數(shù)值分析課件第九章

第9章常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法

本章著重考察一階方程的初值問(wèn)題（1.1）（1.2）只要函數(shù)適當(dāng)光滑——譬如關(guān)于滿足利普希茨(Lipschitz）條件（1.3）理論上就可以保證初值問(wèn)題（1.1），（1.2）的解存在并且唯一.1第9章常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法本章著重考察一階所謂數(shù)值解法，就是尋求解在一系列離散節(jié)點(diǎn)上的近似值.相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距稱(chēng)為步長(zhǎng).如不特別說(shuō)明，總是假定為定數(shù)，這時(shí)節(jié)點(diǎn)為.首先，要對(duì)方程（1.1）離散化，建立求數(shù)值解的遞推公式.一類(lèi)是計(jì)算時(shí)只用到前一點(diǎn)的值，稱(chēng)為單步法.另一類(lèi)是用到前面點(diǎn)的值，稱(chēng)為步法.其次，要研究公式的局部截?cái)嗾`差和階，數(shù)值解與精確解的誤差估計(jì)及收斂性，還有遞推公式的計(jì)算穩(wěn)定性等問(wèn)題.2所謂數(shù)值解法，就是尋求解在一系列離散節(jié)點(diǎn)9.1簡(jiǎn)單的數(shù)值方法一歐拉法與后退的歐拉法（1.1）（1.2）如果對(duì)方程（1.1）從到積分，得（1.4）右端積分用左矩形公式近似，再以代替代替得到歐拉公式（1.5）39.1簡(jiǎn)單的數(shù)值方法一歐拉法與后退圖8-1若初值已知，則依公式（1.5）可逐步算出歐拉法又稱(chēng)折線法，幾何意義如下圖4圖8-1若初值已知，則依公式（1.5）可逐步算出歐拉

解歐拉公式的具體形式為取步長(zhǎng)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9-1.

例1求解初值問(wèn)題精確解：5解歐拉公式的具體形式為取步長(zhǎng)，計(jì)如果在（1.4）中右端積分用右矩形公式近似，則得另一個(gè)公式（1.6）稱(chēng)為后退的歐拉法.后退的歐拉公式與歐拉公式有著本質(zhì)的區(qū)別，后者是關(guān)于的一個(gè)直接的計(jì)算公式，這類(lèi)公式稱(chēng)作是顯式的；（1.4）然而公式（1.6）的右端含有未知的，它實(shí)際上是關(guān)于的一個(gè)函數(shù)方程，這類(lèi)公式稱(chēng)作是隱式的.6如果在（1.4）中右端積分用右矩形公式隱式方程（1.6）通常用迭代法求解.先用歐拉公式給出迭代初值，用它代入（1.6）式的右端，使之轉(zhuǎn)化為顯式，直接計(jì)算得然后再用代入（1.5）式，又有7隱式方程（1.6）通常用迭代法求解.先用歐拉如此反復(fù)進(jìn)行，得（1.7）由于對(duì)滿足利普希茨條件（1.3）.由（1.7）減（1.6）得由此可知，只要迭代法（1.7）就收斂到解.8如此反復(fù)進(jìn)行，得（1.7）由于對(duì)滿足利普二梯形方法為得到比歐拉法精度高的計(jì)算公式，在等式（1.4）右端積分中若用梯形求積公式近似，并用代替代替，則得（1.8）稱(chēng)為梯形方法.梯形方法是隱式單步法，可用迭代法求解.同后退的歐拉方法一樣，仍用歐拉方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為（1.4）9二梯形方法為得到比歐拉法精度高的計(jì)算公式，（1.9）為了分析迭代過(guò)程的收斂性，將（1.8）式與（1.9）式相減，得于是有式中為關(guān)于的利普希茨常數(shù).10（1.9）為了分析迭代過(guò)程的收斂性，將（1.8）式與如果選取充分小，使得則當(dāng)時(shí)有，這說(shuō)明迭代過(guò)程（1.9）是收斂的.11如果選取充分小，使得則當(dāng)時(shí)有三單步法的局部截?cái)嗾`差與階初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)的單步法可用一般形式表示為（1.10）其中多元函數(shù)與有關(guān)，當(dāng)含有時(shí)，方法是隱式的，若不含則為顯式方法，所以顯式單步法可表示為（1.11）稱(chēng)為增量函數(shù)，例如對(duì)歐拉法（1.5）有12三單步法的局部截?cái)嗾`差與階初值問(wèn)題(1.1)，對(duì)一般顯式單步法則可如下定義.

