1晶體中電子的運動特征課件

在我們了解了電子在晶體周期勢場中運動的本征態(tài)和本征能量之后，就可以開始研究晶體中電子運動的具體問題了，由于周期勢場的作用，晶體中的電子的本征能量和本征函數(shù)都已不同于自由電子，因而在外場中的行為也完全不同于自由電子，我們稱之為

Bloch電子。首先分析一下它和自由電子的區(qū)別及其一般特征。一.Bloch電子的準經(jīng)典描述波包與電子速度電子的準動量電子的加速度和有效質(zhì)量見黃昆書5.1節(jié)p237第七篇

晶體中電子的運動特征在我們了解了電子在晶體周期勢場中運動的本征態(tài)和1

一.Bloch電子的準經(jīng)典描述：

當外加場（電場、磁場等）施加到晶體上時，晶體中的電子不只是感受到外場的作用，而且還同時感受著晶體周期場的作用。通常情況下，外場要比晶體周期勢場弱得多。因為晶體周期場強度一般相當于108V/cm。而外電場是難以達到這個強度的。因此，晶體中的電子在外場中的運動必須在周期場本征態(tài)的基礎上進行討論。采用的方法有兩種：

求解含外場的單電子波動方程。或者是在一定條件下，把晶體中電子在外場中的運動當作準經(jīng)典粒子來處理。一.Bloch電子的準經(jīng)典描述：2通常情況下求解含外場的波動方程，但只能近似求解。含外場的波動方程外場較弱且恒定。不考慮電子在不同能帶間的躍遷。不考慮電子的衍射、干涉及碰撞。另一種方法是在：等條件下把晶體中電子在外場中的運動當作準經(jīng)典粒子來處理。這種方法圖像清晰，運算簡單，我們樂于采用。通常情況下求解含外場的波動方程，但只能近似求解。含外場的波動3

經(jīng)典粒子同時具有確定的能量和動量，但服從量子力學運動規(guī)律的微觀粒子是不可能的，如果一個量子態(tài)的經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學中這個態(tài)就要用一個“波包”來代表，所謂波包是指該粒子（例如電子）空間分布在r0附近的△r

范圍內(nèi)，動量取值在附近的范圍內(nèi)，滿足測不準關系。把波包中心r0

看作該粒子的位置，把看作該粒子的動量。

晶體中的電子，可以用其本征函數(shù)Bloch波組成波包，從而當作準經(jīng)典粒子來處理。經(jīng)典粒子同時具有確定的能量和動量，但服從量子力4二.波包與電子速度：

在晶體中，電子的準經(jīng)典運動可以用Bloch函數(shù)組成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征態(tài)，因此，必須用含時間因子的Bloch函數(shù)。首先考慮于一維情況。設波包由以k0為中心，在k的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設k很小，可近似認為不隨k而變。對于一確定的k

，含時間的Bloch函數(shù)為

把與k0相鄰近的各k’狀態(tài)疊加起來就可以組成與量子態(tài)k0相對應的波包：二.波包與電子速度：在晶體中，電子的準5波包令波包令6為分析波包的運動，只需分析2，即幾率分布即可。令0波函數(shù)集中在尺度為的范圍內(nèi)，波包中心為：w＝0。為分析波包的運動，只需分析2，即幾率分布即可。令0波7有若將波包看成一個準粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：2/a，而假設k很小，一般要求即推廣到三維情況，電子速度為有若將波包看成一個準粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：28注意，這里給出了把Bloch波當作準經(jīng)典粒子處理的條件。由于Bloch波有色散，一個穩(wěn)定的波包所包含的波矢范圍△k應是一個很小的量。Bloch波有獨立物理意義的波矢被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，因為測不準關系這表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶體中電子的運動就可以用波包的運動規(guī)律來描述。對于輸運現(xiàn)象，只有當電子平均自由程遠大于原胞尺寸的情況下，才可以把晶體中的電子當作準經(jīng)典粒子，波包移動的速度（群速度）等于處于波包中心處粒子所具有的平均速度。注意，這里給出了把Bloch波當作準經(jīng)典粒子處理的條件。9附錄：更簡明的說明：

量子力學告訴我們，晶體中處于狀態(tài)的電子，在經(jīng)典近似下，其平均速度相當于以k0為中心的波包速度，而波包的傳播速度是群速度：量子力學中的德布羅意關系：所以電子的平均速度：附錄：更簡明的說明：10考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：

