七年級(jí)數(shù)學(xué)思維探究(16)平面直角坐標(biāo)系(含答案)

七年級(jí)數(shù)學(xué)思維探究（16）平面直角坐標(biāo)系（含答案）七年級(jí)數(shù)學(xué)思維探究（16）平面直角坐標(biāo)系（含答案）16．平面直角坐標(biāo)系解讀課標(biāo)在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系，從而坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)x,y之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用平面直角坐標(biāo)系是確定位置的有效方法之一，解與此相關(guān)的問(wèn)題需注意：理解點(diǎn)的坐標(biāo)意義；熟悉象限內(nèi)的點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征；善于促成坐標(biāo)與線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化．如果說(shuō)數(shù)軸撞開(kāi)了數(shù)形結(jié)合的“一線(xiàn)天”，那么直角坐標(biāo)系則撞開(kāi)了一片廣闊的天地．問(wèn)題解決例1 （1）已知點(diǎn)Px,3x6，且點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）如圖，圍棋盤(pán)放置在某個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，白棋②的坐標(biāo)為7,4，白棋④的坐標(biāo)為,8，那么，黑棋的坐標(biāo)應(yīng)該分別．22134試一試 對(duì)于（1），由橫縱坐標(biāo)的聯(lián)系建立方程．例2 如圖，一個(gè)粒子在第一象限內(nèi)及x、y軸上運(yùn)動(dòng)，在第一分鐘內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到0，而后它接著按圖所示在x軸、y軸平行的方向上來(lái)回運(yùn)動(dòng)且每分鐘移動(dòng)1個(gè)長(zhǎng)度單位，那么在1989分后這個(gè)粒子所處的位置是（ ）．A．,44 B．,45 C．,45 D．,35yy65432101 2 3 4 5 6 7x試一試從尋找第一象限特殊點(diǎn)的坐標(biāo)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系入手．例3 如果將點(diǎn)P繞定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180后與點(diǎn)Q重合那么稱(chēng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)定點(diǎn)M叫做對(duì)稱(chēng)中心，此時(shí)，點(diǎn)MPQA、B、O的坐標(biāo)分別為0、1、,0P

P，…中相鄰兩點(diǎn)都關(guān)于△ABO的一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P1 2 3 1P2

AP2

P3

BP3

P4

關(guān)于點(diǎn)OP4

P5

關(guān)于點(diǎn)A對(duì)P5

P6

關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P6

P7

關(guān)于點(diǎn)OABOAB，1,1O，…且這些對(duì)稱(chēng)中心依次循環(huán)，已知P的坐標(biāo)是1

PP2 7

、P100

的坐標(biāo)．yyB1OP11Ax試一試 在操作的基礎(chǔ)上，探尋點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．例4 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A0,0，B,0，C,5，D2,7．求此四邊形的面積．在坐標(biāo)軸上，你能否找到一點(diǎn)PS△PBC

50?若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．yyDCABx試一試 對(duì)于通過(guò)作輔助線(xiàn)把S四邊形ABCD

表示為常規(guī)圖形面積的和差；對(duì)于（2），因P點(diǎn)位置不確定，故需分類(lèi)討論．例5 如圖已知OABC是一個(gè)長(zhǎng)方形其中頂點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為,a和,a點(diǎn)E在ABAE1ABF在OC上，且OF1OC．點(diǎn)G在OA上，且使的面積為203 3的面積為16，試求a的值．yAyAEBGOFCxyA(0,a)E(3,a)B(9,a)G(0,b)O(0,0)F(3,0)C(9,0)x圖① 圖②解設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為,bb0，∵S長(zhǎng)方形OABC

S△GEC

S△OGC

S△

S ，△BEC∴9a2019b13ab16a，即b3a20．①2 2 2 2 3同理，由S

長(zhǎng)方形OABC

S△GFB

S△

S△OGF

S ，△BFC得9a1619ab13b16a，即3a326b．②2 2 2解由①②聯(lián)立的方程組得a6．棋盤(pán)上的數(shù)學(xué)例6 下象棋是很多人喜愛(ài)的事，你知道象棋里充滿(mǎn)著數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？如圖①，象棋盤(pán)上有一只馬，跳七步能回到原來(lái)的位置上嗎？若能，請(qǐng)給出一種跳法；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．馬馬圖①yPyPOx分析與解不論怎么跳，馬都不能回到原來(lái)的位置，理由如下：如圖②，我們可在棋盤(pán)上建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)這只馬所在的位置P的坐標(biāo)為x

