華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題C

華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題C華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題C華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題C.第十九屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題C一、填空題〔每題10份，共80分〕21.計算：+=_____0.252+1245【答案】1【考點】計算：分數(shù)小數(shù)綜合運輸【解析】原式

1231在右側的算式中，每個漢字代表0至9這十個數(shù)字中的一個，相同漢字代表相同數(shù)字、不一樣漢字代表不一樣數(shù)字，那么“數(shù)學比賽〞所代表的四位數(shù)是．【答案】1962【考點】組合：數(shù)字謎【解析】遇到減法數(shù)字謎平時變成加法會更利于解析：比賽數(shù)學比賽2024賽賽個位為4，所以賽為2或7，假設賽為7那么會進位，和的十位只能是奇數(shù)，所以賽2；競競個位為2，假設競2，原式為1220212021，有重復數(shù)字；所以競6，數(shù)學比賽1962．如以以下圖，在直角三角形ABC中，點F在AB上且AF2FB，四邊形EBCD是平行四邊形，那么FD:EF為．【答案】2:1【考點】幾何：沙漏模型【解析】AC∥BE由沙漏模型可知FD:EFAF:FB2:1..以以下圖是由假設干塊長12厘米、寬4厘米、高2厘米的積木搭成的立體的正視圖，上面標出了假設干個點．一只螞蟻從立體的左側地面經過所標出的點爬到右側的地面．如果螞蟻向上爬行的速度為每秒2厘米，向下爬行的速度為每秒3厘米，水平爬行的速度為每秒4厘米，那么螞蟻最少爬行了多少秒？【答案】40秒【考點】組合：最值問題【解析】要想時間最少，那么需要按如圖中的粗線爬行；螞蟻向上、向下爬行的最短行程是1226236厘米，水平爬行的行程是1232240厘米，所以最少用時36236340440秒5.設a，b，c，d，e均是自然數(shù)，并且abcde，abc4d5e300，那么ab的最大值為．【答案】35【考點】組合：最值問題【解析】a和b是五個數(shù)中最小的兩個，要想ab最大，那么希望這五個數(shù)盡量湊近，先估計再局部調整；3001234520，那么先讓c20．而18219320421522310，大于300，調整得：17218319420521295，離300差5，那么最后讓5e522即可．所以ab的最大值171835．也可經過計算證明ab最大只能取到35：..300a2b3c4d5ea2b3(b1)4(b2)5(b3)a14b26a6(a1)7bb267(ab)b3215(ab)322可得ab3511156.現(xiàn)有甲、乙、丙三個容量相同的水池．一臺A型水泵單獨向甲水池注水，一臺B型水泵單獨向乙水池注水，一臺A型和一臺B型水泵一期向丙水池注水．注滿乙水池比注滿丙水池所需時間多4個小時，注滿甲水池比注滿乙水池所需時間多5個小時，那么注滿丙水池的三分之二需要個小時．【答案】4【考點】應用題：工程問題【解析】設注滿丙池用x小時，那么注滿乙池用時x4小時，注滿甲池用時x9小時；利用丙池工效應該等于甲乙兩池工效之和可得：111x4x9xx9x41x4x9xx22x13113x36x2x213xx213x36x236x6所以注滿丙池的三分之二需要624小時3注:平時工程問題都設工效為未知數(shù)，但此題若是設工效，那么方程特別難解，需要用到初中知識因式分解中的十字交織法，對于小學生來說是無法做的．而此題解法比較巧妙，設丙2池的時間，最后只要要解x36即可，所以有時還是需要有打破性的思想，學會打破老例，追求出路．用八塊棱長為1cm的小正方體堆成一個立體圖形，其俯視圖如以以下圖所示，那么共有種不一樣的堆法．〔經過旋轉能重合的算一種堆法〕【答案】10【考點】計數(shù)：分類列舉【解析】法一：〔先每列放幾塊談論〕可以直接分類列舉，也可以先再每個地址放一塊，這樣只要要解析剩下4塊的方法即可4044000，1種；00..43103113300，3種，0，0〔這兩個不一樣樣，此題的易錯點〕，1000422022200，2種，0，20020022142110，3種，1，1，01114111111，1種，．11共：1323110種法二：〔按每層放幾塊談論〕基層已用了四塊小方體，考慮第二層分別有一、二、三、四塊的情況．見以以下圖，第二層有一塊，只有1種堆法；第二層有兩塊，有5種堆法；第二層有三塊，有3種堆法；第二層有四塊，只有1種堆法．總計有10種堆法．8.如圖，在三角形ABC中，AF2BF，CE3AE，CD4BD，連接CF交DE于P點，那么EP_____DP.【答案】