這個公式表達了一個非常重要的事實，那就是：

晶體中電子的平均速度只與能量和波矢有關，對時間和空間而言，它是常數(shù)，因此平均速度將永遠保持不變而不衰減。也就是說可以一直流動下去而不衰減。這意味著：電子不會被靜止的原子所散射，嚴格周期性晶體的電阻率為零。這一點和自由電子論中離子是作為散射中心對電子產(chǎn)生散射而影響電子的平均（漂移）速度的概念完全不同。

下一節(jié)還將仔細分析這種情況。

考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：11換句話說：若電子處于一個確定的狀態(tài)時，只要晶格的周期性不變，則永遠處于這個態(tài)，因此，只要這種情況不變，則電子將以同樣的速度在整個晶體中不斷運動，而不被任何晶格所阻礙，即電子速度是一個常數(shù)，因為晶格對傳播速度的影響，都已經(jīng)通過能量包括在內(nèi)了。

當然，晶格對周期性的偏離會引起電子的散射，使它的速度發(fā)生變化，例如，電子在熱振動的晶格中運動，會和聲子多次碰撞，對電子的速度產(chǎn)生極大影響；此外，外加電場和磁場也會對電子運動速度帶來變化，以后將陸續(xù)討論到這些情況。換句話說：若電子處于一個確定的狀態(tài)時，只要晶12這個公式還表明：電子速度的方向為k空間中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，電子的運動方向決定于等能面的形狀，在一般情況下，在k空間中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向。下圖比較準確地反映了Bloch電子的這一特點。這個公式還表明：電子速度的方向為k空間中能量梯度的方向，13只有當?shù)饶苊鏋榍蛎?，或在某些特殊方向上，v才與k的方向相同。電子運動速度的大小與k

的關系，以一維為例說明在能帶底和能帶頂，E(k)取極值，因此，在能帶底和能帶頂，電子速度v＝0。E(k)v(k)而在能帶中的某處：電子速度的數(shù)值最大，這種情況與自由電子的速度總是隨能量的增加而單調(diào)上升是完全不同的。只有當?shù)饶苊鏋榍蛎?，或在某些特殊方向上，v才與k的方因14上頁圖取自黃昆書圖5-2，右圖表示的更準確，一維晶格的能帶結(jié)構（上圖）相應的電子速度（下圖），虛線表示自由電子的速度。這種變化可用NEF模型來解釋：在區(qū)心處，電子可以用平面波描寫，因而速度成線性變化，但隨著k值的增加，自由波受晶格散射波的影響越來越大，散射波對入射波的消弱越來越明顯，直到布里淵區(qū)邊界，強的Bragg反射使散射波和入射波相等，所以波速度為零。這個結(jié)果和一切幅射波在有周期性的晶體中的傳播是一樣的。上頁圖取自黃昆書圖5-2，右圖表示的更準確，一維晶格的能帶15三.電子的準動量：

在外場中，電子所受的力為F，在dt時間內(nèi)，外場對電子所做的功為Fvdt根據(jù)功能原理，有在平行于v的方向上，dk/dt和F的分量相等；當F與速度v垂直時，不能用功能原理來討論電子能量狀態(tài)的變化，但是我們?nèi)钥梢宰C明在垂直于速度的方向上，dk/dt和外力F的分量也相等。三.電子的準動量：在外場16

上式是電子在外場作用下運動狀態(tài)變化的基本公式，具有與經(jīng)典力學中牛頓定律相似的形式。k是電子的準動量，準動量不是嚴格意義上的Bloch電子的動量，嚴格意義上的動量的變化率等于作用在電子上面所有力的和，而準動量的變化率只是外場力作用的結(jié)果，這里沒有包括晶格勢場作用力。晶格勢場的作用被包含在準動量中。上式是電子在外場作用下運動狀態(tài)變化的基本公式17

是Bloch電子準動量的另一種說明：對于自由電子，

k=p

就是電子的動量。對于晶體周期場中的電子用Bloch波描述，動量算符作用下：這表明Bloch波不是動量算符的本征函數(shù)。在晶體周期場中，k是動量概念的擴展，稱為準動量或電子晶格動量。是Bloch電子準動量的另一種說明：對于18四.電子的加速度和有效質(zhì)量

