數(shù)值分析講稿課件

數(shù)值分析

（NumericalAnalysis）

開課單位：計算機與控制學(xué)院

張敏洪（數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

mh_zhang@

考試方式：閉卷。

作業(yè)占20％―30％，卷面70％―80％。

有課外上機時間，講義、作業(yè)及答案可下載。課件、參考書、作業(yè)、參考答案：校園網(wǎng)站數(shù)值分析

（NumericalAnalysis）開課單位1主要參考書：

1.李慶揚等，《數(shù)值分析》，華中理工大學(xué)出版社，武漢，1994。

2.丁麗娟等，《數(shù)值計算方法》，北京理工大學(xué)，1998。

3.DavidKincaid,WardCheney.王國榮等譯.數(shù)值分析（NumericalAnalysis)第三版2005。4.（美）H.Mathews,D.Fink，《數(shù)值方法matlab版》，電子工業(yè)社出版，北京，2002。

5.（美）F.施依德，《數(shù)值分析》第二版，科學(xué)出版社，北京，2002。

主要參考書：1.李慶揚等，《數(shù)值分析》，華中理工大學(xué)出版社2Chap.1緒論

§1數(shù)值分析的對象與特點數(shù)值分析：研究適合計算機進行科學(xué)計算的方法。使用計算機、離散。解決科學(xué)技術(shù)和工程問題的步驟:

實際問題建立數(shù)學(xué)模型研究計算方法編程上機計算求的結(jié)果。Chap.1緒論

§1數(shù)值分析的對象與特點數(shù)值分析：3例如:

⑴

某一地區(qū)的地形圖,用空中航測方法,空中連續(xù)拍照。

⑵

為形成三維地形圖,建立了一個大型超定線性方程組。

⑶采用最小二乘方法求解該方程組的最小二乘解,然后再整體平滑。⑷編程序,形成一個大型程序,上機進行計算。

例如:4數(shù)值分析課的主要基礎(chǔ)與內(nèi)容:

計算機只能進行加減乘除四則運算和一些簡單的函數(shù)計算(即使是函數(shù)也是通過數(shù)值分析處理,轉(zhuǎn)化為四則運算而形成了的一個小型軟件包)。

1.數(shù)值代數(shù):求解線性方程組的解法（分直接方法和間接方法），求矩陣的特征值與特征向量。

2.數(shù)值逼近：插值和數(shù)值逼近，數(shù)值微分和數(shù)值積分。

3.方程求解：非線性方程、常微分方程、偏微分方程數(shù)值解法。

數(shù)值分析課的主要基礎(chǔ)與內(nèi)容:5特點：

1.面向計算機。

2.有可靠的理論分析（收斂性、穩(wěn)定性、誤差分析）。

3.要有好的計算復(fù)雜性（時間、空間）

4.

要有數(shù)值試驗。特點：6對算法所要考慮的問題:

1.計算速度。例如,求解一個20階線性方程組,用消元法需3000次乘法運算;而用克萊姆法則要進行次運算,如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。

2.存儲量。大型問題有必要考慮。

3.數(shù)值穩(wěn)定性。在大量計算中,舍入誤差是積累還是能控制,這與算法有關(guān)。對算法所要考慮的問題:7§2誤差的來源與誤差分析的重要性

誤差的來源與種類

實際問題建立數(shù)學(xué)模型研究計算方法編程上機計算求的結(jié)果。

1.模型誤差:在建立數(shù)學(xué)模型過程中,不可能將所有因素均考慮,必然要進行必要的簡化,這就帶來了與實際問題的誤差。

2.測量誤差:測量已知參數(shù)時,數(shù)據(jù)帶來的誤差。

3.截斷誤差:在設(shè)計算法時,必然要近似處理,尋求一些簡化。§2誤差的來源與誤差分析的重要性誤差的來源與種類8例：

當(dāng)

很小時，可用

作為的近似值，其截斷誤差小于。

例：

對函數(shù)用Taylor展開，用多項式近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差為

例：94.舍入誤差:

