江蘇省2015屆高三下學期高考南通密數(shù)學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精一、填空題:本大題共14個小題，每題5分,共70分。1。設(shè)a,bR,abi23i，其中i是虛數(shù)單位，則ab．1i【答案】6【解析】試題解析：abi23iabi(23i)(1i)abi5ia5,b1ab61i考點:復數(shù)相等2.已知會集Pxxa，Qyysin,R．若PQ,則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】[1,)【解析】試題解析：PQsina恒成立,因此a(sin)max1考點：會集包含關(guān)系,不等式恒成立3.為了認識一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm),所得數(shù)據(jù)如圖．則在這100株樹木中，底部周長不小于100cm的有株．第3題圖【答案】70【解析】試題解析：底部周長不小于100cm的概率為1(0.010.02)100.7，因此底部學必求其心得，業(yè)必貴于專精周長不小于100cm的有0.710070株考點：頻率分布直方圖4.設(shè)向量a(1,m)，b(m1,2)，且ab,若(ab)a，則實數(shù)m．【答案】1【解析】試題解析:(ab)a(2m,m2)(1,m)0m23m20m2或m1，又ab，因此m2,m1.考點：向量垂直，向量數(shù)量積5。以下列圖的流程圖的運行結(jié)果是．開始a5,S1a4NYSSa輸出Saa1結(jié)束第5題圖【答案】20【解析】試題解析：第一次循環(huán)：S5,a4，第二次循環(huán):S20,a34，結(jié)束循環(huán),輸出S20.考點：循環(huán)構(gòu)造流程圖6。將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起,使BDa，則三棱錐DABC的體積為．2【答案】12a3試題解析：取AC中點M，則DMBM22a，DM2+BM2BD2，即DMBM，因?qū)W必求其心得，業(yè)必貴于專精為DMAC,,因此DM面ABC,三棱錐DABC的體積為11212233DMSABC32a2a12a.考點：三棱錐體積7。設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a19,a4a62．當Sn取最大值時,n．【答案】5【解析】試題解析：設(shè)公差為d,則a4a62a5194d1d2,因此12,因此當n5時，Sn取最大值Sn9n2n(n1)(2)n10n考點:等差數(shù)列前n項和公式，二次函數(shù)最值8.已知，且1則．44cos4,cos4sin45【答案】【解析】

155試題解析：由于cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2，而1223，又442215，因此cos452cos21cos2525cos2cos4sin4155考點:二倍角公式9。若在區(qū)間(1,1)內(nèi)任取實數(shù)a，在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取實數(shù)b，則直線axby0與圓(x1)2(y2)21訂交的概率為．【答案】165【解析】試題解析：由直線axby0與圓(x1)2(y2)21訂交得|a2b|1b(3b4a)0，a2b2又b0，因此3b4a0，其地域為梯形OABC，其中O(0，0),A(10),，B(11)，,C(43，1)，學必求其心得，業(yè)必貴于專精而在區(qū)間(1,1)內(nèi)任取實數(shù)a，在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取實數(shù)b構(gòu)成一個矩形ABDE,其中D(11)，,E(1，0),因此所求概率為梯形OABC面積與矩形ABDE面積的比11)1(15.值，即24216考點：幾何概型概率10.設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x),x[6為．【答案】[6,2]【解析】試題解析：由于x[,a]62a[,7],a[,]62662

,a]的值域是[1,1],則實數(shù)a的取值范圍622x[,2a],f(x)sin(2x)[1,1]，因此66662考點：三角函數(shù)性質(zhì)11。已知函數(shù)f(x)滿足：當x1,3時，f(x)lnx，當x[31,1)時,f(x)2f(1x)．若在區(qū)間[1,3]3內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)ax(a0)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】(1e,6ln3]【解析】學必求其心得，業(yè)必貴于專精考點：函數(shù)零點x2y2222，若橢圓C上存在點P,使得過12。設(shè)橢圓C:2b21(ab0)和圓O:xyba點P引圓O的兩條切線,切點分別為A、B，滿足APB60，則橢圓C的離心率的取值范圍是．【答案】【解析】