晶體中電子運動的準經(jīng)典模型為，外場用經(jīng)典方式處理，晶體周期場用能帶論的處理，電子位置用Bloch波包的中心位置代替。準經(jīng)典運動的基本關系式：此外，假定能帶指標n是運動常數(shù)，即電子總是呆在同一能帶中，忽略電子在能帶之間的躍遷。相當于牛頓第二定律四.電子的加速度和有效質(zhì)量晶體中電子運動19從電子運動的基本關系式可以直接導出在外力作用下電子的加速度。1.一維情況引入電子的有效質(zhì)量：

由于周期場的作用，當把加速度在形式上寫成僅由外力引起的形式時，外力與加速度之間的關系顯然不是由電子的慣性質(zhì)量所聯(lián)系的，而必須引入一個有效質(zhì)量的概念，它計入了周期場的影響。從電子運動的基本關系式可以直接導出在外力作用下1.一維情況20有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關系不是拋物線關系，因此，電子的有效質(zhì)量不是常數(shù)，m*與k有關。在能帶底，E(k)取極小值，這時，m*>0；E(k)取極大值，所以，m*<0。在能帶頂有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關系不是拋212.三維情況其分量形式為＝1,2,32.三維情況其分量形式為＝1,2,322矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個二階張量代替了矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個二階張量代替了23稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一個對稱張量。同時，晶體的點群對稱性也會使張量的獨立分量減少，對于各向同性晶體，它退化為一個標量。由于倒有效質(zhì)量張量是對稱張量，如將kx、ky、kz取為張量的主軸方向，就可將其對角化。稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一24這時有這時有25

有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作用（把這個作用用有效質(zhì)量代替），使我們能夠簡單地由外場力確定電子的加速度。

需要注意電子的加速度方向并不一定與外場力的方向一致，這是由倒有效質(zhì)量張量的性質(zhì)所決定的。電子有效質(zhì)量常用電子比熱數(shù)據(jù)計算得到：其中0為自由電子的比熱系數(shù)，exp為實驗值。有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作26對于有些材料，這個比值可以很大，100～1000倍，即電子的有效質(zhì)量很大，稱為重費米子，相應材料稱為重費米子材料。這類材料對應于費米能級處非常高的態(tài)密度。這一點我們可以從自由電子氣比熱系數(shù)中看到γ∝N(EF)例如，1975年發(fā)現(xiàn)化合物CeAl3，其低溫電子比熱系數(shù)γ高達1620mJ/mol·K。通常把γ值大于400mJ/mol·K的材料稱為重費米子系統(tǒng)。（見黃昆書p286）對于有些材料，這個比值可以很大，100～1000倍，即電子的27例：求簡單立方晶體s態(tài)電子的有效質(zhì)量。,1,2,3即kx,ky,kz為張量的主軸方向，由此可得例：求簡單立方晶體s態(tài)電子的有效質(zhì)量。28這表明有效質(zhì)量的三個主分量均與J1成反比，若原子間距越大，J1越小，則有效質(zhì)量就越大。在能帶底點：k=(0,0,0)，這時有效質(zhì)量張量退化為一個標量。在能帶頂R點：這表明有效質(zhì)量的三個主分量均與J1成反比，若原子間距在能29這表明，在能帶底和能帶頂電子的有效質(zhì)量是各向同性的，退化為一標量，這是立方對稱的結(jié)果。在X點：