計算機的字長是有限的,每一步運算均需四舍五入,由此產(chǎn)出的誤差稱舍入誤差。

例：π、1／3，……取小數(shù)點8位、16位。

數(shù)值分析主要討論截斷誤差。測量誤差看作初始的舍入誤差,數(shù)值分析也要從整體來討論舍入誤差的影響,但這兒不討論模型誤差。

誤差分析的重要性：可舉例說明

4.舍入誤差:10例：計算并分析誤差

(n=0，1，2……）。由積分估值且由積分性質(zhì)知

可設(shè)計如下兩種算法：

例：計算并分析誤差11算法1：取按公式

(n=0，1，2……)依次計算

的近似值。設(shè)。假設(shè)計算過程中不產(chǎn)生新的舍入誤差，則有

(n=0，1，2……)＝＞誤差擴散。算法1：取按公式12算法2：

從計算，由應(yīng)有＝＞。數(shù)值穩(wěn)定，在運算過程中，舍入誤差不增大。

算法2：13§3誤差的基本概念3.1（絕對）誤差與（絕對）誤差限是精確值,是它的一個近似值,稱是近似值的絕對誤差。簡稱誤差。誤差是有量綱的,可正可負(fù)。

誤差是無法計算的,但可以估計出它的一個上界。即,稱是近似值的誤差限,即?！?誤差的基本概念3.1（絕對）誤差與（絕對）誤差限143.2相對誤差與相對誤差限

稱為近似值的相對誤差,記作。相對誤差是個相對數(shù),是無量綱的,也可正可負(fù)。

相對誤差的估計,稱為相對誤差限,即。實際中,是未知的,可用來代替。當(dāng)較小時,因兩者的差為:

是的高階無窮小，可忽略不計。3.2相對誤差與相對誤差限15

3.3有效數(shù)字

定義:如果近似值的誤差限是(某一位數(shù)的半個單位),則稱準(zhǔn)確到小數(shù)點后n位,并從第一個非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字。例：π＝3.1415926535,

3.1416有五位有效數(shù)字,誤差限為0.00005。例：近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點后五位，有三位有效數(shù)字。3.3有效數(shù)字16有效數(shù)字與誤差限的關(guān)系：

有n位有效數(shù)字,標(biāo)準(zhǔn)形式為，則有。有效位數(shù)越多，（絕對）誤差限越小。

準(zhǔn)確到小數(shù)點后3位。有效數(shù)字與誤差限的關(guān)系：17

有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系：定理1：，若有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之，若的相對誤差限則至少具有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系：18證：因，故當(dāng)有n位有效數(shù)字時，。反之，由

因此，至少具有n位有效數(shù)字。證畢。定理說明，有效位數(shù)越多相對誤差限越小。數(shù)值分析講稿課件193.4數(shù)值計算中誤差估計數(shù)值計算中誤差的傳播：

對一元函數(shù)的計算:

設(shè)是的近似值。如果可微，有介于與之間，取絕對值得3.4數(shù)值計算中誤差估計數(shù)值計算中誤差的傳播：20對多元函數(shù):

若分別是的近似值,則對多元函數(shù):21四則運算中誤差的傳播

四則運算誤差限的公式:這是因為,故

四則運算中誤差的傳播22

§4數(shù)值計算中應(yīng)注意的幾個原則1、關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法。

一個程序往往要進行大量的四則運算才能得出結(jié)果,每一步的運算均可能會產(chǎn)生舍入誤差。在運算過程中,舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法,否則就稱之為不穩(wěn)定的算法?！?數(shù)值計算中應(yīng)注意的幾個原則1、關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法。23例:

用分部積分公式得遞推式:

用四位有效數(shù)字計算:

例:24可以估計出故與精確值一位有效數(shù)字也沒有。這是由于如果有誤差,不計中間再產(chǎn)生的舍入誤差,該誤差隨著計算：

到

時

誤差擴大了4萬倍。因而該算法不是穩(wěn)定的?？梢怨烙嫵龉?5如果遞推式改為由,,逐步計算直到。計算結(jié)果有四位有效數(shù)字,如果有誤差,其傳播到所引起的誤差僅為

