高中數(shù)學(xué)幾何概型同步測(cè)試新人教a版

幾何概型一、選擇題1．面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的概率為()\f(1,3) \f(1,2)\f(1,4) \f(1,6)[答案]B[解析]向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)點(diǎn)落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝eq\f(△ABD的面積,△ABC的面積)＝eq\f(1,2).2．某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)汽車站的時(shí)刻是任意的，則一個(gè)乘客候車時(shí)間不超過3分鐘的概率為()\f(1,5) \f(2,5)\f(3,5) \f(4,5)[答案]C[解析]把汽車到站的間隔時(shí)間分為[0,5]上的實(shí)數(shù)，其中乘客候車時(shí)間不超過3分鐘時(shí)應(yīng)在[0,3]內(nèi)取值，所以發(fā)生的概率為eq\f(3,5).3．取一根長(zhǎng)度為5m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段長(zhǎng)度都不小于2m的概率是()\f(1,2) \f(1,5)\f(1,3) D．不能確定[答案]B[解析]如圖所示，拉直后的繩子看成線段AB，且C、D是線段AB上的點(diǎn)，AC＝2m，BD＝2m，由于剪斷繩子的位置是等可能的且有無限個(gè)位置，屬于幾何模型．設(shè)剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于2m為事件E，設(shè)M是事件E的一個(gè)剪斷點(diǎn)，則M∈CD，則事件E構(gòu)成線段CD，則P(E)＝eq\f(CD,AB)＝eq\f(5－2－2,5)＝eq\f(1,5).4．如圖，矩形長(zhǎng)為6，寬為4機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96顆，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積約為()A． B．C． D．[答案]C[解析]矩形的面積S＝6×4＝24，設(shè)橢圓的面積為S1，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒黃豆，黃豆落在橢圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝eq\f(S1,S)＝eq\f(S1,24)＝eq\f(300－96,300)，解得S1＝.5．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“0≤sinx≤1”發(fā)生的概率為()\f(1,4) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)[答案]C[解析]由于x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，若0≤sinx≤1，則0≤x≤eq\f(π,2)，設(shè)“0≤sinx≤1”為事件A，則P(A)＝eq\f(\f(π,2)－0,\f(π,2)－－\f(π,2))＝eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).6．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)[答案]B[解析]正方體的體積為：2×以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為：eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率為：eq\f(\f(2,3)π,8)＝eq\f(π,12)，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：1－eq\f(π,12).7．在△ABC中，E、F、G為三邊的中點(diǎn)，若向該三角形內(nèi)投點(diǎn)，且點(diǎn)不會(huì)落在三角形ABC外，則落在三角形EFG內(nèi)的概率為()\f(1,8) \f(1,4)\f(3,4) \f(1,2)[答案]B8．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()\f(1,4) \f(1,3)\f(1,2) \f(2,3)[答案]C9．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()\f(1,4) \f(1,3)\f(3,4) \f(2,3)[答案]C10．如圖，分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為()\f(4－π,2) \f(π－2,2)\f(4－π,4) \f(π－2,4)[答案]B二、填空題11．在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為________．[答案]eq\f(1,3)[解析][－1,2]的長(zhǎng)度為3，[0,1]的長(zhǎng)度為1，所以所求概率是eq\f(1,3).12．在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為________．[答案][解析]大腸毫升自來水中的位置是任意的，且結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)取出2毫升水樣中有大腸桿菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升，則P(A)＝eq\f(2,400)＝.13．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是________．[答案]eq\f(\r(3)π,6)[分析]解答本題從正面考試較繁瑣，所以從反面來解答，先計(jì)算事件“使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1”的概率，利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算．[解析]邊長(zhǎng)為2的正三角到頂點(diǎn)A的距離等于或小于1的點(diǎn)的集合為以點(diǎn)A為圓心，1為半徑，圓心角為∠A＝60°的扇形內(nèi)．同理可知到頂點(diǎn)B、C的距離等于或小于1的點(diǎn)的集合．故使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的概率為eq\f(\f(1,2)×2×\r(3)－3×\f(1,6)×π×12,\f(1,2)×2×\r(3))＝1－eq\f(\r(3)π,6)，故所求的概率為1－(1－eq\f(\r(3)π,6))＝eq\f(\r(3)π,6).14．在一個(gè)球內(nèi)挖去一個(gè)幾何體，其三視圖如圖．在球內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在剩余幾何體上的概率為______．[答案]eq\f(53,125)[解析]由三視圖可知，該幾何體是球與圓柱的組合體，球半徑R＝5，圓柱底面半徑r＝4，高h(yuǎn)＝6，故球體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)，圓柱體積V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝eq\f(\f(500π,3)－96π,\f(500π,3))＝eq\f(53,125).三、解答題15．一個(gè)路口的紅綠燈間為30秒，黃燈亮的時(shí)間為5秒，綠燈亮的時(shí)間為40秒(沒有兩燈同時(shí)亮)，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈；(2)黃燈；(3)不是紅燈．[解析]在75秒內(nèi)，每一時(shí)刻到達(dá)路口是等可能的，屬于幾何概型．(1)P＝eq\f(亮紅燈的時(shí)間,全部時(shí)間)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5)；(2)P＝eq\f(亮黃燈的時(shí)間,全部時(shí)間)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15)；(3)P＝eq\f(不是紅燈亮的時(shí)間,全部時(shí)間)＝eq\f(黃燈或綠燈亮的時(shí)間,全部時(shí)間)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5).16．在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架貯藏石油，假設(shè)在這個(gè)海域里隨意選定一點(diǎn)鉆探，則鉆到油層面的概率是多少？[分析]石油在1萬平方千米的海域大陸架中的分布可以看作是隨機(jī)的，而40平方千米可看作事件的區(qū)域面積，由幾何概型公式可求得概率．[解析]記事件C＝{鉆到油層面}，在這1萬平方千米的海域中任意一點(diǎn)鉆探的結(jié)果有無限個(gè)，故屬于幾何概型．事件C構(gòu)成的區(qū)域面積是40平方千米，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是1萬平方千米，則P(C)＝eq\f(貯藏石油的大陸架面積,所有海域大陸架的面積)＝eq\f(40,10000)＝.17．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，求使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，M②求四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率．解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何圖形分析出概率模型．[解析]如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1，設(shè)M－ABCD的高為h則eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h<eq\f(1,6)，又S四邊形ABCD＝1，則h<eq\f(1,2)，即點(diǎn)M在正方體的下半部分．故所求概率P＝eq\f(\f(1,2)V正方體,V正方體)＝eq\f(1,2).18．(1)在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于直徑的弦，其長(zhǎng)度超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)eq\r(3)的概率是多少？(2)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，問其長(zhǎng)超過該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)eq\r(3)的概率是多少？(3)在半徑為1的圓周上任取兩點(diǎn)，連成一條弦，其長(zhǎng)超過該圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)eq\r(3)的概率是多少？[解析](1)設(shè)事件A＝“弦長(zhǎng)超過eq\r(3)”，弦長(zhǎng)只與它跟圓心的距離有關(guān)，∵弦垂直于直徑，∴當(dāng)且僅當(dāng)它與圓心的距離小于eq\f(1,2)時(shí)才能滿足條件，由幾何概率公式知P(A)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)事件B＝“弦長(zhǎng)超過eq\r(3)”