有效質(zhì)量是一個很重要的概念，它把晶體中電子準經(jīng)典運動的加速度與外力聯(lián)系起來。

有效質(zhì)量中包含了周期場對電子的作用。在一般情況下，

有效質(zhì)量是一個張量，在特殊情況下也可以退化為標量。

有效質(zhì)量不僅可以取正，也可以取負。在能帶底附近，有效質(zhì)量總是正的；而在能帶頂附近，

有效質(zhì)量總是負的。這是因為在能帶底和能帶頂E(k)分

別取極大值和極小值，分別具有正的和負的二價微商。這表明，在能帶底和能帶頂電子的有效質(zhì)量是各向同性的，退化為一30補充：有效質(zhì)量的再理解：

電子的運動應該同時受到晶格力Fl和外場力F,但在實際中，是難以表示清楚的，因此可將公式改寫為：通過引入有效質(zhì)量m*取代真實質(zhì)量m而將未知的晶格力的作用考慮進來，采用有效質(zhì)量后，就可以仍采用我們已經(jīng)非常熟悉的牛頓定律來描述晶體電子在外場中的行為。但由于包含了晶格力作用的緣故，m*不同于m，因此，晶體中運動的電子是一種“準粒子”，我們稱之為Bloch電子。補充：有效質(zhì)量的再理解：但在實際中，是難以表示清楚的31上式可以改寫為：顯而易見，當電子從外場獲得的動量大于電子傳遞給晶格的動量時，有效質(zhì)量m*>0，反之，當電子從外場獲得的動量小于電子傳遞給晶格的動量時，m*<0，當電子從外場獲得的動量全部傳遞給晶格時，m*→

∞

。此時電子的平均加速度為零。從上式還可以看出：電子加速度的方向為外場力和晶格力的合力方向，并不一定和外力方向一致。上式可以改寫為：顯而易見，當電子從外場獲得的動量大于電子傳遞32自由電子Bloch電子量子數(shù)k(量子化取值無限制）n,k（取值在第一布里淵區(qū)）能量

能量分為能級

一般沒有簡單形式為平面波為Bloch波波函數(shù)

沒有確定的簡單形式，但和晶格具有同樣的周期性自由電子Bloch電子量子數(shù)k(量子化取值無限制）n33自由電子Bloch電子自由電子34

在我們了解了電子在晶體周期勢場中運動的本征態(tài)和本征能量之后，就可以開始研究晶體中電子運動的具體問題了，由于周期勢場的作用，晶體中的電子的本征能量和本征函數(shù)都已不同于自由電子，因而在外場中的行為也完全不同于自由電子，我們稱之為

Bloch電子。首先分析一下它和自由電子的區(qū)別及其一般特征。一.Bloch電子的準經(jīng)典描述波包與電子速度電子的準動量電子的加速度和有效質(zhì)量見黃昆書5.1節(jié)p237第七篇

晶體中電子的運動特征在我們了解了電子在晶體周期勢場中運動的本征態(tài)和35

一.Bloch電子的準經(jīng)典描述：

當外加場（電場、磁場等）施加到晶體上時，晶體中的電子不只是感受到外場的作用，而且還同時感受著晶體周期場的作用。通常情況下，外場要比晶體周期勢場弱得多。因為晶體周期場強度一般相當于108V/cm。而外電場是難以達到這個強度的。因此，晶體中的電子在外場中的運動必須在周期場本征態(tài)的基礎上進行討論。采用的方法有兩種：

求解含外場的單電子波動方程?；蛘呤窃谝欢l件下，把晶體中電子在外場中的運動當作準經(jīng)典粒子來處理。一.Bloch電子的準經(jīng)典描述：36通常情況下求解含外場的波動方程，但只能近似求解。含外場的波動方程外場較弱且恒定。不考慮電子在不同能帶間的躍遷。不考慮電子的衍射、干涉及碰撞。另一種方法是在：等條件下把晶體中電子在外場中的運動當作準經(jīng)典粒子來處理。這種方法圖像清晰，運算簡單，我們樂于采用。通常情況下求解含外場的波動方程，但只能近似求解。含外場的波動37

經(jīng)典粒子同時具有確定的能量和動量，但服從量子力學運動規(guī)律的微觀粒子是不可能的，如果一個量子態(tài)的經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學中這個態(tài)就要用一個“波包”來代表，所謂波包是指該粒子（例如電子）空間分布在r0附近的△r

范圍內(nèi)，動量取值在附近的范圍內(nèi)，滿足測不準關系。把波包中心r0

看作該粒子的位置，把看作該粒子的動量。

晶體中的電子，可以用其本征函數(shù)Bloch波組成波包，從而當作準經(jīng)典粒子來處理。經(jīng)典粒子同時具有確定的能量和動量，但服從量子力38二.波包與電子速度：

在晶體中，電子的準經(jīng)典運動可以用Bloch函數(shù)組成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征態(tài)，因此，必須用含時間因子的Bloch函數(shù)。首先考慮于一維情況。設波包由以k0為中心，在k的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設k很小，可近似認為不隨k而變。對于一確定的k