定義1設(shè)是初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，稱(chēng)（1.12）為顯式單步法（1.11）的局部截?cái)嗾`差.之所以稱(chēng)為局部的，是假設(shè)在前各步?jīng)]有誤差.當(dāng)時(shí)，計(jì)算一步，則有所以，局部截?cái)嗾`差可理解為用方法（1.11）計(jì)算一步的誤差.13對(duì)一般顯式單步法則可如下定義.定義1設(shè)根據(jù)定義，顯然歐拉法的局部截?cái)嗾`差這里稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).顯然.14根據(jù)定義，顯然歐拉法的局部截?cái)嗾`差這里

定義2設(shè)是初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，若存在最大整數(shù)使顯式單步法(1.11)的局部截?cái)嗾`差滿足（1.13）則稱(chēng)方法（1.11）具有階精度.以上定義對(duì)隱式單步法（1.10）也是適用的.15定義2設(shè)是初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)對(duì)后退歐拉法（1.6）其局部截?cái)嗾`差為這里，是1階方法，局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為.16對(duì)后退歐拉法（1.6）其局部截?cái)嗾`差為這里對(duì)梯形法（1.8）有所以梯形方法（2.7）是二階的，其局部誤差主項(xiàng)為.17對(duì)梯形法（1.8）有所以梯形方法（2.7）四改進(jìn)的歐拉公式梯形方法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜，在應(yīng)用迭代公式（1.9）進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，每迭代一次，都要重新計(jì)算函數(shù)的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行若干次，計(jì)算量很大，而且往往難以預(yù)測(cè).為了控制計(jì)算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計(jì)算，這就簡(jiǎn)化了算法.具體地，先用歐拉公式求得一個(gè)初步的近似值,稱(chēng)之為預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)值的精度可能很差，再用梯形公式（1.8）將它校正一次，即按（1.9）式迭代一次得，這個(gè)結(jié)果稱(chēng)校正值，而這樣建立的預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)通常稱(chēng)為改進(jìn)的歐拉公式：18四改進(jìn)的歐拉公式梯形方法雖然提高了精度，但預(yù)測(cè)校正（1.14）或表示為下列平均化形式19預(yù)測(cè)校正（1.14）或表示為下列平均化形式19

