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小熊的數值分析小熊的數值分析小熊的數值分析小熊的數值分析編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:插值法的實際應用——信科132姓名熊玉瑋摘要:插值法是計算數學中的一種重要的方法，而且計算問題可以說是現代社會各個領域普遍存在的共同問題，無論哪一行哪一業(yè)都有許多數據需要處理，插值法正在科學技術中發(fā)揮越來越大的作用.關鍵字：插值分段線性插值三次樣條插值溫度預測插值法是函數逼近的一種重要方法，是數值計算的基本課題.插值法是一個古老的話題，早在公元六世紀，劉焯就創(chuàng)立“等間距二次內插法公式”來計算日、月、五星的運行速度，之后，插值法就隨著后來科學家的深入研究使之更加完善.插值法不僅是在算法上能夠更加簡便，而且在實際應用中，插值法會使很多問題由復雜變?yōu)楹唵螐亩奖憬鉀Q.插值法的提出主要源于實際問題，在許多實際問題及科學研究中，因素之間往往存在著函數關系，然而，這種關系經常很難有明顯的解析表達，通常只是由觀察與測試得到一些離散數值，因此需要用插值方法處理，求出近似函數.在插值問題的研究工作中，對用于逼近的簡單函數的類型有不同的選取.多項式或分段多項式最便于計算和使用，因而使用的也比較多。特別計算機出現后，人們更把注意力集中在利用多項式的插值方面，因為計算公式相對的易于描述和進行程序設計，其誤差分析也比較簡單.無論國外還是國內，科學家們對于插值法已有了很多研究。一、分段線性插值分段線性插值就是通過插值點，用折線段連接起來逼近f（x）.設已知節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b上的函數值f0,f1,…,fn，記hk=xk+1-xk,h=maxhk，求一折線函數Ih(x)滿足（1）（2）Ih(xk)=fk(k=0,1,…，n)（3）Ih(x)在每個小區(qū)間[xk,xk+1]上是線性函數.則稱Ih(x)為分段線性插值函數.由定義可知Ih(x)在每個小區(qū)間[xk,xk+1]上可表示為在整個區(qū)間[a,b]上定義分段線性插值函數為其中分段線性插值函數的誤差估計可利用插值余項（）得到或其中，由此可得到，在[a,b]上一致成立.故Ih(x)在[a,b]上一致收斂到f(x).二、三次樣條插值定義：設在區(qū)間[a,b]上給定一組節(jié)點a=x0<x1<…<xn=b上的函數值y0,y1,…，yn，其函數S(x)滿足：（1）S(x)在每個子區(qū)間[xk-1,xk](k=1,2,…,n)上都是次數不超過3的多項式；（2）S(xk)=yk,k=0,1,…，n;（3）S(x)在[a,b]上的二階導數連續(xù)。則稱S(x)為三次樣條插值函數。從定義知要求出S(x)，在每個區(qū)間[xk-1,xk]上要確定4個待定系數，共有n個小區(qū)間，故應確定4n個常數，根據S(x)在[a,b]上二階導數連續(xù)，在節(jié)點xk(k=1,2,…,n-1)處應滿足連續(xù)性條件共有3n-3個條件，再加上S(x)滿足插值條件S(xk)=yk，共有4n-2個條件，因此還需要2個條件才能確定S(x)，通?？稍趨^(qū)間[a,b]的端點a=x0,b=xn上各加一個條件（稱為邊界條件），可根據實際問題的要求給定。常見的有以下3種：（1）已知兩端的一階導數值，即（2）已知兩端的二階導數值，即其特殊情況為稱為自然邊界條件。（3）當f(x)是以x-x0為周期的周期函數時，則要求S(x)也是周期函數，這時邊界條件應滿足而此時有y0=yn，這樣確定的樣條函數S(x)稱為周期樣條函數。四、溫度預測上的實際應用某班級組織一次實踐活動，為了是同學了解溫度的變化，在12h內，每隔1h測量一次溫度，溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24.（單位：oC），試分別用分段線性插值、三次樣條插值方法估計在,,,的溫度值，每隔1/10h估計一次溫度值并畫出其圖形.①用分段線性插值、三次樣條插值方法估計在,,,的溫度值應用分段差值多項式進行編程。程序如下：hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24];t=interp1(hours,temps,[,,,])T=interp1(hours,temps,[,,,],'spline')結果為t=T=②每隔1/10h估計一次溫度值并畫出其圖形，如圖一（程序為附件1）圖一由上可以很明顯的看出，由于計算機的加入，使其非常復雜的運算變得非常簡單，因而計算機對計算機對插值法的作用真的很大.參考文獻[1]徐萃薇編.《計算方法引論》（第二版）[M].高等教育出版社,1985:13-147頁[2]張韻華、奚梅成編.《數值計算方法與算法》（第二版）[M].科學出版社,2006:10-40頁[3]朱長青編著.《數值計算方法及其應用》（第二版）[M].科學教育出版社,2000:23-58頁附件附件1:hours=1:12;temps=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27