3[,1)2試題解析:在四邊形OAPB中，APB60，OAPOBP90，OAOBb，OP2b，22c33．由題意得，2ba,即2aca，化解得a2,又在橢圓中e1，2e1考點：圓的切線,橢圓離心率13。設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an(3)n1，則滿足不等式n3nai的正整數(shù)n2i1aii1的會集為．【答案】｛1,2，3｝【解析】學必求其心得，業(yè)必貴于專精試題解析：由于數(shù)列{an}的通項公式為an(3)n1,因此數(shù)列{an}為等比數(shù)列,2首項為a13，公比q13；數(shù)列{a1}也是等比數(shù)列，首項為2，公比q22．不22n332n3nn3n等價于3n1n1(3)1(2)，解之得22n1,n，n等式i1ai1aii1ai1ai，即32139( )Nii32只能取1,2,3．考點:等比數(shù)列求和14。設(shè)函數(shù)f(x)3x3x2x，則滿足(x2)f(log1x)0的x的取值范圍是．2【答案】(0,1)(2,)【解析】試題解析：f(x)3xln33xln32(3x3x)ln322ln320，函數(shù)f(x)在(,)上x20x20單調(diào)遞加，且f(0)0，(x2)f(log1x)0log1x0或log1x0，解得x2或0x1．222考點:利用導數(shù)解不等式二、解答題(本大題共6小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15.(本小題滿分14分）在ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c，且btanA(2cb)tanB．1）求角A的大?。?)設(shè)ADBC，D為垂足，若b2，c3，求ADAC的值．【答案】（1)A3（2）277【解析】試題解析:（1）由正弦定理，將邊角關(guān)系一致化為角：sinAsinB，再利用兩角差正弦公式及引誘公式進行化sinB(2sinCsinB)學必求其心得，業(yè)必貴于專精簡:sinAcosB2sinCcosAcosAsinBsin(AB)2sinCcosAcosA1解得A3(2）先利用2ADBC化簡ADAC得：AD2ACAD（ADDC）AD，因此要點求AD，這可利用余弦定理解出a7，再依照面積公式求出高AD：11AD321BCADABACsinA722試題解析：（1）btanA(2cb)tanB,由正弦定理，得sinBsinA(2sinCsinB)sinB,cosAcosB又在ABC中，sinB0，sinAcosB2sinCcosAcosAsinB，即sin(AB)2sinCcosA,又sin(AB)sinC0,cosA1,2又0A，A；32222bccosA，2,c3，A3,（2)由余弦定理，abcba7，1BCAD1ABACsinA，即7AD323，222321,227AD7ADACADACcosCADAD7。考點:正余弦定理，向量數(shù)量積16.（本小題滿分14分）如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PDBC,G為PA上一點．1)求證：平面PCD平面ABCD；2）若PC∥平面BDG,求證：G為PA的中點．PGDACB學必求其心得，業(yè)必貴于專精【答案】(1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題解析：（1）證面面垂直，要點證線面垂直，由于PDBC,又底面ABCD為矩形BCCD，因此BC平面PCD，進而平面ABCD平面PCD；（2）先依照線面平行性質(zhì)定理，將轉(zhuǎn)變成線線平行：連接AC，交BD于O，連接GO，PC//平面BDGPC//GO，再依照中位線性質(zhì)得G為PA的中點。試題解析：(1）底面ABCD為矩形，BCCD，又PDBC,CD,PD平面PCD,PDCDD,BC平面PCD,又BC平面ABCD，平面ABCD平面PCD；(2）連接AC，交BD于O，連接GO，PC//平面BDG，平面PCA平面BDGGO，PC//GO，PGCOGAOA，底面ABCD為矩形，O是AC的中點，即COOA，PGGA，G為PA的中點.考點：面面垂直判判定理，線面平行性質(zhì)定理17.（本小題滿分14分)如圖，某城市有一條公路從正西方AO經(jīng)過市中心O后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的OB．位于該市的某大學M與市中心O的距離OM313km，且AOM．