吉大-自動控制原理

1第八章采樣系統(tǒng)理論第8章

采樣系統(tǒng)理論基本要求采樣過程與采樣定理信號的恢復(fù)與零階保持器z變換與z反變換脈沖傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)的性能分析采樣系統(tǒng)的數(shù)字校正返回主3基本要求①正確理解采樣過程，采樣定理，信號復(fù)觀和零階保持器的作用,了解采樣系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系。②Z變換和Z反變換，熟練掌握幾種典型信號的Z變換和通過部分分式分解進行反變換,了解用Z變換法解差分方程的主要步驟和方法。③正確理解脈沖傳遞函數(shù)的概念，熟練掌握簡單采樣系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的計算方法,掌握典型閉環(huán)采樣系統(tǒng)輸出的Z變換表達式。返回子4④熟練掌握Z域穩(wěn)定性的判別方法。⑤熟練掌握采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法，正確理解終值定理的使用條件、積分環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的型別的關(guān)系。⑥熟練掌握瞬態(tài)響應(yīng)與極點分布的對應(yīng)關(guān)系。⑦掌握最小拍采樣系統(tǒng)的設(shè)計步驟。圖8-1

機載火力控制系統(tǒng)原理圖568-1采樣過程與采樣定理一、采樣過程——將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換成離散信號的過程幅值為1的脈沖序列，如圖8-3（b）所示。該過程可以看成是一個信號的調(diào)制過程，如圖8-3

所示，其中載波信號p(t)是一個周期為T，寬度為

(

T

)，調(diào)制后得到的采樣信號是一個周期為T，寬度為幅值正比于采樣瞬時值的脈沖序列，如圖8-3（c）所示。返回子圖8-3

信號的采樣過程7實現(xiàn)上述采樣過程的裝置稱為采樣開關(guān)可用圖8-3（d）所示的符號表示。f

(t)

p(t)

f

(t)（8-1）由于載波信號p(t)是周期函數(shù)，故可以展成如下Fourier級數(shù)8nnsC

ejn

tp(t)

（8-2）則采樣信號f

(t)可以表示為n

nsjn

tC f

(t)ef

(t)

（8-4）09snn

/

2C

1

T

p(t)e

jnst

dt

1

sin(ns

/

2)

ens

/

2T

T（8-3）其中，

s

為采樣頻率，F(xiàn)ourier系數(shù)

Cn由下式給出若連續(xù)信號的Fourier變換為

F

(，j則)采樣信號的Fourier變換為線如圖8-4所示。連續(xù)信號f

(t)與離散信號f

(t)的頻譜曲10ns

nC F

(

j

jn

)F

(

j

)

（8-5）圖8-411（Shannon）采樣定理若存在一個理想的低通濾波器，其頻率特性如圖8-5所示，便可以將采樣信號完全恢復(fù)成原連續(xù)信號。由此可得如下著名的（Shannon）采樣定理：圖8-5）12如果采樣頻率滿s

足以下條件2max13

s式中

m為ax連續(xù)信號頻譜的上限頻率則經(jīng)采樣得到的脈沖序列可以無失真地恢復(fù)為原連續(xù)信號。（8-6）二、理想采樣過程為了簡化采樣過程的數(shù)學(xué)描述，引入如下理想采樣開關(guān)的概念。載波信號p(t)可以近似成如下理想脈沖序列（

0）14

T

(t)

(t

kT

)k

（8-7）再設(shè)當

t

0

時，f

(t)

0則采樣過程的數(shù)學(xué)描述為此時，采樣過程如圖8-6所示。理想采樣開關(guān)的輸出是一個理想脈沖序列。15k

0T(t)

f

(t)

f(t)

(t

kT

)f

(t)

（8-8）圖8-6

理想采樣開關(guān)的采樣過程16同樣，

(t)

可以展成如下Fourier級數(shù)TnnTsC

ejn

t

(t)

Cn

1T其中（8-10）nTf

(t)

1

f

(t)e

jnst則有（8-11）17nsTF

(

j

jn

)F

(

j

)

