2023高考數(shù)學(xué)解答題專(zhuān)練-空間向量與立體幾何2（含解析）

試卷第=page55頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)試卷第=page66頁(yè)，共=sectionpages66頁(yè)一、解答題1．如圖，三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．2．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1，AC1．(1)求側(cè)棱AA1的長(zhǎng)；(2)M，N分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，求及兩異面直線AC1和MN的夾角．3．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面的夾角余弦值.4．如圖，垂直于梯形所在平面，，為中點(diǎn)，，，四邊形為矩形．(1)求證：平面；(2)求二面角的大??；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．5．如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．6．如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．7．如圖所示，在平行六面體中，設(shè)，分別是，，的中點(diǎn)，試用表示以下各向量：（1）；（2）；（3）.8．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．9．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．10．如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．11．如圖所示的幾何體由三棱錐和正四棱錐拼接而成，平面，，，，，O為四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．12．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．13．如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長(zhǎng)直徑到點(diǎn)，使得，分別過(guò)點(diǎn)、作底面圓的切線，兩切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積．14．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．將沿BD折起，使，連接AE、AC、DE，得到三棱錐．(1)求證：平面平面BCD；(2)若，二面角的大小為60°，求三棱錐的體積．15．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．過(guò)和的平面交于，交于．（1）證明：//，且平面平面；（2）設(shè)為的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．答案第=page2929頁(yè)，共=sectionpages2929頁(yè)答案第=page2828頁(yè)，共=sectionpages2929頁(yè)參考答案：1．（I）證明見(jiàn)解析；（II）【分析】（）方法一：作交于，連接，由題意可知平面，即有，根據(jù)勾股定理可證得，又，可得，，即得平面，即證得；（II）方法一：由，所以與平面所成角即為與平面所成角，作于，連接，即可知即為所求角，再解三角形即可求出與平面所成角的正弦值．【詳解】（）[方法一]：幾何證法作交于，連接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱臺(tái)的定義可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．[方法二]【最優(yōu)解】：空間向量坐標(biāo)系方法作交于O．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)OC=1,∵，，∴,∴，∴,,,∴BC⊥BD,又∵棱臺(tái)中BC//EF,∴EF⊥BD；[方法三]：三余弦定理法∵平面ACFD平面ABC，∴,∴，又∵DC=2BC．∴,即,又∵，∴．（II）[方法一]：幾何法因?yàn)椋耘c平面所成角即為與平面所成角．作于，連接，由（1）可知，平面，因?yàn)樗云矫嫫矫?，而平面平面，平面，∴平面．即在平面?nèi)的射影為，即為所求角．在中，設(shè)，則，，∴．故與平面所成角的正弦值為．[方法二]【最優(yōu)解】：空間向量坐標(biāo)系法設(shè)平面BCD的法向量為,由（）得,,∴令,則,,,，,由于，∴直線與平面所成角的正弦值為．[方法三]：空間向量法以為基底,不妨設(shè)，則(由（）的結(jié)論可得）．設(shè)平面的法向量為，則由得取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角也為，由公式得．[方法四]：三余弦定理法由，可知H在平面的射影G在的角平分線上．設(shè)直線與平面所成角為，則與平面所成角也為．由由（）的結(jié)論可得，由三余弦定理，得，從而．[方法五]：等體積法設(shè)H到平面DBC的距離為h，設(shè),則,設(shè)直線與平面所成角為，由已知得與平面所成角也為．由，,求得，所以．【整體評(píng)價(jià)】（）的方法一使用幾何方法證明，方法二利用空間直角坐標(biāo)系方法，簡(jiǎn)潔清晰，通性通法，確定為最優(yōu)解；方法三使用了兩垂直角的三余弦定理得到，進(jìn)而證明，過(guò)程簡(jiǎn)潔，確定為最優(yōu)解（II）的方法一使用幾何做法，方法二使用空間坐標(biāo)系方法，為通性通法，確定為最優(yōu)解；方法三使用空間向量的做法，避開(kāi)了輔助線的求作；方法四使用三余弦定理法，最為簡(jiǎn)潔，確定為最優(yōu)解；方法五采用等體積轉(zhuǎn)化法，避免了較復(fù)雜的輔助線.2．(1)4(2)0；90°.【分析】（1）由平方，再利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)展開(kāi)即可得出．（2）由，（），再利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)展開(kāi)即可得出．【詳解】（1）設(shè)側(cè)棱AA1＝x，∵在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∴1，x2，?0，?，?，又∵，∴2＝（）22?2?2?26，∴x2+2x﹣24＝0，∵x＞0，∴x＝4，即側(cè)棱AA1＝4．（2）∵，（），∴（）?（）（??）（1﹣1+2﹣2）＝0，∴兩異面直線AC1和MN的夾角為90°．3．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線面垂直性質(zhì)得，再證明，根據(jù)線面垂直的判定證明平面，再由面面垂直判定定理證明平面平面；（2）取的中點(diǎn)G連接，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面、平面的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式求平面與平面的夾角余弦值.（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，，且是直角梯形，所以，即，所以，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角.所以，所以，則.取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸?軸?軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，設(shè)為平面的法向量，則，，得，取，，得設(shè)平面的法向量，則，，取，，，得.所以.所以平面與平面的夾角余弦值為.4．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，【分析】（1）首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用，即可證明線面垂直；（2）分別求平面和的法向量和，利用公式，即可求解；（3）首先利用向量共線，設(shè)點(diǎn)，利用線面角的向量公式，即可求得的值.