例2用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題

解改進(jìn)的歐拉公式為仍取，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9-2.同例1中歐拉法的計(jì)算結(jié)果比較，改進(jìn)歐拉法明顯改善了精度.20例2用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題解改進(jìn)21219.3龍格-庫(kù)塔方法9.3.1顯式龍格-庫(kù)塔法的一般形式上節(jié)給出了顯式單步法的表達(dá)式其局部截?cái)嗾`差為(前提：)對(duì)歐拉法，即方法為階，若用改進(jìn)歐拉法，它可表為（3.1）229.3龍格-庫(kù)塔方法9.3.1顯式龍格此時(shí)增量函數(shù)（3.2）它比歐拉法的，增加了計(jì)算一個(gè)右函數(shù)的值，可望.若要使得到的公式階數(shù)更大，就必須包含更多的值.從方程（1.1）等價(jià)的積分形式（1.4），即（3.3）若要使公式階數(shù)提高，就必須使右端積分的數(shù)值求積公式23此時(shí)增量函數(shù)（3.2）它比歐拉法的精度提高，必然要增加求積節(jié)點(diǎn)，為此可將（3.3）的右端用求積公式表示為點(diǎn)數(shù)越多，精度越高，上式右端相當(dāng)于增量函數(shù)，為得到便于計(jì)算的顯式方法，可類(lèi)似于改進(jìn)歐拉法（3.1），（3.2），將公式表示為（3.4）其中（3.5）24精度提高，必然要增加求積節(jié)點(diǎn)，為此可將（3.3）的右端點(diǎn)數(shù)這里均為常數(shù).(3.4)和(3.5)稱(chēng)為級(jí)顯式龍格-庫(kù)塔（Runge-Kutta）法，簡(jiǎn)稱(chēng)R-K方法.當(dāng)時(shí)，就是歐拉法，此時(shí)方法的階為.當(dāng)時(shí)，改進(jìn)歐拉法(3.1)，(3.2)也是其中的一種，下面將證明階.要使公式(3.4),(3.5)具有更高的階,就要增加點(diǎn)數(shù).下面只就推導(dǎo)R-K方法.25這里均為常數(shù).(3.4)和(3.5)9.3.2二階顯式R-K方法對(duì)的R-K方法，由（3.4），（3.5）可得到如下的計(jì)算公式（3.6）這里均為待定常數(shù)，希望適當(dāng)選取這些系數(shù)，使公式階數(shù)盡量高.根據(jù)局部截?cái)嗾`差定義，（3.6）的局部截?cái)嗾`差為（3.7）269.3.2二階顯式R-K方法對(duì)這里.為得到的階，要將上式各項(xiàng)在處做泰勒展開(kāi)，由于是二元函數(shù)，故要用到二元泰勒展開(kāi)，各項(xiàng)展開(kāi)式為其中（3.8）27這里.將以上結(jié)果代入（3.7）則有要使公式（3.6）具有階，必須使28將以上結(jié)果代入（3.7）則有要使公式（3.6）具有（3.9）即（3.9）的解是不唯一的.令，則得這樣得到的公式稱(chēng)為二階R-K方法，如取，則這就是改進(jìn)歐拉法（3.1）.29（3.9）即（3.9）的解是不唯一的.令若取，則.得計(jì)算公式（3.10）稱(chēng)為中點(diǎn)公式，相當(dāng)于數(shù)值積分的中矩形公式.（3.10）也可表示為30若取，則的R-K公式(3.6)的局部誤差不可能提高到.把多展開(kāi)一項(xiàng)，從（3.8）的看到展開(kāi)式中的項(xiàng)是不能通過(guò)選擇參數(shù)消掉的.實(shí)際上要使的項(xiàng)為零，需增加3個(gè)方程，要確定4個(gè)參數(shù)，這是不可能的.故的顯式R-K方法的階只能是，而不能得到三階公式.31的R-K公式(3.6)的局部誤差不可能提9.3.3三階與四階顯式R-K方法要得到三階顯式R-K方法，必須.此時(shí)（3.4），（3.5）的公式表示為（3.11）其中及均為待定參數(shù)，公式（3.11）的局部截?cái)嗾`差為只要將按二元函數(shù)泰勒展開(kāi)，使，可329.3.3三階與四階顯式R-K方法要得到三得待定參數(shù)滿足方程（3.12）這是8個(gè)未知數(shù)6個(gè)方程的方程組，解也不是唯一的.可以得到很多公式.33得待定參數(shù)滿足方程（3.12）這是8個(gè)未知數(shù)6個(gè)方程的方程滿足條件（3.12）的公式（3.11）統(tǒng)稱(chēng)為三階R-K公式.一個(gè)常見(jiàn)的公式為此公式稱(chēng)為庫(kù)塔三階方法.繼續(xù)上述過(guò)程，經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算，可以導(dǎo)出各種四階龍格-庫(kù)塔公式，下列經(jīng)典公式是其中常用的一個(gè)：34滿足條件（3.12）的公式（3.11）統(tǒng)稱(chēng)為三階R-K公式.四階龍格-庫(kù)塔方法的每一步需要計(jì)算四次函數(shù)值，可以證明其局部截?cái)嗾`差為35四階龍格-庫(kù)塔方法的每一步需要計(jì)算四次函數(shù)值