.158【考點】幾何：風箏模型【解析】AEFPBDC連接DF和EF．由于AF2BF，所以S△BCF1S△ABC,又因為CD4BD，3△4△BCF414△ABC；553151同理可得S△EFC1EPS△EFC2S△ABC15S△ABC；所以4S△ABC．2DPS△DCF815注：填空題所以直接使用了風箏模型的結論，若是是解答題同學們最好自己證明一次．二、解答以下各題〔每題10分，共40分，要求寫出簡要過程〕9.有三個農村在一條公路邊，分別在以以下圖所示的A，B和C處．A處農場年產小麥50噸，B處農場年產小麥10噸，C處農場年產小麥60噸．要在這條公路邊修建一個倉庫收買這些小麥，假設運費從A到C方向是每噸每千米1.5元，從C到A方向每噸每千米1元．問庫房應該建在哪處才能使運費最低？【答案】A處【考點】應用題：分類談論【解析】談論變化趨勢，比較A、B兩點設庫房可知A→B運費越來越高，而B→A那么運費越來越低，同理可知C→B運費越來越低，而B→C那么運費越來越高．詳細比較三點：假設建在A處，運費為：60〔5001200〕1105001107000元假設建在B處，運費為：601200150500109500元假設建在C處，運費為：50〔5001200〕1012001.514550元..所以建在A處運費最低．把1,2,...,2021,2021中的每個分數(shù)都化成最簡分數(shù)，最后獲取的以20212021202120212021為分母的所有分數(shù)的和是多少？【答案】468【考點】數(shù)論：因數(shù)倍數(shù)【解析】全局部數(shù)都化成最簡分數(shù)分母還是2021，那么說明原分子和2021互質，接下來計算1~2021中，與2021互質的數(shù)有有多少個即可，這一步有兩種方法：法一：〔容斥原理〕202121953，20211006，2021=105，202137，202152，2195322021，20211；所以1~2021中，與2021互質的數(shù)有218195353202110061053752181936個；法二：〔利用歐拉公式直接計算〕由于202121953，所以1~2021中，與2021互質的數(shù)有2021111111936個；21953而這936個數(shù)中，只要有一個a是最簡分數(shù)，必然也有一個2021a也是最簡分數(shù)，20212021兩個一組和為1〔如：120211；320211〕，所以他們的和為20212021202120212468．上面有一顆星、兩顆星和三顆星的積木分別見以以下圖的〔a〕，〔b〕，和〔c〕．現(xiàn)有5塊一顆星，2塊兩顆星和1塊三顆星的積木，若是用假設干個這些積木在地面上組成一個五顆星的長條，那么一共有多少種不一樣的擺放方式？〔以以下圖〔d〕是其中一種擺放方式〕．【答案】13【考點】計數(shù)：分類列舉、乘法原理【解析】先拆分5，再算每種情況有多少種擺法即可兩塊：532,2種5311,3種三塊：221,3種四塊：52111,4種五塊：511111,1種..共：2334113種．12.某自然數(shù)減去39是一個完好平方數(shù)，減去144也是一個完好平方數(shù)，求此自然數(shù)【答案】160，208，400，2848【考點】數(shù)論：因數(shù)倍數(shù)、分類談論【解析】設這個數(shù)為a，那么a39m2，a144n2m2n2mnmna39a1441051051105335521715〔1〕m1105253,a5353392848；〔2〕m335219,a191939400；〔3〕m521213,a131339208；〔4〕m715211,a111139160；所以a可能為160，208，400和2848．..三、解答以下各題〔每題15分，共30分，要求寫出詳細過程〕如圖，圓周上均勻地標出十個點，將1~10這十個自然數(shù)分別放到這十個點上，用過圓心的一條直線繞圓心旋轉，當線上沒有標出的點時，就把1~10分成兩組，每種擺放方式，隨著直線的轉動有五種分組方式，對于每種分組都有一個兩組數(shù)和的乘積．記五個積中最小的值為K，問所有的擺放中，K最大為多少？【答案】756【考點】組合：最值問題、構造與論證【解析】123L1055，共55要分成兩組，那么兩組的和必然為55，由最值原理：和必然，差小積大可知，當這兩組的和分別為27、28時，乘積為2728756最大．而K要取到756，需要構造出一種擺法能實現(xiàn)五個分組方式中，兩個組的和都為27、28．經試一試，可以實現(xiàn)，構造方法不唯一，以以下圖為兩種不一樣的情況．523299846837751061014114.將每個最簡分數(shù)n〔其中mn,為互質的非零自然數(shù)〕染成紅色或藍色，染色規(guī)m那么以下：〔1〕將1染成紅色；〔2〕相差為1的兩個數(shù)顏色不一樣；〔3〕不為1的數(shù)