名師輔導(dǎo) 立體幾何 第1課 平面的概念與性質(zhì)(含答案解析)

名師輔導(dǎo)立體幾何第1課平面的概念與性質(zhì)(含答案解析)名師輔導(dǎo)立體幾何第1課平面的概念與性質(zhì)(含答案解析)名師輔導(dǎo)立體幾何第1課平面的概念與性質(zhì)(含答案解析)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月名師輔導(dǎo)立體幾何第1課平面的概念與性質(zhì)(含答案解析)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：名師輔導(dǎo)立體幾何第1課平面的概念與性質(zhì)（含答案解析）●考試目標(biāo)主詞填空1.平面（1）平面是理想的、絕對(duì)的平且無限延展的.（2）平面是由它內(nèi)部的所有點(diǎn)組成的點(diǎn)集，其中每個(gè)點(diǎn)都是它的元素.2.平面的基本性質(zhì)（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).（2）公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線.（3）公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.●題型示例

點(diǎn)津歸納【例1】在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是()A.兩兩相交的三條直線B.三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交C.三個(gè)點(diǎn)D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)E.兩條直線【解前點(diǎn)津】A中的兩兩相交的三條直線，它們可能相交于同一點(diǎn)，也可能不交于同一點(diǎn)；若交于同一點(diǎn)，則三直線不一定在同一個(gè)平面內(nèi).∴應(yīng)排除A.B中的另外兩條直線可能共面，也可能不共面，當(dāng)另外兩條直線不共面時(shí)，三條直線是不能確定一個(gè)平面的.∴應(yīng)排除B.對(duì)于C來說，三個(gè)點(diǎn)的位置可能不在同一直線上，也可能在同一直線上，只有前者才能確定一個(gè)平面，后者是不能的.∴應(yīng)排除C.條件E中的兩條直線可能共面，也可能不共面.∴應(yīng)排除E.只有條件D中的三條直線，它們兩兩相交且不交于同一點(diǎn)，可確定一個(gè)平面.【規(guī)范解答】D.【解后歸納】平面的基本性質(zhì)（三個(gè)公理及公理3的三個(gè)推論）是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，必須認(rèn)真理解，熟練地掌握本題主要利用公理3及其推論來解答的.【例2】把下列用文字語言敘述的語句，用集合符號(hào)表示，并畫直觀圖表示.(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，點(diǎn)A、B都在直線l上；(2)平面α與平面β相交于直線l，直線a在平面α內(nèi)且平行于直線l.【解前點(diǎn)津】注重?cái)?shù)學(xué)語言(文字語言、符號(hào)語言、圖形語言)間的相互轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，有利于提高分析問題、解決問題的能力.正確使用、、、、等符號(hào)表示空間基本元素之間的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.【規(guī)范解答】(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l,如圖(1)；(2)α∩β=l,aα,a∥l,如圖(2).例2題解圖【例3】如圖，已知：l不屬于α,A、B、C…∈l,AA1⊥α,BB1⊥α,CC1⊥α.求證：AA1、BB1、CC1…共面.【解前點(diǎn)津】證明n條直線共面，首先，選擇適當(dāng)?shù)臈l件，確定一個(gè)平面，然后分別證明直線都在此平面內(nèi).例3題圖【規(guī)范解答】證法一∵AA1⊥α,CC例3題圖∴AA1∥CC1.∴AA1與CC1確定平面β,且β⊥α.∵ACβ,即lβ,而B∈l,∴B∈β,又知BB1⊥α,∴BB1β.∴AA1、BB1、CC1…共面.證法二反證法由證法1得β⊥α于A1C1假設(shè)BB1不屬于β,在β內(nèi)作BB′⊥A1C1(如圖∴BB′⊥α,已知BB1⊥α,與過一點(diǎn)引面的垂線，有且只有一條矛盾.∴BB1不屬于β是不可能的,∴BB1β,∴AA1、BB1、CC1…共面.【解后歸納】證明共面的一般方法有直接法和間接法兩種.【例4】設(shè)平行四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線所在的直線與平面α依次相交于A1,B1,C1,D1,E1,F1六點(diǎn)，求證:A1,B1,C1,D1,E1,F1六點(diǎn)在同一條直線上.例4題圖【規(guī)范解答】設(shè)平行四邊形ABCD所在平面為例4題圖∵A∈β,B∈β,∴ABβ,又A1∈AB,∴A1∈β,又A1∈α∴A1在平面α與平面β的交線上,設(shè)交線為l,則A1∈l,同理可證B1,C1,D1,E1,F1都在直線l上,∴A1,B1,C1,D1,E1,F1六點(diǎn)在同一條直線上.【解后歸納】證明點(diǎn)共線通常證明這些點(diǎn)都在兩平面的交線上,或先由某兩點(diǎn)作一條直線再證明其他點(diǎn)也在這條直線上,選此題的意圖，就是使學(xué)生掌握證點(diǎn)共線的一般方法.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.α、β是兩個(gè)不重合的平面，在α上取4個(gè)點(diǎn),在β上取3個(gè)點(diǎn),則由這些點(diǎn)最多可以確定平面的個(gè)數(shù)為().32C2.下列說法正確的是()A.如果兩個(gè)平面α、β有一條公共直線a，就說平面α、β相交，并記作α∩β＝aB.兩平面α、β有一公共點(diǎn)A，就說α、β相交于過A的任意一條直線C.兩平面α、β有一個(gè)公共點(diǎn)，就說α、β相交于A點(diǎn)，并記作α∩β＝AD.兩平面ABC與DBC交于線段BC3.