1和（8-12）圖8-7

連續(xù)信號和采樣信號的頻譜18注意：上述 采樣定理要求滿足以下兩個條件：①

頻譜的上限頻率是有限的；②

存在一個理想的低通濾波器。但可以證明理想的低通濾波器在物理上是不可實現(xiàn)的，在實際應(yīng)用中只能用非理想的低通濾波器來代替理想的低通濾波器；19（8-13）208-2信號的恢復(fù)與零階保持器信號的恢復(fù)是指將采樣信號恢復(fù)為連續(xù)信號的過程，能夠?qū)崿F(xiàn)這一過程的裝置稱為保持器。kT

t

(k

1)T

時，可將f

(t)

展成如下 級數(shù)nt

kT

kT

n!ft(f)()()()

kT

ftt

kTt

kT

1

ftt()n

()()返回子各階導(dǎo)數(shù)的近似值由此類推，計算n階導(dǎo)數(shù)的近似值需已知

n+1個采樣時刻的瞬時值。若式（8-13）的右邊只取前n+1項，便得到n階保持器的數(shù)學(xué)表達式。T

2

f

(kT

)

2

f

(kT

T

)

f(kT

2T

)f

(t)t

kTT21f

(kT

)

f

(kT

)

f

(kT

T

)（8-14）圖8-8

信號的采樣與保持過程零階保持器的數(shù)學(xué)表達式為f

(t)

f

(kT

) kT

t

(k

1)T22（8-16）理想采樣開關(guān)的輸出Laplace變換為零階保持器的輸出為k

0F

*

(s)

f

(kT

)ekTs(8-17)23f

h

(t)

f

(kT

)1(t

kT

)

1(t

kT

T

)k

0(8-18)k

0s

e

kTs

e(k

1)Ts

Fh

(s)

f

(kT

)

k

0kTs

f(kT

)e

1

eTs

由上式可知零階保持器的傳遞函數(shù)s1

eTsGh

(s)

s24(8-20)(8-19)零階保持器的頻率特性為j1

e

jTGh

(

j)

esin(T

/

2)T

/

2

1

jT2

Ts

/

s

T

sin(

/

s

)

e

/

ssh

/

sin(

/

)G

(

j

)

T

s25h

sin(

/

s

)G

(

j

)

相頻特性為(8-22)(8-23)其幅頻特性為其中零階保持器的頻率特性曲線如圖8-9所示，對比圖8-4可知零階保持器是一個低通濾波器，但不是理想的低通濾波器，它除了允許信號的主頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過。ss2ns

(2n

1)ssin(

/

)

0,

, (2n

1)

2(n

1)s(n

0,1,2,

)26圖8-9

零階保持器的頻率特性曲線27288-3

z變換與z反變換一、z變換連續(xù)信號f

(t)經(jīng)采樣后得到的脈沖序列為對上式進行Laplace變換，得f

(t)

f

(kT

)

(t

kT

)k

0（8-25）s

f

kT()e()kTsk

0F

（8-26）返回子引入一個新的復(fù)變量z

eTs將式上式代入式（8-26）可得z變換的定義式如下稱F

(z)為f

(t)的z變換，記作Z[f

(t)]

F

(z)或Z[f

(kT

)]

F

(z)F

(z)

f

(0)z

0

f

(T

)z

1

f

(2T

)z

2

f

(kT

)z

k

由此可看出F

(z)是關(guān)于復(fù)變量z

1的冪級數(shù)。29

F

(z)

f

(kT

)z

kk

0F

(s)s(1/

T

)

ln

z（8-28）30例8-1

求單位脈沖信號的z變換。f

(t)

f

(t)

(t

kT

)

(t)k

0解：設(shè)f

(t)

(t)，則由于

f

(t)在時刻t

0

的脈沖強度為1，其余時刻的脈沖強度均為零，所以有F

(z)

1

z

0

1例8-2

求單位階躍信號的z變換。解：設(shè)f

(t)

1(t)，則

z

2F

(z)

1

z

1

z

k

該級數(shù)的收斂域為

z

1，在該收斂域內(nèi)，上式可以寫成如下閉合形式31,

(

z

1

)1

z1

z

1

z

1F

(z)

(|

z

|

1)(z

1)2

Tz

,F

(z)

k

0kT

z

k例8-3

求單位斜坡信號的z變換。則上式兩邊對z求導(dǎo)數(shù)，并將和式與導(dǎo)數(shù)交換，得F

(z)

kT

z

kk

0, (

|

z

|

1

)32z

1k

0

z

k解：設(shè)f

(t)

t,(t

0，)z(z

1)