例3設(shè)取步長(zhǎng)，從直到用四階龍格-庫(kù)塔方法求解初值問(wèn)題

解這里，經(jīng)典的四階龍格-庫(kù)塔公式（3.13）具有形式36例3設(shè)取步長(zhǎng)，從直到3737比較例3和例2的計(jì)算結(jié)果，顯然以龍格-庫(kù)塔方法的精度為高.雖然四階龍格-庫(kù)塔方法的計(jì)算量（每一步要4次計(jì)算函數(shù)）比改進(jìn)的歐拉方法（它是一種二階龍格-庫(kù)塔方法，每一步只要2次計(jì)算函數(shù)）大一倍，但由于這里放大了步長(zhǎng)，表9-3和表9-2所耗費(fèi)的計(jì)算量幾乎相同.龍格-庫(kù)塔方法的推導(dǎo)基于泰勒展開(kāi)方法，因而它要求所求的解具有較好的光滑性質(zhì).反之，如果解的光滑性差，那么，使用四階龍格-庫(kù)塔方法求得的數(shù)值解，其精度可能反而不如改進(jìn)的歐拉方法.38比較例3和例2的計(jì)算結(jié)果，雖然四階龍格-庫(kù)塔9.3.4變步長(zhǎng)的龍格-庫(kù)塔方法單從每一步看，步長(zhǎng)越小，截?cái)嗾`差就越小，但隨著步長(zhǎng)的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了.步數(shù)的增加不但引起計(jì)算量的增大，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累.因此同積分的數(shù)值計(jì)算一樣，微分方程的數(shù)值解法也有個(gè)選擇步長(zhǎng)的問(wèn)題.在選擇步長(zhǎng)時(shí)，需要考慮兩個(gè)問(wèn)題：1°怎樣衡量和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的精度？2°如何依據(jù)所獲得的精度處理步長(zhǎng)？考察經(jīng)典的四階龍格-庫(kù)塔公式（3.13）.399.3.4變步長(zhǎng)的龍格-庫(kù)塔方法單從每一步從節(jié)點(diǎn)出發(fā)，先以為步長(zhǎng)求出一個(gè)近似值，記為，由于公式的局部截?cái)嗾`差為，故有（3.14）然后將步長(zhǎng)折半，即取為步長(zhǎng)從跨兩步到，再求得一個(gè)近似值，每跨一步的截?cái)嗾`差是，因此有（3.15）比較（3.14）式和（3.15）式我們看到，步長(zhǎng)折半后，誤40從節(jié)點(diǎn)出發(fā)，先以為步長(zhǎng)求出一個(gè)近似值，記為差大約減少到，即有由此易得下列事后估計(jì)式這樣，可以通過(guò)檢查步長(zhǎng)，折半前后兩次計(jì)算結(jié)果的偏差41差大約減少到，即有由此易得下列事后估計(jì)式這樣，可以來(lái)判定所選的步長(zhǎng)是否合適，具體地說(shuō)，將區(qū)分以下兩種情況處理：1.對(duì)于給定的精度，如果，反復(fù)將步長(zhǎng)折半進(jìn)行計(jì)算，直至為止，這時(shí)取最終得到的作為結(jié)果；2.如果，反復(fù)將步長(zhǎng)加倍，直到為止，這時(shí)再將步長(zhǎng)折半一次，就得到所要的結(jié)果.這種通過(guò)加倍或折半處理步長(zhǎng)的方法稱(chēng)為變步長(zhǎng)方法.表面上看，為了選擇步長(zhǎng)，每一步的計(jì)算量增加了，但總體考慮往往是合算的.42來(lái)判定所選的步長(zhǎng)是否合適，具體地說(shuō)，將區(qū)分以下兩種1第9章常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法