故該算法是穩(wěn)定的。如果遞推式改262、注意避免兩個相近數(shù)的相減。

兩個相近的數(shù)相減,有效數(shù)字會大大損失。因兩數(shù)之差x-y的相對誤差為

當(dāng)x與y很接近時，兩數(shù)之差x-y的相對誤差會很大，有效數(shù)字位將嚴(yán)重丟失。避免辦法：進行變換。2、注意避免兩個相近數(shù)的相減。27例：如用四位有效數(shù)字計算:

結(jié)果只有一位有效數(shù)字;如改為:

有四位有效數(shù)字。避免了兩個相近數(shù)的相減。例：28例：用四位浮點數(shù)計算解:

只有一位有效數(shù)字,有效數(shù)字大量損失,造成相對誤差擴大。結(jié)果仍然有四位有效數(shù)字。這說明了算法設(shè)計的重要性。例：用四位浮點數(shù)計算293.避免除數(shù)的絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值。

,當(dāng)時,舍入誤差會擴大。例:的舍入誤差均為,而,則的舍入誤差為:很小的數(shù)作除數(shù)有時還會造成計算機的溢出而停機。

3.避免除數(shù)的絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值。304.防止大數(shù)吃掉小數(shù)。

計算機在進行運算時，首先要把參加運算的數(shù)對階，即把兩數(shù)都寫成絕對值小于1而階碼相同的數(shù)。如，必須改寫成

如果計算機只能表示8位小數(shù)，則算出，大數(shù)“吃”了小數(shù)。這種情況有時允許，有時不允許。

4.防止大數(shù)吃掉小數(shù)。31例如:

被大數(shù)吃掉了。如按,

就沒有被吃掉。這也是構(gòu)造算法時要注意的問題。

例如:32例:一元二次方程x2－(109+1)x+109=0其精確解為X1=109,X2=1。

如用求根公式:用8位的計算機求解,有

及

;則的值與精確解差別很大。若用因此,算法的選用很重要。例:一元二次方程x2－(109+1)x+109=0其精確解為335．簡化計算步驟,減少運算次數(shù)。

例:計算的值如果逐個相乘要用254次乘法。若只需14次乘法。例:計算多項式的值:如若按

有

次乘法運算,計算

共需

次乘法和n次加法運算。如寫成,用遞推算法:,最終,共需n次乘法和n次加法運算。5．簡化計算步驟,減少運算次數(shù)。34例：計算的近似值，要求誤差小于。方法1：用級數(shù)

的前n項部分和來計算。，若，則需。即要取前十萬項求和，計算量大，舍入誤差積累，將使有效數(shù)字丟失。

例：計算的近似值，要求誤差小于。35方法2：用級數(shù)計算。當(dāng)時，有取前5項之和作近似值，產(chǎn)生的截斷誤差為

此算法有效。方法2：用級數(shù)36

37數(shù)值分析

（NumericalAnalysis）

開課單位：計算機與控制學(xué)院

張敏洪（數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

mh_zhang@

考試方式：閉卷。

作業(yè)占20％―30％，卷面70％―80％。

有課外上機時間，講義、作業(yè)及答案可下載。課件、參考書、作業(yè)、參考答案：校園網(wǎng)站數(shù)值分析

（NumericalAnalysis）開課單位38主要參考書：

1.李慶揚等，《數(shù)值分析》，華中理工大學(xué)出版社，武漢，1994。

2.丁麗娟等，《數(shù)值計算方法》，北京理工大學(xué)，1998。

3.DavidKincaid,WardCheney.王國榮等譯.數(shù)值分析（NumericalAnalysis)第三版2005。4.（美）H.Mathews,D.Fink，《數(shù)值方法matlab版》，電子工業(yè)社出版，北京，2002。