，含時間的Bloch函數(shù)為

把與k0相鄰近的各k’狀態(tài)疊加起來就可以組成與量子態(tài)k0相對應的波包：二.波包與電子速度：在晶體中，電子的準39波包令波包令40為分析波包的運動，只需分析2，即幾率分布即可。令0波函數(shù)集中在尺度為的范圍內(nèi)，波包中心為：w＝0。為分析波包的運動，只需分析2，即幾率分布即可。令0波41有若將波包看成一個準粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：2/a，而假設k很小，一般要求即推廣到三維情況，電子速度為有若將波包看成一個準粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：242注意，這里給出了把Bloch波當作準經(jīng)典粒子處理的條件。由于Bloch波有色散，一個穩(wěn)定的波包所包含的波矢范圍△k應是一個很小的量。Bloch波有獨立物理意義的波矢被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，因為測不準關系這表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶體中電子的運動就可以用波包的運動規(guī)律來描述。對于輸運現(xiàn)象，只有當電子平均自由程遠大于原胞尺寸的情況下，才可以把晶體中的電子當作準經(jīng)典粒子，波包移動的速度（群速度）等于處于波包中心處粒子所具有的平均速度。注意，這里給出了把Bloch波當作準經(jīng)典粒子處理的條件。43附錄：更簡明的說明：

量子力學告訴我們，晶體中處于狀態(tài)的電子，在經(jīng)典近似下，其平均速度相當于以k0為中心的波包速度，而波包的傳播速度是群速度：量子力學中的德布羅意關系：所以電子的平均速度：附錄：更簡明的說明：44考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：

這個公式表達了一個非常重要的事實，那就是：

晶體中電子的平均速度只與能量和波矢有關，對時間和空間而言，它是常數(shù)，因此平均速度將永遠保持不變而不衰減。也就是說可以一直流動下去而不衰減。這意味著：電子不會被靜止的原子所散射，嚴格周期性晶體的電阻率為零。這一點和自由電子論中離子是作為散射中心對電子產(chǎn)生散射而影響電子的平均（漂移）速度的概念完全不同。

下一節(jié)還將仔細分析這種情況。

考慮到不同能帶的電子，晶體中電子速度的一般表述：45換句話說：若電子處于一個確定的狀態(tài)時，只要晶格的周期性不變，則永遠處于這個態(tài)，因此，只要這種情況不變，則電子將以同樣的速度在整個晶體中不斷運動，而不被任何晶格所阻礙，即電子速度是一個常數(shù)，因為晶格對傳播速度的影響，都已經(jīng)通過能量包括在內(nèi)了。

當然，晶格對周期性的偏離會引起電子的散射，使它的速度發(fā)生變化，例如，電子在熱振動的晶格中運動，會和聲子多次碰撞，對電子的速度產(chǎn)生極大影響；此外，外加電場和磁場也會對電子運動速度帶來變化，以后將陸續(xù)討論到這些情況。換句話說：若電子處于一個確定的狀態(tài)時，只要晶46這個公式還表明：電子速度的方向為k空間中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，電子的運動方向決定于等能面的形狀，在一般情況下，在k空間中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向。下圖比較準確地反映了Bloch電子的這一特點。這個公式還表明：電子速度的方向為k空間中能量梯度的方向，47只有當?shù)饶苊鏋榍蛎妫蛟谀承┨厥夥较蛏?，v才與k的方向相同。電子運動速度的大小與k

的關系，以一維為例說明在能帶底和能帶頂，E(k)取極值，因此，在能帶底和能帶頂，電子速度v＝0。E(k)v(k)而在能帶中的某處：電子速度的數(shù)值最大，這種情況與自由電子的速度總是隨能量的增加而單調(diào)上升是完全不同的。只有當?shù)饶苊鏋榍蛎?，或在某些特殊方向上，v才與k的方因48上頁圖取自黃昆書圖5-2，右圖表示的更準確，一維晶格的能帶結(jié)構（上圖）相應的電子速度（下圖），虛線表示自由電子的速度。這種變化可用NEF模型來解釋：在區(qū)心處，電子可以用平面波描寫，因而速度成線性變化，但隨著k值的增加，自由波受晶格散射波的影響越來越大，散射波對入射波的消弱越來越明顯，直到布里淵區(qū)邊界，強的Bragg反射使散射波和入射波相等，所以波速度為零。這個結(jié)果和一切幅射波在有周期性的晶體中的傳播是一樣的。上頁圖取自黃昆書圖5-2，右圖表示的更準確，一維晶格的能帶49三.電子的準動量：