本章著重考察一階方程的初值問(wèn)題（1.1）（1.2）只要函數(shù)適當(dāng)光滑——譬如關(guān)于滿足利普希茨(Lipschitz）條件（1.3）理論上就可以保證初值問(wèn)題（1.1），（1.2）的解存在并且唯一.43第9章常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法本章著重考察一階所謂數(shù)值解法，就是尋求解在一系列離散節(jié)點(diǎn)上的近似值.相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的間距稱(chēng)為步長(zhǎng).如不特別說(shuō)明，總是假定為定數(shù)，這時(shí)節(jié)點(diǎn)為.首先，要對(duì)方程（1.1）離散化，建立求數(shù)值解的遞推公式.一類(lèi)是計(jì)算時(shí)只用到前一點(diǎn)的值，稱(chēng)為單步法.另一類(lèi)是用到前面點(diǎn)的值，稱(chēng)為步法.其次，要研究公式的局部截?cái)嗾`差和階，數(shù)值解與精確解的誤差估計(jì)及收斂性，還有遞推公式的計(jì)算穩(wěn)定性等問(wèn)題.44所謂數(shù)值解法，就是尋求解在一系列離散節(jié)點(diǎn)9.1簡(jiǎn)單的數(shù)值方法一歐拉法與后退的歐拉法（1.1）（1.2）如果對(duì)方程（1.1）從到積分，得（1.4）右端積分用左矩形公式近似，再以代替代替得到歐拉公式（1.5）459.1簡(jiǎn)單的數(shù)值方法一歐拉法與后退圖8-1若初值已知，則依公式（1.5）可逐步算出歐拉法又稱(chēng)折線法，幾何意義如下圖46圖8-1若初值已知，則依公式（1.5）可逐步算出歐拉

解歐拉公式的具體形式為取步長(zhǎng)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9-1.

例1求解初值問(wèn)題精確解：47解歐拉公式的具體形式為取步長(zhǎng)，計(jì)如果在（1.4）中右端積分用右矩形公式近似，則得另一個(gè)公式（1.6）稱(chēng)為后退的歐拉法.后退的歐拉公式與歐拉公式有著本質(zhì)的區(qū)別，后者是關(guān)于的一個(gè)直接的計(jì)算公式，這類(lèi)公式稱(chēng)作是顯式的；（1.4）然而公式（1.6）的右端含有未知的，它實(shí)際上是關(guān)于的一個(gè)函數(shù)方程，這類(lèi)公式稱(chēng)作是隱式的.48如果在（1.4）中右端積分用右矩形公式隱式方程（1.6）通常用迭代法求解.先用歐拉公式給出迭代初值，用它代入（1.6）式的右端，使之轉(zhuǎn)化為顯式，直接計(jì)算得然后再用代入（1.5）式，又有49隱式方程（1.6）通常用迭代法求解.先用歐拉如此反復(fù)進(jìn)行，得（1.7）由于對(duì)滿足利普希茨條件（1.3）.由（1.7）減（1.6）得由此可知，只要迭代法（1.7）就收斂到解.50如此反復(fù)進(jìn)行，得（1.7）由于對(duì)滿足利普二梯形方法為得到比歐拉法精度高的計(jì)算公式，在等式（1.4）右端積分中若用梯形求積公式近似，并用代替代替，則得（1.8）稱(chēng)為梯形方法.梯形方法是隱式單步法，可用迭代法求解.同后退的歐拉方法一樣，仍用歐拉方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為（1.4）51二梯形方法為得到比歐拉法精度高的計(jì)算公式，（1.9）為了分析迭代過(guò)程的收斂性，將（1.8）式與（1.9）式相減，得于是有式中為關(guān)于的利普希茨常數(shù).52（1.9）為了分析迭代過(guò)程的收斂性，將（1.8）式與如果選取充分小，使得則當(dāng)時(shí)有，這說(shuō)明迭代過(guò)程（1.9）是收斂的.53如果選取充分小，使得則當(dāng)時(shí)有三單步法的局部截?cái)嗾`差與階初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)的單步法可用一般形式表示為（1.10）其中多元函數(shù)與有關(guān)，當(dāng)含有時(shí)，方法是隱式的，若不含則為顯式方法，所以顯式單步法可表示為（1.11）稱(chēng)為增量函數(shù)，例如對(duì)歐拉法（1.5）有54三單步法的局部截?cái)嗾`差與階初值問(wèn)題(1.1)，對(duì)一般顯式單步法則可如下定義.

