曲線擬合問題最常用的解法

曲線擬合問題最常用的解~線性最小二^法的基本思路第一步:先選定一組函數(shù)rj(x),F2(x),...rm(x),m<n,今f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+???+ainrI11(x)其中氣地,…丹皿為待定系敷。第二步：確定apa2,...am的準(zhǔn)則(最小二M則)：使n個點(氣的)與曲線y=f(x)的距離⑶的平方和最小.J(a,。，???[)=E52=E[/(x)-y]212miii記i=li=l二￡[尤[,(x)—y]2(2)kkiii=lk=l問題歸結(jié)為，求apa2,使J(a°a2,…a^)最小。線性最小S法的求解:預(yù)音知識超定方程組：方程個數(shù)大于未知量個數(shù)的方程組ra+raHra=y即Ra=y111122Imm1(n>即Ra=yra-\-rara=ynl1rz22nmmn其中&=rii???r???12??????rim???,a=ai??，y=?rL711r…nlrnm」am」yn超定方程一般是不存在解的矛盾方程組。如果有向量a使得(ra+ra+???+ra-y)2達(dá)到最小，則稱a為上述超定方zl1z22immii=l程的最小二乘解。線性最小二乘法的求解所以，曲線擬合的最小二乘法要解決的問題，實際上就是求以下超定方程組的最小二乘解的問題。Ra=y(3)其中&=,3)…iir(x)m1,a=ai.??，y=yi?..r{x)…L1nr(x)mnamyn定理：當(dāng)rTr可逆時，超定方程組(3)存在最小二乘解，且即為方程組RTRa=RTy

的解：a=(RTR)-1RTy線性最小二乘擬合f(x)=a]r](x)+^+amrm(x)中函數(shù)｛ri(x),...rm(x)｝的選取通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定f(x)；將數(shù)據(jù)(x.,y.)i=1,…n作圖，通過直觀判斷確定f(x):用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項式f(x)=a1xm+_+amx+am+1擬合可利用已有程序:a=polyfit(x.y.mjL\f輸出擬合多項式系數(shù)An*殘gJ(數(shù)組))輸入同長度的數(shù)組X，￥擬合多項式次數(shù)￥■對超定方程組R響。心:(m<聽，用但=R\y可得最小二乘意義下的解，3-多項式在乂處的值Y可用以下命令計算,

y^polyval(a,x)例對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合xi0.10.20.40.50.60.70.80.91yi1.9783.286.167.347.669.589.489.3011.2即要求出二次多項式:

中的A=(a,a,a)使得[f(x)-y]2最小123iii=1xxiix21)此時R=解法1.用解超定方程的方法x2v11輸入以下命令：xxiix21)此時R=x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];R=[(x.A2)*x'ones(11,1)]；A=R\y'計算結(jié)果：A=-9.810820.1293-0.0317f(x)=—9.8108x2+20.1293x-0.0317解法2.用多項式擬合的命令輸入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線的圖形計算結(jié)果：A=-9.810820.1293-0.0317f(x)=—9.8108x2+20.1293x—0.0317用MATLAB作耳圈性最小二乘擬合Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：Isqcurvefit和Isqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x),但兩者定義f(x)的方式是不同的，可參考例題.1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點：xdata=(xdata],xdata?,.…，xdatan),ydata=(ydata,ydata2，…，ydatan)lsqcurvefit用以求含參量*(向量)的向量值函數(shù)TF(x,xdata)=(F(x,xdata]),…，F(xiàn)(x,xdatan))中的參變量x(向量)，使得?2咒(F(x,xdata)—ydata)最小iii=1

輸入格式為：x=Isqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’)；[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,...);[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,...);[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,...);2.Isqnonlin已知數(shù)據(jù)點：xdata=(xdata],xdata。，…，xdataQydata=Cydataj,ydata2,…，ydatan)中的參量x,Isqnonlin用以求含參量又(向量)的向量值函數(shù)f(x)=(f](x)f2(x)，…,fn(x))T使得fT(x)f(x)=f^(x)2+f2(x)2+..?+fn(x)中的參量x,其中fi(x)=fCx,xdatapydatap=F(x,xdatap-ydatai輸入格式為：1)x=lsqnonlin(‘fun’，x0)；x=Isqnonlin(‘fun’，x0,op