2k

0(k

)

z

k

1上式兩邊同乘(Tz)，便得單位斜坡信號的z變換

1

33例8-4求指數(shù)函數(shù)的z變換。解：設(shè)f

(t)

eat

，則

ea

2T

z

2

eakT

z

kF

(z)

1

eaT

z

11z, (|

z

|

eaT

)z

eaT1

eaT

z

1z

zz(1

eT

)(z

1)(z

eT

)F

(z)

z

1

z

eT例8-5設(shè)F

(s)解：s(s

1)，1

求

的fz變(t)換。上式兩邊求Laplace反變換，得f

(t)

1

et

, (t

0)再由例8-2和例8-4有1

134F

(s)

s s

1注意：不能直接將

s

1

ln

z

代入35TF

(s)來求

F

(z)，因為是針對采樣信號

f

(t)進行z變換。二、z變換的基本定理1．線性定理：其中

a1和為a任2

意實數(shù)。Z[a f

(t)

a f

(t)]1

1

2

2

a1F1

(z)

a2

F2

(z)36（8-30）1f

(t)2f

(t)1F

(z)2F

(z)若和

z變換為

和，則37證明：Z[a f

(t)

a f

(t)]1

1

2

21

1

2

2k[a f

(kT

)

a

f

(kT

)]zk

0k21

21

k

0

k

0k

a

f

(kT

)zf

(kT

)z

a

a1F1

(z)

a2

F2

(z)2．實數(shù)位移定理若f

(t)的z變換為F

(z)，則Z[

f

(t

nT

)]

z

n

F

(z)（8-31）n138Z[

f

(t

nT

)

z

n

[F

(z)

f

(kT

)z

k

]k

0（8-32）39證明：由于當j

0時，e(jT

)

0，所以有j

nk

0

z

n

f

(kT

nT

)z

(k

n)

z

n

f

(

jT

)z

j證明式（8-31）

Z[

f

(t

nT

)]

f

(kT

nT

)z

kk

0Z[

f

(t

nT

)]

z

n

f

(

jT

)z

jj0

z

n

F

(z)40證明式（8-32）Z[

f

(t

nT

)]

f

(kT

nT

)z

kk

0

z

n

f

(kT

nT

)z

(k

n)k

0

z

z

n1k

0

j

0f

(

jT

)z

j

kf

(kT

)znf

(kT

)z

k

F

(z)

n1k

0n證明：41Z[

f

(kT

)e

akT

]

f(kT

)

e

akT

z

kk

0

f(kT

)

(ze

aT

)kk

0復(fù)位移定理已知

f

(kT

)

的z變換函數(shù)為F

(z)

，則Z[

f

(kT

)e

akT

]

F

(z

e

aT

)

F

(z

e

aT

)4．Z域尺度定理若已知f

(kT)的z變換函數(shù)為F

(z)，則證明：Z[ak

f

(kT

)]

ak

f

(kT

)

z

kk

0k

0

z

k

f

(kT

)

a

a

z

F

（8-34）其中，a

為任意常數(shù)。

42

a

Z[ak

f

(kT

)]

F

z

三、z反變換z反變換是z變換的逆運算。其目的是由象函數(shù)F

(z)求出所對應(yīng)的采樣脈沖序列（或

f

(t)

），記作

f(nT

)Z-1

[F

(z)]

f

(t)（8-35）注意z反變換只能給出采樣信號

f

(t)，而不能給出連續(xù)信號

f

(t)。431部分分式法互異，則

可展成若象函數(shù)F

(z是)

復(fù)變量z的有理分式，且,

(i

1,2,,

m)iiz

ea

Tz的極F點(z)上式兩邊同乘z，再取z反變換得Kmz

eamT

F

(z)

K1

K

2z

z

ea1T

z

ea2T（8-36）Km

z

Z-1

Z-1

z

ea2T

z

eamT

z

ea1T

K1

z K

2

zZ-1

[F

(z)]

Z-1（8-37）a

nT

Kme

ma

nT

K2e

2a

nTf

(nT

)

K1e

1（8-38）z44如下形式：F

(z)例8-6已知z變換函數(shù)求其z反變換。(z

1)(z

eT

)45F

(z)

z解：eTz z

1

z

F

(z)

K1

K

2T1

ezF

(z)

z

1z1

K1

lim

1z首先將F

(z)展成部分分式zT

z

eT

zeT

1

eF

(z)