定義1設(shè)是初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，稱(chēng)（1.12）為顯式單步法（1.11）的局部截?cái)嗾`差.之所以稱(chēng)為局部的，是假設(shè)在前各步?jīng)]有誤差.當(dāng)時(shí)，計(jì)算一步，則有所以，局部截?cái)嗾`差可理解為用方法（1.11）計(jì)算一步的誤差.55對(duì)一般顯式單步法則可如下定義.定義1設(shè)根據(jù)定義，顯然歐拉法的局部截?cái)嗾`差這里稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).顯然.56根據(jù)定義，顯然歐拉法的局部截?cái)嗾`差這里

定義2設(shè)是初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，若存在最大整數(shù)使顯式單步法(1.11)的局部截?cái)嗾`差滿足（1.13）則稱(chēng)方法（1.11）具有階精度.以上定義對(duì)隱式單步法（1.10）也是適用的.57定義2設(shè)是初值問(wèn)題(1.1)，(1.2)對(duì)后退歐拉法（1.6）其局部截?cái)嗾`差為這里，是1階方法，局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為.58對(duì)后退歐拉法（1.6）其局部截?cái)嗾`差為這里對(duì)梯形法（1.8）有所以梯形方法（2.7）是二階的，其局部誤差主項(xiàng)為.59對(duì)梯形法（1.8）有所以梯形方法（2.7）四改進(jìn)的歐拉公式梯形方法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜，在應(yīng)用迭代公式（1.9）進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，每迭代一次，都要重新計(jì)算函數(shù)的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行若干次，計(jì)算量很大，而且往往難以預(yù)測(cè).為了控制計(jì)算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計(jì)算，這就簡(jiǎn)化了算法.具體地，先用歐拉公式求得一個(gè)初步的近似值,稱(chēng)之為預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)值的精度可能很差，再用梯形公式（1.8）將它校正一次，即按（1.9）式迭代一次得，這個(gè)結(jié)果稱(chēng)校正值，而這樣建立的預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)通常稱(chēng)為改進(jìn)的歐拉公式：60四改進(jìn)的歐拉公式梯形方法雖然提高了精度，但預(yù)測(cè)校正（1.14）或表示為下列平均化形式61預(yù)測(cè)校正（1.14）或表示為下列平均化形式19