5.（美）F.施依德，《數(shù)值分析》第二版，科學(xué)出版社，北京，2002。

主要參考書：1.李慶揚等，《數(shù)值分析》，華中理工大學(xué)出版社39Chap.1緒論

§1數(shù)值分析的對象與特點數(shù)值分析：研究適合計算機進行科學(xué)計算的方法。使用計算機、離散。解決科學(xué)技術(shù)和工程問題的步驟:

實際問題建立數(shù)學(xué)模型研究計算方法編程上機計算求的結(jié)果。Chap.1緒論

§1數(shù)值分析的對象與特點數(shù)值分析：40例如:

⑴

某一地區(qū)的地形圖,用空中航測方法,空中連續(xù)拍照。

⑵

為形成三維地形圖,建立了一個大型超定線性方程組。

⑶采用最小二乘方法求解該方程組的最小二乘解,然后再整體平滑。⑷編程序,形成一個大型程序,上機進行計算。

例如:41數(shù)值分析課的主要基礎(chǔ)與內(nèi)容:

計算機只能進行加減乘除四則運算和一些簡單的函數(shù)計算(即使是函數(shù)也是通過數(shù)值分析處理,轉(zhuǎn)化為四則運算而形成了的一個小型軟件包)。

1.數(shù)值代數(shù):求解線性方程組的解法（分直接方法和間接方法），求矩陣的特征值與特征向量。

2.數(shù)值逼近：插值和數(shù)值逼近，數(shù)值微分和數(shù)值積分。

3.方程求解：非線性方程、常微分方程、偏微分方程數(shù)值解法。

數(shù)值分析課的主要基礎(chǔ)與內(nèi)容:42特點：

1.面向計算機。

2.有可靠的理論分析（收斂性、穩(wěn)定性、誤差分析）。

3.要有好的計算復(fù)雜性（時間、空間）

4.

要有數(shù)值試驗。特點：43對算法所要考慮的問題:

1.計算速度。例如,求解一個20階線性方程組,用消元法需3000次乘法運算;而用克萊姆法則要進行次運算,如用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。

2.存儲量。大型問題有必要考慮。

3.數(shù)值穩(wěn)定性。在大量計算中,舍入誤差是積累還是能控制,這與算法有關(guān)。對算法所要考慮的問題:44§2誤差的來源與誤差分析的重要性

誤差的來源與種類

實際問題建立數(shù)學(xué)模型研究計算方法編程上機計算求的結(jié)果。

1.模型誤差:在建立數(shù)學(xué)模型過程中,不可能將所有因素均考慮,必然要進行必要的簡化,這就帶來了與實際問題的誤差。

2.測量誤差:測量已知參數(shù)時,數(shù)據(jù)帶來的誤差。

3.截斷誤差:在設(shè)計算法時,必然要近似處理,尋求一些簡化?！?誤差的來源與誤差分析的重要性誤差的來源與種類45例：

當(dāng)

很小時，可用

作為的近似值，其截斷誤差小于。

例：

對函數(shù)用Taylor展開，用多項式近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差為

例：464.舍入誤差:

計算機的字長是有限的,每一步運算均需四舍五入,由此產(chǎn)出的誤差稱舍入誤差。

例：π、1／3，……取小數(shù)點8位、16位。

數(shù)值分析主要討論截斷誤差。測量誤差看作初始的舍入誤差,數(shù)值分析也要從整體來討論舍入誤差的影響,但這兒不討論模型誤差。

誤差分析的重要性：可舉例說明

4.舍入誤差:47例：計算并分析誤差

(n=0，1，2……）。由積分估值且由積分性質(zhì)知

可設(shè)計如下兩種算法：

例：計算并分析誤差48算法1：取按公式

(n=0，1，2……)依次計算

的近似值。設(shè)。假設(shè)計算過程中不產(chǎn)生新的舍入誤差，則有

(n=0，1，2……)＝＞誤差擴散。算法1：取按公式49算法2：

從計算，由應(yīng)有＝＞。數(shù)值穩(wěn)定，在運算過程中，舍入誤差不增大。

算法2：50§3誤差的基本概念3.1（絕對）誤差與（絕對）誤差限是精確值,是它的一個近似值,稱是近似值的絕對誤差。簡稱誤差。誤差是有量綱的,可正可負(fù)。

誤差是無法計算的,但可以估計出它的一個上界。即,稱是近似值的誤差限,即?！?誤差的基本概念3.1（絕對）誤差與（絕對）誤差限513.2相對誤差與相對誤差限

稱為近似值的相對誤差,記作。相對誤差是個相對數(shù),是無量綱的,也可正可負(fù)。

相對誤差的估計,稱為相對誤差限,即。實際中,是未知的,可用來代替。當(dāng)較小時,因兩者的差為:

是的高階無窮小，可忽略不計。3.2相對誤差與相對誤差限52

3.3有效數(shù)字

定義:如果近似值的誤差限是(某一位數(shù)的半個單位),則稱準(zhǔn)確到小數(shù)點后n位,并從第一個非零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均為有效數(shù)字。例：π＝3.1415926535,

3.1416有五位有效數(shù)字,誤差限為0.00005。例：近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點后五位，有三位有效數(shù)字。3.3有效數(shù)字53有效數(shù)字與誤差限的關(guān)系：

有n位有效數(shù)字,標(biāo)準(zhǔn)形式為，則有。有效位數(shù)越多，（絕對）誤差限越小。

準(zhǔn)確到小數(shù)點后3位。有效數(shù)字與誤差限的關(guān)系：54

有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系：定理1：，若有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之，若的相對誤差限則至少具有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系：55證：因，故當(dāng)有n位有效數(shù)字時，。反之，由

因此，至少具有n位有效數(shù)字。證畢。定理說明，有效位數(shù)越多相對誤差限越小。數(shù)值分析講稿課件563.4數(shù)值計算中誤差估計數(shù)值計算中誤差的傳播：

對一元函數(shù)的計算:

設(shè)是的近似值。如果可微，有介于與之間，取絕對值得3.4數(shù)值計算中誤差估計數(shù)值計算中誤差的傳播：57對多元函數(shù):

若分別是的近似值,則對多元函數(shù):58四則運算中誤差的傳播

四則運算誤差限的公式:這是因為,故

四則運算中誤差的傳播59

§4數(shù)值計算中應(yīng)注意的幾個原則1、關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法。

一個程序往往要進行大量的四則運算才能得出結(jié)果,每一步的運算均可能會產(chǎn)生舍入誤差。在運算過程中,舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法,否則就稱之為不穩(wěn)定的算法?！?數(shù)值計算中應(yīng)注意的幾個原則1、關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法。60例:

用分部積分公式得遞推式:

用四位有效數(shù)字計算:

例:61可以估計出故與精確值一位有效數(shù)字也沒有。這是由于如果有誤差,不計中間再產(chǎn)生的舍入誤差,該誤差隨著計算：

到

時

誤差擴大了4萬倍。因而該算法不是穩(wěn)定的?？梢怨烙嫵龉?2如果遞推式改為由,,逐步計算直到。計算結(jié)果有四位有效數(shù)字,如果有誤差,其傳播到所引起的誤差僅為

故該算法是穩(wěn)定的。如果遞推式改632、注意避免兩個相近數(shù)的相減。

兩個相近的數(shù)相減,有效數(shù)字會大大損失。因兩數(shù)之差x-y的相對誤差為

當(dāng)x與y很接近時，兩數(shù)之差x-y的相對誤差會很大，有效數(shù)字位將嚴(yán)重丟失。避免辦法：進行變換。2、注意避免兩個相近數(shù)的相減。64例：如用四位有效數(shù)字計算:

結(jié)果只有一位有效數(shù)字;如改為:

有四位有效數(shù)字。避免了兩個相近數(shù)的相減。例：65例：用四位浮點數(shù)計算解:

只有一位有效數(shù)字,