經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)(第二版) 8-2一元線性回歸分析

§

8.1

點估計與直方圖§8.2

一元線性回歸分析

第八章數(shù)據(jù)處理1

一.相關(guān)關(guān)系與相關(guān)系數(shù)

二.一元線性回歸方程§8.2一元線性回歸分析2案例1

某企業(yè)2003年的稅前利潤為萬元,按稅收法應(yīng)交納30%所得稅,你能由稅前利潤馬上得到稅后利潤嗎?3

現(xiàn)有某市歷年汽車擁有量(百萬輛)和某種型號的輪胎銷售量(千只)數(shù)據(jù),如表案例2776759524440輪胎銷售量20.319.819.418.918.318汽車擁有量

生產(chǎn)該型號輪胎的廠商欲根據(jù)這些數(shù)據(jù),預(yù)測當(dāng)汽車擁有量達到22.3(百萬輛)時,該種型號輪胎的銷售數(shù)量,以便安排生產(chǎn).你如何幫助他實現(xiàn)這一愿望?4

一.相關(guān)關(guān)系與相關(guān)系數(shù)變量間的關(guān)系

是確定性關(guān)系.如圓的面積與圓的半徑之間有著確定的函數(shù)關(guān)系:案例1與案例2

分析

是非確定性關(guān)系.如人的身高和體重的關(guān)系:一般來說,身材較高的人,體重較重,但身高相同的人,體重未必相同,這便是相關(guān)關(guān)系;

這樣只要給出稅前利潤的值,代入上式,馬上得到惟一的稅后利潤的值.相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系

再如案例１中,因納稅額是稅前利潤的30%,自然稅后利潤是稅前利潤的70%,即變量與變量之間有函數(shù)關(guān)系:體重Y身高X5相關(guān)關(guān)系

再如案例2,由表中數(shù)據(jù)可以看出,輪胎銷售量與汽車擁有量之間不是函數(shù)關(guān)系,但有隨著增加而增加的趨勢,與之間是相關(guān)關(guān)系.

類似地,人的年齡與血壓的關(guān)系;居民收入與食品支出的關(guān)系等,都是相關(guān)關(guān)系.62.相關(guān)關(guān)系的描述與測度相關(guān)分析所要解決的問題是,根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系.若存在,如何描述變量之間的關(guān)系并對其關(guān)系的強度進行度量?

對于兩個變量

和

的

對數(shù)據(jù),記作,通過觀察或試驗可得到關(guān)于

和7(1)散點圖標(biāo)系中用一個對數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中形成的點稱為散點.點表示,這樣的圖稱為散點圖.從中可直觀地看出變量間的關(guān)系形態(tài)及關(guān)系強度.散點圖描述兩個變量之間的大致關(guān)系.散點圖是描述變量之間關(guān)系的一種直觀方法.我們用橫軸代表,用縱軸代表每對數(shù)據(jù)在平面直角坐正線性相關(guān)負(fù)線性相關(guān)8(1)散點圖完全線性相關(guān)非線性相關(guān)完全非線性相關(guān)不相關(guān)9案例2

如何根據(jù)實驗數(shù)據(jù)確定變量間的函數(shù)關(guān)系?

將這對數(shù)據(jù):看作是平面直角坐標(biāo)中的個點若這個點大致呈直線分布

10(1)散點圖案例2的散點圖

(示意圖)

選擇汽車擁有量(單位:百萬輛)為橫軸,選擇輪胎銷售量(單位:千只)為縱軸.的增加而增加,而且它們大致呈線性相關(guān)關(guān)系.從散點圖可看出,輪胎銷售量隨汽車擁有量11(2)相關(guān)系數(shù)通過散點圖可判斷兩個變量間有無相關(guān)關(guān)系,并對變量間的相關(guān)形態(tài)做出大致的描述,但散點圖不能準(zhǔn)確地反映變量之間相關(guān)關(guān)系的密切程度.時的方向,我們引入相關(guān)系數(shù).為準(zhǔn)確度量兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的密切程度及共同變化12(2)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是用來衡量變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的量.

定義8.1

稱

為變量與變量之間的相關(guān)系數(shù).其中

13(2)相關(guān)系數(shù)變量與變量之間的相關(guān)系數(shù):的計算公式:整理左式,得相關(guān)系數(shù)14(2)相關(guān)系數(shù)一般地,若兩個變量為正相關(guān);若兩個變量為負(fù)相關(guān).越接近于1,相關(guān)程度越大;越接近于0,相關(guān)程度越小.當(dāng)時,視兩個變量高度相關(guān);當(dāng)時,視兩個變量中度相關(guān);當(dāng)時,視兩個變量低度相關(guān);時,視兩個變量關(guān)系極弱,當(dāng)

可看作不相關(guān).15案例2相關(guān)系數(shù)的計算

為計算案例2中汽車擁有量和輪胎銷售量的相關(guān)系數(shù),列表如下:

序號1234561818.318.919.419.820.3404452596777324.00334.89357.21376.36392.04421.09160019362704348144895229720805.2114.73392196.59201396542.3982.81144.61326.61563.1表1點擊此處,回到一般程序.16案例2相關(guān)系數(shù)的計算

114.73392196.59201396542.3序號由上表知,17案例2相關(guān)系數(shù)的計算

于是,由公式這說明二者存在高度正相關(guān)關(guān)系.

的相關(guān)系數(shù)為0.9958.

即汽車擁有量和輪胎銷售量18

二.一元線性回歸方程之間的一元線性回歸方程.接下來的問題是如何用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達汽車擁有量和輪胎銷售量之間的這種線性相關(guān)關(guān)系,即建立與如何建立輪胎銷售量與汽車擁有量之間的一元線性回歸方程?19一元線性回歸方程是用來描述兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的可以用線性函數(shù)

與變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式.一般地,對于兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量來近似地反映與之間的關(guān)系,其中、為待定參數(shù),為回歸系數(shù).

稱為變量與的一元線性回歸方程.20稱為變量與的一元線性回歸方程.我們在§5.2中,已經(jīng)用最小二乘法得到了參數(shù)

、的求解公式:點擊此處,鏈接到§5.2.21案例2一元線性回歸方程的建立

設(shè)汽車擁有量和輪胎銷售量回歸方程為

之間的一元線性于是,由公式得于是汽車擁有量和輪胎銷售量之間的一元線性回歸方程為22案例2一元線性回歸方程的建立

汽車擁有量和輪胎銷售量之間的一元線性回歸方程為回歸系數(shù)表示,汽車擁有量每增加1百萬輛,輪胎銷售量平均增加千只.當(dāng)汽車擁有量百萬輛時,則可由上述所得的

汽車擁有量和輪胎銷售量之間的一元線性回歸方程,知輪胎銷售量為(千只).

23

一般情況下,已知和對數(shù)據(jù)的可按下述程序進行相關(guān)分析,并建立一元線性回歸方程(1)畫出散點圖:落的點.若它們大致具有線性關(guān)系.即在平面直角坐和

觀判定標(biāo)系中,畫出個散呈直線分