K

2

lim

1

1

eT

z

11

z

zz

eT1F

(z)

1

enT

1

eTf

(nT

)

k

01

eTf

(t)

1

(1

ekT

)

(t

kT

)462

長除法1

kF(z)

f0

f1

z

fk

z

對比式（8-29）可知若z變換函數(shù)F

(z)是復(fù)變量z的有理函數(shù)，則可將F

(z展)成z

1的無窮級數(shù)，即f

(kT

)

f

k

,

k

0,1,2,（8-40）47k

0f

(t)

kf

(t

kT

)（8-41）例8-7已知z變換函數(shù)為求其z反變換。(z

2)(z

3)48F

(z)

zf

(t)

(t

T

)

5

(t

2T

)

19

(t

3T

)

65

(t

4T

)

解：由F

(z)

z

1

5z

6 1

5z

1

6z

2z運用長除法得F

(z)

z

1

5z

2

19z

3

65z

4

由此得f

(0)

0,

f

(T

)

1,

f

(2T

)

5,

f

(3T

)

19,

f

(4T

)

65,于是脈沖序列可以寫成493

留數(shù)計算法dzf

(kT

)zmk

1

k

0m1F

(z)z dz

50k

0m1F

(z)z dz

dzmk

1f

(kT

)

zk

0

由z變換的定義可知F

(z)

f

(kT

)z

kk

0F

(z)zm1

f

(kT

)zmk

1（8-43）設(shè)F

(z)zk

1的極點為

z

,i

1,2,,

n

，則i

包圍了(z)zk

1的所有極點n51ii1k

1res[F

(z)z

,

z

]f

(kT

)

（8-48）例8-8已知z變換函數(shù)為試用圍線積分方法求z反變換。(z

1)(z

2)5210zF

(z)

解：(z

1)(z

2)10z

kF

(z)zk

1

z1上式有兩個極點z1

1和z2

2

，且res[F(z)z

k

1

,1]

lim

(z

1)F(z)z

k

1

10z2res[F(z)z

k

1

,2]

lim

(z

2)F(z)zk

1

10

2kf

(kT

)

10(2k

1)(k

0,1,2,)所以53四 初值定理和終值定理1初值定理：存在，則設(shè)f

(kT

)的z變換為

F

(z)，并且有極限

lim

F

(z)zz54f

(0)

lim

F

(z)（8-49

）2終值定理：設(shè)f

(kT

)的z變換為F

(z)，且(1

z

1

)F

(z)的極點均在z平面的單位圓內(nèi)，則lim

f

(kT

)

lim

(1

z

1

)F(z)k

z055（8-50）五、用z變換法解線性常系數(shù)差分方程1差分的定義假設(shè)在圖8-1所示的采樣系統(tǒng)中，模擬—數(shù)字轉(zhuǎn)換器在離散時間對誤差信號e(t)進行采樣，并將瞬時值e(kT

)記為ek或e(k)，則

ek

的一階前項差分定義為56ek

ek

1

ek57二階前向差分定義為n階前向差分定義為n階后向差分定義為2e

(e

)

ek

k

k

1

ek

2ek

1

ek

ek

2k

n1ek k

1

n1en

e

n1e

n1ek k

1nek588-4

脈沖傳遞函數(shù)一、脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)定義為輸出采樣信號的z變換與輸入采樣信號的z變換之比R(z)G(z)

C(z)（8-59）圖8-10返回子系統(tǒng)輸出的采樣信號為c

(t)

Z

1[C(z)]

Z

1[G(z)

R(z)]經(jīng)虛設(shè)采樣開關(guān)得到的脈沖序列

c

(t)反映的是連續(xù)輸出

c(t)在采樣時刻的瞬時值。59二、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1．開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)r(t)e

jkstT

k

r

(t)

1

s60Tk

R(s

jk

)R

(s)

1

C(s)

G(s)R

(s)1k

0sjk

)sT

G(s

jk

)R

(s

C

(s)

1k

0sT

C(s

jk

)1sk

0T

G(s

jk

)

R

(s)R

(s)

G

(s)

1k

0sT

G

(s)

G(s

jk

)C(z)

G(z)R(z)61（8-66）由此求該開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(。z)例8-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-10所示，其中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為s(0.1s

1)621G(s)