下列命題正確的是()A.一點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面B.兩條直線確定一個(gè)平面C.相交于同一點(diǎn)的三條直線一定在同一平面內(nèi)D.兩兩相交的三條直線不一定在同一個(gè)平面內(nèi)4.設(shè)α、β是不重合的兩個(gè)平面，α∩β＝a，下面四個(gè)命題：①如果點(diǎn)P∈α，且P∈β，那么P∈a；②如果點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β，那么ABα；③如果點(diǎn)A∈α，那么點(diǎn)B∈β；④如果線段ABα，且ABβ，那么ABa.其中正確命題的個(gè)數(shù)是().1C5.空間四點(diǎn)A、B、C、D共面但不共線，那么這四點(diǎn)中()A.必有三點(diǎn)共線B.必有三點(diǎn)不共線C.至少有三點(diǎn)共線D.不可能有三點(diǎn)共線6.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是()A.B.C.D.7.已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原三角形ABC的面積為()A.B.C.D.8.兩條相交直線l、m都在平面α內(nèi)且都不在平面β內(nèi).命題甲：l和m中至少有一條與β相交，命題乙：平面α與β相交，則甲是乙的什么條件()A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思維激活9.如果一條直線上有一個(gè)點(diǎn)不在平面上，則這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有個(gè).10.不重合的三個(gè)平面把空間分成n個(gè)部分，則n的可能值為.11.四條線段首尾相連，它們最多確定平面的個(gè)數(shù)是.12.與空間不共面四點(diǎn)距離相等的平面為個(gè).13.四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝１，則成為空間四面體時(shí)，AC的取值范圍是.三、能力提高14.如圖，已知l1∥l2∥l3，l∩l1＝Ａ,l∩l2＝Ｂ，l∩l3＝C.求證：l１、l2、l3、l共面.第第14題圖15.四個(gè)點(diǎn)不共面，證明它們中任何三點(diǎn)都不在同一條直線上.它的逆命題正確嗎已知：A、B、C、D是不共面四點(diǎn).求證：它們中任何三點(diǎn)都不共線.16.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面α上，它的三邊AB、AC、BC的延長線交平面α于P、R、Q三點(diǎn)．求證：P、R、Q三點(diǎn)共線．17.已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：直線EF、GH、AC交于一點(diǎn).第第17題圖18.已知直線a,b,c,其中b,c為異面直線,試就a與b,c的不同位置關(guān)系,討論可以確定平面的情況.第1課平面的概念與性質(zhì)習(xí)題解答CC+CC+2=32.排除法.有三個(gè)交點(diǎn)或只有一個(gè)交點(diǎn).②③錯(cuò)在條件不充分.分有三點(diǎn)共線和只有兩點(diǎn)共線兩類.根據(jù)平面圖形斜二測(cè)直觀圖的畫法，所求平面圖形為四邊形，由“橫不變”知，四邊形為梯形，且上底邊長為1．容易求得下底邊長為1+，由直觀圖的底角為45°知這個(gè)梯形為直角梯形．再由“豎取半”知，直腰長為2，∴S=·2=2+．按斜二測(cè)畫法還原.充分性根據(jù)公理2進(jìn)行判斷，必要性用反證法得到證明.公共點(diǎn)最多1個(gè)，否則直線在平面內(nèi)，得知直線上所有的點(diǎn)在平面內(nèi).,6,7,8.個(gè)可確定C-2=4個(gè)．個(gè)這四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)四面體，當(dāng)平面平行于四個(gè)面中某一個(gè)面時(shí)有四個(gè)；當(dāng)平面平行于三對(duì)異面直線時(shí)有三個(gè).13.(0，)AC>0，ABCD為菱形時(shí)AC＝.14.由l1∥l2，知l1與l2確定一個(gè)平面α，同理l2、l3確定一個(gè)平面β，由A∈l1,l1α，知A∈α，同理B∈α，又A、B∈l，故lα，同理lβ.由上知l∩l2＝Ｂ，且l、l2α,l、l2β，因兩相交直線l、l2確定一個(gè)平面，故α與β重合，所以l1、l2、l3、l共面.15.證明：假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，如A、B、C在同一直線a上，點(diǎn)Da.∴點(diǎn)D和a可確定一平面α，∴A、B、C、D∈α.與A、B、C、D不共面矛盾.逆命題是：如果四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線，那么這四點(diǎn)不共面.逆命題不正確.第16題圖解16.如圖，∵AP∩AR=A,∴AP與AR第16題圖解又P、R∈α，∴α∩平面APR=PR.又B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR，即Q∈平面APR．又Q∈α，∴Q∈α∩平面APR=PR.∴P、Q、R三點(diǎn)共線． 點(diǎn)評(píng)：欲證三點(diǎn)共線，可以證明某點(diǎn)在經(jīng)過其余兩點(diǎn)的直線上即可．17.∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH＝BD，∵F、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，∴EH∥FG，EH≠FG，∴四邊形EFGH為梯形，則EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為P.∵EF平面ABC，∴P∈平面ABC.又P∈平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC.故P∈AC，即EF、GH、AC交于一點(diǎn)P.18.(1)若a與b,c都相交,a與b,a與c都能確定平面,故可確定兩個(gè)平面.(2)若a與b,