guān).Pab〔2〕一次取球模型.設(shè)口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，一次拿出假定干個(gè)球，那么恰巧取了mma個(gè)白球，nnb個(gè)黑球的概率是PCamCbnCmn；可見一次取球模型的概率與無放ab回取球同樣.〔3〕有放回取球模型.設(shè)口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，逐個(gè)拿出假定干個(gè)球，看后放回袋中，那么恰好取了kka個(gè)白球，nknkb個(gè)黑球的概率是knkPCnkab.abab上述模型可理解為伯努利概型：口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，從中任取一個(gè)球，將這個(gè)實(shí)驗(yàn)做n次，出現(xiàn)了k次白球，nk次黑球.例1．袋中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，求：〔1〕獲得的兩球同色的概率；〔2〕獲得的兩球最罕有一個(gè)是白球的概率.【解析】從8個(gè)球中任取2個(gè)球的取法為C82，所以〔1〕任取兩球同色的取法為22C52C32C5C3,所以，取兩球同色的概率為P.C822〔2〕任取兩球全部是黑球的概率C32，所以，任取兩球最罕有一白球的概率為C82P1C32.C8例2．小袋中有10個(gè)小球，此中有7個(gè)黑球，3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)小球，最罕有一個(gè)是紅球的概率為〔〕.【解析】方法一：C71C317恰巧有1個(gè)紅球的概率為PA2；C1015恰巧有2個(gè)紅球的概率為PBC321；C10215所以最罕有一個(gè)紅球的概率是PAUBPA718PB15.1515方法二：剔除法.從10個(gè)小球中任取C7272個(gè)，全為黑球的概率為,C21510事件A是“從10個(gè)球中任取2球，最少一個(gè)是紅球〞的對(duì)峙事件，所以最少有一個(gè)紅球的概率P178.1515【答案】D例3．在一個(gè)不透明的布袋中裝有2個(gè)白球、m個(gè)黃球和假定干個(gè)黑球，它們只有顏色不同樣.那么m3.〔1〕從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到白球的概率是；〔2〕從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到黃球的概率是0.3.【解析】獨(dú)自明顯不充分，聯(lián)立兩個(gè)條件：由條件〔1〕：摸到白球的概率，P2，得n10，可知一共有10個(gè)球；n由條件〔2〕：Pm3，可知黃球?yàn)?個(gè)；0.3，得m10故聯(lián)立起來充分.【答案】C練習(xí)：某裝置的啟動(dòng)密碼是由0到9中的3個(gè)不同樣數(shù)字構(gòu)成，連續(xù)3次輸入錯(cuò)誤密碼，就會(huì)致使該裝置永遠(yuǎn)封閉，一個(gè)僅記得密碼是由3個(gè)不同樣數(shù)字構(gòu)成的人能夠啟動(dòng)此裝置的概率為〔〕.(A)1(B)1(C)1(D)1(E)11201682407201000【解析】分為三類：11第一類：試一試一次即成功的概率為A103720；71911第二類：第一次試一試不能夠功，第二次試一試成功的概率為719；720720第三類：第一、二次試一試不能夠功，第三次試一試成功的概率為71971811720719718720由加法原理，能啟動(dòng)裝置的概率為311.720240【迅速得分法】抽簽原理的應(yīng)用(不放回的取球).本題相當(dāng)于有720個(gè)簽，抽3個(gè)抽中正確密碼即可，故概率為31.720240【答案】C六、獨(dú)立事件的概率獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：PABPAPB.例1．檔案館在一個(gè)庫房中安裝了n個(gè)煙火感覺報(bào)警器，每個(gè)報(bào)警器碰到煙火成功報(bào)警的概率為p.該庫房遇煙火發(fā)出報(bào)警的概率抵達(dá)0.999.〔1〕n3，p0.9；〔2〕n2，p0.97.【解析】條件〔1〕:均未報(bào)警的概率為310.90.001，故報(bào)警概率為10.0010.999,條件〔1〕充分.條件〔2〕:均未報(bào)警的概率為12，故報(bào)警概率為，故條件〔2〕充分.【答案】D例2．圖7-9是一個(gè)簡單的電路圖，S1,S2,S3表示開關(guān)，隨機(jī)閉合S1,S2,S3中的兩個(gè)，燈泡發(fā)光的概率是〔〕.(A)1(B)1(C)1(D)1(E)264323【解析】閉合兩個(gè)開關(guān)，燈泡發(fā)光的狀況為：S1S2或S2S3，共2種狀況；閉合兩個(gè)開關(guān)的全部可能狀況為：S1S2或S1S3或S2S3，共3種狀況.故概率為2.3【答案】E例3．在10道中，甲能答8，乙能答6.假定某次考從10道中隨機(jī)抽出3道作考，最少答2才算合格，甲、乙兩人考都合格的概率是〔〕.(A)28(B)2(C)14(D)26(E)8453154515C83C82C2114【解析】甲考合格的概率是C3；乙考合格的概率是1510C63C62C412C331014228甲、乙兩人互相獨(dú)立，所以他考都合格的概率3.1545【答案】A七、關(guān)〔1〕