現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經(jīng)過大學M．其中tan2,cos3，AO15km．13學必求其心得，業(yè)必貴于專精(1）求大學M與站A的距離AM；（2）求鐵路AB段的長AB．BLLLMAO【答案】（1）62km(2)302km【解析】試題解析:（1）在AOM中，已知兩邊一角，利用余弦定理求第三邊：AM2OA2OM22OAOMcosAOMAM62（2）在AOM中，可利用正弦定理求出角MAO4,這樣在AOB中，已知兩角及一邊，可利用正弦定理求其ABAO余兩邊：sinAOBsinABOAB302試題解析：(1）在AOM中，AO15，AOM且cos133，OM313,2222OAOMcosAOM由余弦定理得，AMOAOM(313)222313315151313915152315372.AM62,即大學M與站A的距離AM為62km;（2）cos133，且為銳角，sin132，AMOM在AOM中，由正弦定理得，sinsinMAO，6231322，即2sinMAO，sinMAOMAO4，13學必求其心得，業(yè)必貴于專精ABOsin2cos14，tan2,5,5，41，2，sinABOsin(10，又AOBsinAOBsin(5))ABAO在AOB中，AO15，由正弦定理得，sinAOBsinABO,AB15,AB30即212，即鐵路AB段的長AB為302km．510考點:三角函數(shù)應(yīng)用，正余弦定理18.(本小題滿分16分)223設(shè)橢圓C:xy1(ab0)的離心率為e，直線yx2與以原點為圓a2b22心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切．1）求橢圓C的方程；2）設(shè)直線x12與橢圓C交于不同樣的兩點M,N，以線段MN為直徑作圓D．若圓D與y軸訂交于不同樣的兩點A,B，求ABD的面積；(3）如圖,A1、A2、B1、B2是橢圓C的極點,P是橢圓C上除極點外的任意點,直線B2P交x軸于點F，直線A1B2交A2P于點E．設(shè)A2P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2mk為定值．EyB2PA1OA2FxB1第18題圖2x11【答案】（1)4y21（2)8(3）詳見解析學必求其心得，業(yè)必貴于專精試題解析：（1）兩個獨立條件可求出橢圓標準方程，一個依照直線與圓相切得b1，再利用e23解得a2(2）本題實質(zhì)求圓中弦長，先求出M(1,15),N(1,15)，確定圓心及半徑，再依照垂徑定理得AB215111，24241642進而可得面積思路可為利用8k24k2P(14k2,14k2),F(4km2k11)4k22(2k2k12k1

（3）本題實質(zhì)研究A2P的斜率與EF的斜率的關(guān)系：解題A2P的斜率k表示EF的斜率，先用A2P的斜率k分別表示出2(2k1),0)及E(4k2,4k),再表示EF的斜率2k12k12k12k41，這里有必然運算量試題解析：（1）圓O的方程為x2y2b2，直線yx2與圓O相切，2b，即b1，又e3，1b23，22a222a2，橢圓C的方程為x4y21;2）由題意,可得M(1,15),N(1,15)，2424415,15111圓D的半徑rAB21642，ABD的面積為S111111；2228(3）由題意可知A1(2,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,1)，A2P的斜率為k,直線A2P的方程為yk(x2)，yk(x2)由x2y21，得(14k2)x216k2x16k240，422224k其中xA2，xP8k8k14k2，P(14k2,14k2)，則直線B2P的方程為y2k11，（22k1)x令y0,則x2(2k1)2(2k1),0)，2k1，即F(2k1直線A1B2的方程為x2y20，學必求其心得，業(yè)必貴于專精x2y20x4k22k1，4k24k)，由yk(x2)，解得4kE(2k1,2k1y2k14k2k1EF的斜率m2k1，2(2k1)4k242k12k12k11（定值)．2mk2k考點：直線與圓地址關(guān)系，直線與橢圓地址關(guān)系19.(本小題滿分16分）已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)f(x)ax2bx，其中函數(shù)yg(x)的圖象在點(1,g(1))處的切線平行于x軸．（1）確定a與b的關(guān)系；(2）若a0,試談?wù)摵瘮?shù)g(x)的單調(diào)性；3)設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)yf(x)的圖象交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),11．