解：連續(xù)部分的脈沖響應(yīng)函數(shù)為g(t)

(1

e10t

) (t

0)g(kT

)

1

e10kTkg(kT

)zG(z)

k

010kT

k1

e

zzzk

0

z

1

z

e10Tz(1

e

10T

)63(z

1)(z

e

10T

)脈沖傳遞函數(shù)為或由G(s)得G(s)

1

1s s

10查表得

z(1

e10T

)(z

1)(z

e10T

)64zz

e10Tzz

1G(z)

2．串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)時的脈沖傳遞函數(shù)圖8-1165G(z)

Z[G1

(s)G2

(s)]

G1G2

(z)（8-67）例8-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-11所示，其中求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。s

aG

(s)

11s

b66G

(s)

12解：s

b

b

a

s

aG1

(s)G2

(s)

11

1G(z)671z(eaT(z

e)(z

eb

a(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)時的脈沖傳遞函數(shù)如圖8-12所示，其脈沖傳遞函數(shù)為各個連續(xù)環(huán)節(jié)z變換的乘積，記為圖8-12

串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)的開環(huán)系統(tǒng)G(z)

Z[G1

(s)]

Z[G2

(s)]

G1

(z)

G2

(z)（8-68）68例8-13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-12所示，其中求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。16921

1G

(s)

,

G

(s)

s

a s

b解：z2G(z)

G1

(z)

G2

(z)

(z

eaT

)(z

ebT

)所以由于G1

(z)

Z[G1

(s)]

G2

(z)

Z[G2

(s)]

zz

eaTzz

ebT由例8

12和例8-13可知，一般G（1

z）G（2

z）

G1

G（2

z）。70（3）有零階保持器時的脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z)

Z

1

eTs

s

s

G(s)

Z

1G(s)

Z

G(s)eTs

1711s1G(s)

sG(z)

1

z

Z圖8-13

帶零階保持器的開環(huán)采樣系統(tǒng)例8-14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-13所示，其中采樣周期

T

1

s求其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。s(s

1)72G(s)

K解：由于所以s

1

s

21

G(s)

K

1

1

s1s

2

1z

z(z

1)

z

1

z

ezG(z)

K

[1

z

1

]

1

1

K

(ze

1

2e

)

0.368K

(z

0.717)(z

1)(z

e1

)

(z

1)(z

0.368)73三、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖8-14

閉環(huán)采樣系統(tǒng)74采樣開關(guān)的輸入和系統(tǒng)的輸出

分別為75E(s)

R(s)

G(s)H

(s)E

(s)C(s)

G(s)E

(s)E

(s)

R

(E)

GH

(s)E

(s)C

(s)

G

(s)E

(s)整理得于是閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為R

(s)G

(s)1

GH

(s)C

(s)

R(z)1

GH

(z)G(z)C(z)

R(z)76G(z)1

GH

(z)

(z)

C(z)

例8-15閉環(huán)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖8-14所示，其中采樣周期T

1秒，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，若r(t)

1(t，)求c

(t)。s(s

1)771G(s)

H

(s)

1解：對于階躍輸入函數(shù)有(z

1)(z

0.368)0.632zG(z)

GH

(z)

z

2R(z)

0.737z

0.368C(z)

0.632zz

178R(z)

z則輸出信號的z變換為(z

1)(z

2

0.736z

0.368)0.632z

2C(z)

0.632z1

1.096z2

1.205z3

1.120z4

1.014z5

0.98z6

于是c

(t)

0.632

(t

1)

1.096

(t

2)

1.205

(t

3)

791.120

(t

4)

1.014

(t

5)

0.98

(t

6)

注意有些閉環(huán)采樣系統(tǒng)不可能求出R(z)形式的閉環(huán)脈沖傳80C(z)遞函數(shù)，而只能求出輸出信號C(z)的表達式。如圖8-15所示的閉環(huán)采樣系統(tǒng)（8-15）818-5采樣系統(tǒng)的性能分析一、穩(wěn)定性1

從s平面到z平面的影射關(guān)系z

eTs由Z變換的定義（8-80）s

若令（8-81）z

eT

e

jT則有（8-82）返回子圖8-16

從s平面到z平面的影射左半s平面上

s

s

的帶稱為主帶，2

2其它稱為次帶。822

Z域的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性判據(jù)在z平面上系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的特征根必須全部位于z平面的單位圓內(nèi)。設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