【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，，，則，平面的一個(gè)法向量，，，由，取，得，，，平面；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，取，解得設(shè)平面的一個(gè)法向量，由圖可知二面角為銳二面角，二面角的大小為；（3）設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，由，，設(shè)，整理得，，直線與平面所成角的大小為，，則，由，得，即點(diǎn)和點(diǎn)重合，故在線段上存在一點(diǎn)，且．5．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，【分析】（1）先證得，再由側(cè)面底面證得平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面以及平面的法向量，由向量夾角公式求得余弦，再計(jì)算正弦即可；（3）設(shè)出點(diǎn)，由點(diǎn)面距離的向量求法解出即可求出的值.【詳解】（1），為的中點(diǎn)，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，平面；（2）底面為直角梯形，其中，，，，又平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角夾角為，則，則，二面角的正弦值為；（3）設(shè)線段上存在，使得它到平面的距離為，，到平面的距離，解得或(舍去)，則，則．6．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用向量法去證明平面；（2）利用向量法去證明平面平面．（1）在直三棱柱中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，，且平面，則平面（2），，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，又平面的法向量，則，則平面平面．7．（1）；（2）；（3）.【解析】（1）（2）根據(jù)向量加法的三角形法則表示即可；（3）根據(jù)空間向量的線性表示，用和分別表示出和，再進(jìn)行求和即可.【詳解】解：（1）∵是的中點(diǎn)，∴.（2）∵是的中點(diǎn)，∴.（3）∵是的中點(diǎn)，∴，又，∴.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用，涉及向量的加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）要證明平面，只需證明，即可；（2）方法一：過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）[方法一]：勾股運(yùn)算法證明由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；[方法二]：空間直角坐標(biāo)系法不妨設(shè)，則，由圓錐性質(zhì)知平面，所以，所以．因?yàn)镺是的外心，因此．在底面過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)為W，以O(shè)為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，方向?yàn)閥軸正方向，方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，．故，．所以，．又，故平面．[方法三]：因?yàn)槭堑酌鎴AO的內(nèi)接正三角形，且為底面直徑，所以．因?yàn)椋矗┐怪庇诘酌?，在底面?nèi)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．設(shè)，則F為的中點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)，且，則，，．因此，從而．又因?yàn)?，所以平面．[方法四]：空間基底向量法如圖所示，圓錐底面圓O半徑為R，連結(jié)，，易得，因?yàn)椋裕詾榛?，平面，則，，且，所以．故．所以，即．同理．又，所以平面．（2）[方法一]：空間直角坐標(biāo)系法過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，由圖可知二面角為銳二面角，所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法設(shè)，易知F是的中點(diǎn)，過(guò)F作交于G，取的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)，則．由平面，得平面．由（1）可得，，得．所以，根據(jù)三垂線定理，得．所以是二面角的平面角．設(shè)圓O的半徑為r，則，，，，所以，，．在中，，．所以二面角的余弦值為．[方法三]：射影面積法如圖所示，在上取點(diǎn)H，使，設(shè)，連結(jié)．由（1）知，所以．故平面．所以，點(diǎn)H在面上的射影為N．故由射影面積法可知二面角的余弦值為．在中，令，則，易知．所以．又，故所以二面角的余弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】本題以圓錐為載體，隱含條件是圓錐的軸垂直于底面，（1）方法一：利用勾股數(shù)進(jìn)行運(yùn)算證明，是在給出數(shù)據(jù)去證明垂直時(shí)的常用方法；方法二：選擇建系利用空間向量法，給空間立體感較弱的學(xué)生提供了可行的途徑；方法三：利用線面垂直，結(jié)合勾股定理可證出；方法四：利用空間基底解決問(wèn)題，此解法在解答題中用的比較少；（2）方法一：建系利用空間向量法求解二面角，屬于解答題中求角的常規(guī)方法；方法二：利用幾何法，通過(guò)三垂線法作出二面角，求解三角形進(jìn)行求解二面角，適合立體感強(qiáng)的學(xué)生；方法三：利用射影面積法求解二面角，提高解題速度.9．（1）；（2）【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又平面，所以．從而．因?yàn)?，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.10．（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）計(jì)算出向量和的坐標(biāo)，得出，即可證明出；（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果；（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】依題意，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、.（Ⅰ）依題意，，，從而，所以；（Ⅱ）依題意，是平面的一個(gè)法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（Ⅲ）依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量，于是．所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.11．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)取AD中點(diǎn)M，連QM，OM，證得PO//QM即可得解.(2)在正四棱錐中作出二面角的平面角，借助直角三角形計(jì)算即可.(1)取AD中點(diǎn)M，連QM，OM，如圖，因O是正四棱錐底面中心，即O是BD中點(diǎn)，則OM//AB//PQ，，于是得PQMO是平行四邊形，PO//QM，而平面ADQ，平面ADQ，所以PO//平面ADQ.(2)在正四棱錐中，DOAO，PO平面ABCD，DO平面ABCD，則PODO，而，平面POA，因此，DO平面POA，而平面POA，則DOPA，過(guò)O作OEPA于E，連DE，如圖，，平面DOE，則有PA平面DOE，即PADE，從而得是二面角的平面角，因平面，則PQAQ，，而，則PO=2，，中，，于是得，所以二面角的正弦值.12．(1)(2)【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)椋?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以?xún)蓛纱怪?，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.13．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）若，構(gòu)建為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及其對(duì)應(yīng)