k【答案】（1)b2a1（2)①當a0時,在(1,)單調(diào)減函數(shù)，在(0,1)單調(diào)增；②當0a21時,在(1,2a1)上單調(diào)減；在(2a1,)和(0,1)單調(diào)增；③當a21時，在(0,)單調(diào)增；④當a21時．g(x)在(1,)和(0,21a)單調(diào)增；在(2a1,1)單調(diào)減（3）詳見解析【解析】試題解析：(1）利用導數(shù)幾何意義，確定a與b的關(guān)系：g(1)12ab0b2a1(2）依照導函數(shù)零點分布情況依次談?wù)摚河?2ax1)(x1)0)知需分a0,0a111g(x)x(x2，a2，a2四種情況談?wù)摚?）先解析所證不等式構(gòu)造，設(shè)x2x10，學必求其心得，業(yè)必貴于專精（3)由題設(shè)x2x10，1k11lnx2lnx11x2x1x2x2x1x1x2x1lnx2lnx1x2x1x2x111lnx2x21①x2x1x1x1令h(x)lnx11x(x1)，x1(x1)，則h(x)1xxx1時，h(x)0，函數(shù)h(x)在(1,)是減函數(shù)，而h(1)0，x1時，h(x)h(1)0xx0，x21，h(x2)lnx2x210,即lnx2x21，②21令1，則11x1，H(x)lnx1(x1)H(x)x22(x1)xxx學必求其心得，業(yè)必貴于專精x1時，H(x)0，H(x)在(1,)是增函數(shù)，時，H(x)H(1)0，H(x2)lnx2110x1x1x1x2，x111x211即lnx1．x2xx1kx1考點：導數(shù)幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，利用導數(shù)證不等式20.（本小題滿分16分）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足anSnAn2BnC(A0,nN*)．(1)當C1時,①設(shè)bnann，若a132,a294．求實數(shù)A,B的值，并判斷數(shù)列bn可否為等比數(shù)列；②若數(shù)列an是等差數(shù)列，求B1的值；A（2)當C0時，若數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，且nN*，n31

n11,1i1a2a2ii1求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）①A13，數(shù)列bn是等比數(shù)列；②3；（2）3,B【解析】試題解析:(1）①由a139132,a24列出關(guān)于A,B兩個獨立條件，解出A2,B2，利用anSnSn1(n2)解出遞推關(guān)系式2anan1n1，再依照bnann，構(gòu)造ann1[an1(n1)]，進而得證數(shù)列bn是等比數(shù)列;②從數(shù)列an是等差數(shù)列2d2d21,消去a1，d得出發(fā),將條件轉(zhuǎn)變成關(guān)于n恒等式：2n(a12)na1dAnBnB1n11出A,B關(guān)系，即可求出的值；（2）本題實質(zhì)求和i1，難點A1ii1為配方：1111n(n1)111，以下就簡單了，一是1a2a21n2(n1)2n(n1)1nn1nn1裂項相消求和,二是恒成立轉(zhuǎn)變成最值求解學必求其心得，業(yè)必貴于專精試題解析:（1)C1，anSnAn2Bn1,①令n1，可得2a1AB1，即AB2，令n2，可得a12a24A2B1，即4A2B13，an123n1，①A2,B2Sn2n2當n2時，an1Sn11(n1)23(n1)1，22①-②，得2anan1n1(n2),1，即bn1ann2[an1(n1)]2bn1，又b1a1110，bn0，2bn1數(shù)列bn是等比數(shù)列；b2，n1②數(shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)ann(n1)a1(n1)d,Snna12d，anSnAn2Bn1，d2d2*n(a1)na1dAnBn1，nN22dA2