(z)

C(z)

M

(z)則閉環(huán)特征方程為R(z)

D(z)D(z)

083（8-84）(1)（Jury）穩(wěn)定判據(jù)0 1 2D(z)

a

a

z

a

z

2

a

znn且an

0，根據(jù)特征方程的系數(shù)構(gòu)造 陣列，則特征方程D(z)

0

的根均位于單位圓內(nèi)的充分必要條件為D(1)

0, (1)n

D(1)

0|2

|

|

b0

||

bn1|

a0

|

an||

c0

||

cn2

|

共（n-1）個約束條件（8-86）（8-87）84例8-16已知采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(z)

0.125

0.75z

1.5z

2

z

3試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：D(1)

0.125

0, (1)3

D(1)

3.375

085陣列行數(shù)z

0z1z

2z31-0.1250.75-1.5121-1.50.75-0.1253-0.981.41-0.564-0.561.41-0.96系統(tǒng)是穩(wěn)定的|

a0

|

a3|

b0

||

b2

|86(2)勞思(Routh)穩(wěn)定判據(jù)在分析連續(xù)系統(tǒng)時，曾應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的特征根位于s右半平面的個數(shù)，并依此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于采樣系統(tǒng)，也可用Routh判據(jù)分析其穩(wěn)定性，但由于在z域中穩(wěn)定區(qū)域是單位圓內(nèi)，而不是左半平面，因此不能直接應(yīng)用Routh判據(jù)。87引入如下雙線性變換z

w

1w

1此時可用Routh判據(jù)判斷采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性。88(3)z平面的根軌跡方法以上述例8-15所示的閉環(huán)采樣系統(tǒng)為例，其特征方程為1

G(z)

0(z

1)(z

0.368)890.632KzG(z)

可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K值為4.33。例8-16的根軌跡圖二、閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系設(shè)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為a z

n

a

z

n10

1

n1

n

b

zm1

a z

ab

zm

b z

b

(z)

0

1

m1

m

b0

(z

z1

)(z

z2

)(z

zm

)

M

(z)a0

(z

p1

)(z

p2

)(z

pn

)若輸入信號為單位階躍，則D(z)zD(z)

z

190C(z)

(z)

R(z)

M

(z)

（8-91）上式中第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為瞬態(tài)分量，顯然瞬態(tài)分量的變化規(guī)律取決于極點在z平面中的位置。ck

zD(1)

z

1

k

1

z

pknC(z)

M

(1)

z

(m

0,1,2,)D(1)nc(mT

)

M

(1)

c

pmk

1k

k將

C(z)

按部分分式展開，得z91圖8-18不同極點所對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)92三、穩(wěn)態(tài)誤差圖8-19

單位負反饋采樣系統(tǒng)R(z)9311

G(z)E(z)

（8-97）在輸入信號r(t)作用下，誤差的z變換表達式為1

當輸入為階躍函數(shù)時z1R(z)

z

/(z

1)定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)為K

p

lim

G(z)941

K

p11

G(z)

z

11

ze()

lim

(z

1)z1則根據(jù)終值定理，有2

當輸入是斜坡函數(shù)時z1R(z)

Tz

/(z

1)2定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)為Kv

lim

(z

1)G(z)v95z1Tz

T(z

1)2

K11

G(z)e()

lim

(z

1)穩(wěn)態(tài)誤差為3

當輸入是等加速信號時R(z)

T

2

z(z

1)

/

2(z

1)3定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為aK

lim(z

1)2

G(z)z1a96KT

21

T

2

z(z

1)1

G(z)

2(z

1)3e()

lim

(z

1)z1穩(wěn)態(tài)誤差為例8-17已知采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，其中，信號穩(wěn)態(tài)誤差。s

2r(1)

1

t

0.5t

2

,(t

0)的作用下，系統(tǒng)的G(s)

2(0.5s

1)

，采樣周期T

0.2s，求在輸入圖8-2197解：

s322T

z(z

1)(z

1)

(z

1)3zz

z

1

Tz

0.24z

0.1698(z

1)2采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z)

z

1

Z

2(0.5s

1)

D(z)

z

2

1.76z

0.84

0D(1)

0.08

0D(1)

3.6

0|

a0

|

0.84

a2

1該采樣系統(tǒng)穩(wěn)定在階躍和斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為K