例2用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題

解改進(jìn)的歐拉公式為仍取，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9-2.同例1中歐拉法的計(jì)算結(jié)果比較，改進(jìn)歐拉法明顯改善了精度.62例2用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題解改進(jìn)63219.3龍格-庫(kù)塔方法9.3.1顯式龍格-庫(kù)塔法的一般形式上節(jié)給出了顯式單步法的表達(dá)式其局部截?cái)嗾`差為(前提：)對(duì)歐拉法，即方法為階，若用改進(jìn)歐拉法，它可表為（3.1）649.3龍格-庫(kù)塔方法9.3.1顯式龍格此時(shí)增量函數(shù)（3.2）它比歐拉法的，增加了計(jì)算一個(gè)右函數(shù)的值，可望.若要使得到的公式階數(shù)更大，就必須包含更多的值.從方程（1.1）等價(jià)的積分形式（1.4），即（3.3）若要使公式階數(shù)提高，就必須使右端積分的數(shù)值求積公式65此時(shí)增量函數(shù)（3.2）它比歐拉法的精度提高，必然要增加求積節(jié)點(diǎn)，為此可將（3.3）的右端用求積公式表示為點(diǎn)數(shù)越多，精度越高，上式右端相當(dāng)于增量函數(shù)，為得到便于計(jì)算的顯式方法，可類(lèi)似于改進(jìn)歐拉法（3.1），（3.2），將公式表示為（3.4）其中（3.5）66精度提高，必然要增加求積節(jié)點(diǎn)，為此可將（3.3）的右端點(diǎn)數(shù)這里均為常數(shù).(3.4)和(3.5)稱(chēng)為級(jí)顯式龍格-庫(kù)塔（Runge-Kutta）法，簡(jiǎn)稱(chēng)R-K方法.當(dāng)時(shí)，就是歐拉法，此時(shí)方法的階為.當(dāng)時(shí)，改進(jìn)歐拉法(3.1)，(3.2)也是其中的一種，下面將證明階.要使公式(3.4),(3.5)具有更高的階,就要增加點(diǎn)數(shù).下面只就推導(dǎo)R-K方法.67這里均為常數(shù).(3.4)和(3.5)9.3.2二階顯式R-K方法對(duì)的R-K方法，由（3.4），（3.5）可得到如下的計(jì)算公式（3.6）這里均為待定常數(shù)，希望適當(dāng)選取這些系數(shù)，使公式階數(shù)盡量高.根據(jù)局部截?cái)嗾`差定義，（3.6）的局部截?cái)嗾`差為（3.7）689.3.2二階顯式R-K方法對(duì)這里.為得到的階，要將上式各項(xiàng)在處做泰勒展開(kāi)，由于是二元函數(shù)，故要用到二元泰勒展開(kāi)，各項(xiàng)展開(kāi)式為其中（3.8）69這里.將以上結(jié)果代入（3.7）則有要使公式（3.6）具有階，必須使70將以上結(jié)果代入（3.7）則有要使公式（3.6）具有（3.9）即（3.9）的解是不唯一的.令，則得這樣得到的公式稱(chēng)為二階R-K方法，如取，則這就是改進(jìn)歐拉法（3.1）.71（3.9）即（3.9）的解是不唯一的.令若取，則.得計(jì)算公式（3.10）稱(chēng)為中點(diǎn)公式，相當(dāng)于數(shù)值積分的中矩形公式.（3.10）也可表示為72若取，則的R-K公式(3.6)的局部誤差不可能提高到.把多展開(kāi)一項(xiàng)，從（3.8）的看到展開(kāi)式中的項(xiàng)是不能通過(guò)選擇參數(shù)消掉的.實(shí)際上要使的項(xiàng)為零，需增加3個(gè)方程，要確定4個(gè)參數(shù)，這是不可能的.故的顯式R-K方法的階只能是，而不能得到三階公式.73的R-K公式(3.6)的局部誤差不可能提9.3.3三階與四階顯式R-K方法要得到三階顯式R-K方法，必須.此時(shí)（3.4），（3.5）的公式表示為（3.11）其中及均為待定參數(shù)，公式（3.11）的局部截?cái)嗾`差為只要將按二元函數(shù)泰勒展開(kāi)，使，可749.3.3三階與四階顯式R-K方法要得到三得待定參數(shù)滿足方程（3.12）這是8個(gè)未知數(shù)6個(gè)方程的方程組，解也不是唯一的.可以得到很多公式.75得待定參數(shù)滿足方程（3.12）這是8個(gè)未知數(shù)6個(gè)方程的方程滿足條件（3.12）的公式（3.11）統(tǒng)稱(chēng)為三階R-K公式.一個(gè)常見(jiàn)的公式為此公式稱(chēng)為庫(kù)塔三階方法.繼續(xù)上述過(guò)程，經(jīng)過(guò)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算，可以導(dǎo)出各種四階龍格-庫(kù)塔公式，下列經(jīng)典公式是其中常用的一個(gè)：76滿足條件（3.12）的公式（3.11）統(tǒng)稱(chēng)為三階R-K公式.四階龍格-庫(kù)塔方法的每一步需要計(jì)