，②dBa12，a1d1a1ddB1d12223;Addd222（2)當C0時,anSnAn2Bn數(shù)列an是等差數(shù)列，a11,n(n1)an1(n1)d,Snn2d，d2d2Bn,2n(12)n1dAnd1,ann，學必求其心得，業(yè)必貴于專精111111n(n1)111an2an2n2(n1)2n(n1)1n1，1nn1111n11，i1a2a2nii13n1131n1i11a2a21n1n1n1,ii即n2*，2,n1，nNn1n1令f(x)x2,f(x)12x22，22當x2時，f(x)0,f(x)在[2,)上是增函數(shù)，而n12，(n12)min3,3．n1考點：等比數(shù)列定義,裂項相消求和，數(shù)列最值附加題21.A（選修４－１:幾何證明選講）如圖,設(shè)AB、CD是圓O的兩條弦，直線AB是線段CD的垂直均分線．已知AB6,CD25，求線段AC的長度．CBDA【答案】AC30【解析】試題解析：由于AB是線段CD的垂直均分線,因此AB是圓的直徑,在直角三角形ABC中由射影定理得AC的長度．試題解析：連接BC，AB,CD訂交于點E．由于AB是線段CD的垂直均分線,因此AB是圓的直徑，∠ACB＝90°．AE設(shè)x，則EB6x，由射影定學必求其心得，業(yè)必貴于專精理得CE2＝AE·EB，又CE5,即有x(6x)5，解得x1（舍)或x5因此，AC2＝AE·AB＝5×6＝30，AC30．考點：射影定理21。B（選修４－２：矩陣與變換）若點A(2,1)在矩陣1a對應(yīng)變換的作用下獲取點B(4,5)，求矩陣M的M逆矩陣．【答案】【解析】試題解析:先由矩陣對應(yīng)關(guān)系求出a2,，再依照逆矩陣公式求逆矩陣b3.試題解析:M242a4，2a4,a2,，M12，15,即2b152b15.解得b3.311212解法一:127，17777det(M)31M3131.7777解法二:設(shè)M1cd，由M10c3d2cd10ef1M01，得e3f2ef01c1,c3d1,7d212e3f0,,7M1770,解得．2cde3,312ef1.7771.7考點:逆矩陣21。C(選修４－４：坐標系與參數(shù)方程）（，）3)3與極軸的3交點,求圓C的學必求其心得，業(yè)必貴于專精極坐標方程．【答案】2cos【解析】試題解析:先求出圓心坐標(1,0)，再利用余弦定理求半徑r3123cos1，最后寫出圓C的極坐標方程是2cos．6試題解析：由于圓心為直線32與極軸的交點，因此令0，sin()sin得1，即圓心是(1,0),又圓C經(jīng)過點P3，圓的半徑r3123cos1，圓過原點，（，）66圓C的極坐標方程是2cos．（說明：化為一般方程去完成給相應(yīng)的分數(shù)）考點：圓極坐標方程21。D（選修４－５:不等式選講）設(shè)a,b,c均為正數(shù)，abc1．求證:111abc．a(chǎn)bc【答案】詳見解析【解析】試題解析:依照均值不等式，得1122c，1122a，1122b,ababbcbcacac三式相加即得112試題解析:由a,b,c為正數(shù)，依照平均值不等式,得abab，112112bcbc,acac．111222111111．將此三式相加，得2(abc)abbcac，即abcabbcac111abcabcabc由abc1，則有abc1．因此，abcabbcacabc．考點：均值不等式【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.學必求其心得，業(yè)必貴于專精22。22．（本小題滿分10分)已知數(shù)列an滿足a11,an1(3n3)an4n6,nN*．n(1）求證：數(shù)列an2是等比數(shù)列；n（2）設(shè)bn3n1,nN*，求證：當n2，nN*時,bn1bn2b2n41．a(chǎn)n252n1【答案】(1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題解析：（1）由等比數(shù)列定義知即證an12與an2比值為非零常數(shù)，n1n代入化簡即可an12(3n3)an4n62(3n3)(an2)an2an23n1，nn1n1n(n1)3n（2）由（1）得nann3n12,bn3n1111141,這可利用數(shù)學歸納法an21n，即證nn22n52n1進行論證試題解析：（1）令cnann2,則cn1an12(3n3)an4n62(3n3)(an2)an2，n133cnn1nn(n1)nc1a1210,cn0，ccnn13，數(shù)列cn,即ann2是等比數(shù)列;（2）由(1）得an23n1，ann3n12，bn3n11，a2nnn下面用數(shù)學歸納法證明當n2，n*時，bn1bn2b2n41．N52n1①當n2時，不等式的左邊117，右邊41373，b3b43412555,而1252時，不等式成立；②假設(shè)當nk(k2)時，不等式成立，即bk1bk2b2k411；52k當nk1時，bk11bk12b2(k1)(bk1bk2b2k)(b2k1b2k2bk1)學必求其心得，業(yè)必貴于專精4111152k12k12k2k141152k2k14152(k1)4152(k1)1當nk1時，不等式也成立．由①②可得，當n2，nN*時，bn1bn2b2n41．52n1考點：等比數(shù)列定義,數(shù)學歸納法23。（本小題滿分10分）如圖,已知點F(0,p),直線l:yp(其中p為常數(shù)且p0)，M為平面內(nèi)的動點,過M作l的垂線,垂足為N，且NMNFFMFN．1）求動點M的軌跡C的方程；(2)設(shè)Q是l上的任