,y．那么，馬跳 0 0一步后的位置的坐標(biāo)應(yīng)為

xx,yy

，這里的x

只可能是1，1，2，2這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)（想一想，為什么）．

0 1 0 1 1 1同樣，跳第二步后，馬所在的位置的坐標(biāo)應(yīng)為x0

xx1

,yy0

y，這里的xy2 2

也只可能是1，12．依此類(lèi)推，跳七步后，馬所在的位置的坐標(biāo)為xxx

xx

xxx

,yyy

yy

yy

y．如果這時(shí)馬又回到原來(lái)的位置0 12 3 4 5 6 7

0 1 2

3 4 5 6 7x,y0

，那么有x0

xx1

xx3

xxx5 6

x，y0

yy1

yy3

yyy5 6

y．0x

xx

xxx

0，yy

yy

yyy01 2 3

5

7

4

7 將兩式相加，有

xy 1 1

xy2 2

xy3 3

xy4 4

xy5 5

xy6 6

xy7 7

0．由于上式中14個(gè)數(shù)都只能取112，而且每一次跳的兩個(gè)坐標(biāo)之和不能為042和x1

y，x1

y，x2

y，x3

y，x4

y，x5

y，x6

y這七個(gè)數(shù)只能取1，1，3，3．7但是不論怎樣取法，由于奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和為奇數(shù)，所以這樣取出的七個(gè)數(shù)的和不可能等于0．故馬跳七步不可能回到原來(lái)的位置．?dāng)?shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到△A'OB'，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為,b，則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為 ．yyA'B'AOBx2．已知點(diǎn)Pa1,5和P2,b關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則ab200的值 ．1 2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排列，如0，2,0,2，2,2……根據(jù)這個(gè)規(guī)律第2012個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．321O1234xy在平面直角坐標(biāo)系xOy中我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)已知點(diǎn)A0,4點(diǎn)B是x軸正半軸上的整點(diǎn)，記△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，當(dāng)m3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值；當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí)，m （用含n的代數(shù)式表示yyy4321O123 45678 9 10 11 12 13xPa1,2a3x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是（）．A．a(chǎn)1 B．1a3 C．3a1 D．a(chǎn)32 2 2如果點(diǎn)P,12m在第四象限，那么m的取值范圍是（ ）．A．0m1 B．1m0 C．m0 D．m12 2 2MN在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，線(xiàn)段MNy軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（ ）．A．,2 B．,2 C．,2 D．,2

的坐標(biāo)為1yy-4O4 xMN-4的55（說(shuō)A點(diǎn)在2]A黑,7 白,3 B黑,7 白,2 黑,7 白,3 黑,7 白,6 A9A876543210 1 2 3 4 5 6 7 8 9形的對(duì)角線(xiàn)走．例如：圖中“馬”所在的位置可以直接走到點(diǎn)AB處．如果“帥”位于點(diǎn),0，“相”位于點(diǎn),2，則“馬”所在的點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)D的坐標(biāo)．C點(diǎn)，為了到達(dá)D走路線(xiàn)，并用坐標(biāo)表示．楚河楚河漢界CB相AD馬帥在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O每次移動(dòng)1個(gè)單位．其行走路線(xiàn)如圖所示．yAyA1A2A5A6A9A10O A3 A4 A7 A8 A11 A12 x填寫(xiě)下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A（ （

（ A4n

1 3 12的坐標(biāo)（n是正整數(shù)）．A100

到點(diǎn)A101

的移動(dòng)方向．思維方法天地在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)，請(qǐng)你觀察圖中的正方形ABCD，111 1ABCD2 2 2

，ABCD33 3

ABCD101010 10

四條邊上的整點(diǎn)共個(gè)．yyA3A2321D3D2A1D1-2O1C12 3xB1B2 C2B3 C3ABCD在坐標(biāo)系中的位置如圖，將正方形繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90B點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．yyB(2,4)A(0,3)C(3,2)D(1,1)Ox如圖，把自然數(shù)按圖的次序排在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)自然數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)坐標(biāo)．1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn),0，3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是1，16的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是2，那么2004的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．yy37 36 353433 323117 16151413 30181954613212112928O2089x21722272324102526x3myxy的方程組3mx2y3的解為坐標(biāo)的點(diǎn)xx3my范圍是（ ）．A．m1 B．m2 C．2m1 D．1m99 9 2在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn),b，若規(guī)定以下三種變換：①fa,ba,b．如f1,31,3；g,b,ag3,1；ha,ba,b．如33．按照以上變換有：fg2,3f3,23,2，那么，fh5,3等于（ ）．A．,3 B．,3 C．,3 D．,3設(shè)平面直角坐標(biāo)系的軸以1cm作為長(zhǎng)度單位的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P,3，Q4,0，Rk,5，其中0k4，若該三角形的面積為8cm2，則k的值是（ ）．A．1 B．8 C．2 D．13 E．13 4 2BCDExy軸，物體甲和物體乙由點(diǎn)A2,0方形BCDE1針?lè)较蛞悦棵?個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，求兩個(gè)物體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后的第2012次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)．yyC1-2D-1O 1BA2Ex-1在平面直角坐標(biāo)系中，如圖①，將線(xiàn)段AB平移至線(xiàn)段CDACBD．直接寫(xiě)出圖中相等的線(xiàn)段、平行的線(xiàn)段；A30B,，點(diǎn)CyDS△ACD