在外場中，電子所受的力為F，在dt時間內(nèi)，外場對電子所做的功為Fvdt根據(jù)功能原理，有在平行于v的方向上，dk/dt和F的分量相等；當F與速度v垂直時，不能用功能原理來討論電子能量狀態(tài)的變化，但是我們?nèi)钥梢宰C明在垂直于速度的方向上，dk/dt和外力F的分量也相等。三.電子的準動量：在外場50

上式是電子在外場作用下運動狀態(tài)變化的基本公式，具有與經(jīng)典力學中牛頓定律相似的形式。k是電子的準動量，準動量不是嚴格意義上的Bloch電子的動量，嚴格意義上的動量的變化率等于作用在電子上面所有力的和，而準動量的變化率只是外場力作用的結(jié)果，這里沒有包括晶格勢場作用力。晶格勢場的作用被包含在準動量中。上式是電子在外場作用下運動狀態(tài)變化的基本公式51

是Bloch電子準動量的另一種說明：對于自由電子，

k=p

就是電子的動量。對于晶體周期場中的電子用Bloch波描述，動量算符作用下：這表明Bloch波不是動量算符的本征函數(shù)。在晶體周期場中，k是動量概念的擴展，稱為準動量或電子晶格動量。是Bloch電子準動量的另一種說明：對于52四.電子的加速度和有效質(zhì)量

晶體中電子運動的準經(jīng)典模型為，外場用經(jīng)典方式處理，晶體周期場用能帶論的處理，電子位置用Bloch波包的中心位置代替。準經(jīng)典運動的基本關系式：此外，假定能帶指標n是運動常數(shù)，即電子總是呆在同一能帶中，忽略電子在能帶之間的躍遷。相當于牛頓第二定律四.電子的加速度和有效質(zhì)量晶體中電子運動53從電子運動的基本關系式可以直接導出在外力作用下電子的加速度。1.一維情況引入電子的有效質(zhì)量：

由于周期場的作用，當把加速度在形式上寫成僅由外力引起的形式時，外力與加速度之間的關系顯然不是由電子的慣性質(zhì)量所聯(lián)系的，而必須引入一個有效質(zhì)量的概念，它計入了周期場的影響。從電子運動的基本關系式可以直接導出在外力作用下1.一維情況54有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關系不是拋物線關系，因此，電子的有效質(zhì)量不是常數(shù)，m*與k有關。在能帶底，E(k)取極小值，這時，m*>0；E(k)取極大值，所以，m*<0。在能帶頂有由于周期場中電子的能量E(k)與k的函數(shù)關系不是拋552.三維情況其分量形式為＝1,2,32.三維情況其分量形式為＝1,2,356矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個二階張量代替了矩陣形式與牛頓定律相比可知，現(xiàn)在是用一個二階張量代替了57稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一個對稱張量。同時，晶體的點群對稱性也會使張量的獨立分量減少，對于各向同性晶體，它退化為一個標量。由于倒有效質(zhì)量張量是對稱張量，如將kx、ky、kz取為張量的主軸方向，就可將其對角化。稱為倒有效質(zhì)量張量。由于微商可以交換順序，倒有效質(zhì)量張量是一58這時有這時有59

有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作用（把這個作用用有效質(zhì)量代替），使我們能夠簡單地由外場力確定電子的加速度。

需要注意電子的加速度方向并不一定與外場力的方向一致，這是由倒有效質(zhì)量張量的性質(zhì)所決定的。電子有效質(zhì)量常用電子比熱數(shù)據(jù)計算得到：其中0為自由電子的比熱系數(shù)，exp為實驗值。有效質(zhì)量的作用在于它概括了晶體內(nèi)部周期場作60對于有些材料，這個比值可以很大，100～1000倍，即電子的有效質(zhì)量很大，稱為重費米子，相應材料稱為重費米子材料。這類材料對應于費米能級處非常高的態(tài)密度。這一點我們可以從自由電子氣比熱系數(shù)中看到γ∝N(EF)例如，1975年發(fā)現(xiàn)化合物CeAl3，其低溫電子比熱系數(shù)γ高達1620mJ/mol·K。通常把γ值大于400mJ/mol·K的材料稱為重費米子系統(tǒng)。（見黃昆書p286）對于有些材料，這個比值可以很大，100～1000倍，即電子的61例：求簡單立方晶體s態(tài)