5，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；ME,2a1、F,3，請(qǐng)你探索是否存在以?xún)蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)EF為端點(diǎn)的線(xiàn)段EF平行于線(xiàn)段OM且等于線(xiàn)段OM以點(diǎn)OMEF為頂點(diǎn)的四邊形的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．yCyCDAOxByOMx圖① 圖②應(yīng)用探究樂(lè)園AOCD是放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形，其中OA、CD的坐標(biāo)分別為,8,0,8P在梯形內(nèi)，且S△PAD

S△

，S△

S△

，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．yyADPOCx操作與研究1 1（）對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以31個(gè)單位，得到點(diǎn)PP'．點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，對(duì)線(xiàn)段AB上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線(xiàn)段A'B'，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'．如圖①，若點(diǎn)A表示的數(shù)是3，則點(diǎn)A'表示的數(shù)；若點(diǎn)B'表示的數(shù)是2，則點(diǎn)B表示的數(shù)已知線(xiàn)段AB上的點(diǎn)E經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E'與點(diǎn)E重合則點(diǎn)E示的數(shù)．（2）xOy中，對(duì)正方形ABCD及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)a，將得到的點(diǎn)先向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位0,n0AB'CDABA'B'．已知正方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)F經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F'與點(diǎn)F重合，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．yDCyDCD' C'A'(-1,2)B'(2,2)A(-3,0)OB(3,0) x-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4圖①圖②16．平面直角坐標(biāo)系問(wèn)題解決例1 （1）,3、,6；（2）6,6、4,7例2 D 弄清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，先觀察橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的相同的點(diǎn),0，粒子運(yùn)動(dòng)了0分鐘；，粒子運(yùn)動(dòng)了2122粒子運(yùn)動(dòng)了6233，粒子運(yùn)動(dòng)了12344粒子運(yùn)動(dòng)了2045分鐘，將向下運(yùn)動(dòng)，…，于是將4444點(diǎn)處粒子運(yùn)動(dòng)了444519801989分鐘后，粒子所在位置是44,35，故選D．例3 點(diǎn)

P6

1,1，P1,1．7 1 2 7∵1006164，∴點(diǎn)P 與點(diǎn)P坐標(biāo)相同，為3．100 4例4 （1）S

44．四邊形ABCD（2）①PxPx,0PBx7S△PBC

1x7550，2x27或13，P27,0

13,0．P

1y軸上，延長(zhǎng)CB

2E點(diǎn)，過(guò)C作CFyF

0,y，EyyFCOBxE∴S△CFE

1y2

9，S△BOE

17y，2 ES梯形CFOB

1952又∵S S S

y

35，∴E0,35．△CFE

△

梯形CFOB

22E 22設(shè)P0,y，當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)上方時(shí)，PEy35，2∴S△

S△

S△

，解得y65；2當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)下方時(shí)，PE35y，2∴S△

S△

S△

，解得y135，2P27,0

13,0，P0

65，P0,1351 2滿(mǎn)足題意．?dāng)?shù)學(xué)沖浪

3 2 4 21．b,a 2．1345 以最外邊的正方形邊上的點(diǎn)為準(zhǔn)，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)等于該正方形右下角（即x軸上）標(biāo)的平方．4．3或4；6n3 5．B 6．D 7．D 8．C9．（1）303,1；（2）略10．（1）A,1，

0，A

,0；（2）A

2n,0；（3）向上1 3 12 4n80 提示：每個(gè)正方形四條邊的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為S8n12．,022 所有奇數(shù)的平方數(shù)都在第四象限的角平分線(xiàn)上且數(shù)12對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為n,n，于是數(shù)2025452對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為22,22，而4，故2004對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為22．14．B 15．B 16．B17．因?yàn)殚L(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為4和2，所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為12．因?yàn)槲矬w乙的速度是物體甲的2倍，故相同時(shí)間內(nèi)，物體甲與物體乙行的路程比為1:2．因?yàn)榈?12112，故物體甲行的路程為1214，3物體乙行的路程為1228BC邊相遇，此時(shí)相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為1,1；3因?yàn)榈?122242418，3物體乙行的路程為24216DE邊相遇．此時(shí)相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為1,1；3因?yàn)榈?1233636112，3物體乙行的路程為36224，所以它們?cè)?/p>