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§7.4曲線積分與路徑的無關性一、曲線積分與路徑無關的定義設D是開區(qū)域，在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù).如果D內(nèi)任意兩個指定點A,B以及在D內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L1，L2有：恒成立，則稱曲線積分在D內(nèi)與路徑無關,二、平面曲線積分與路徑無關的條件可得如下四個等價命題：證明用定義證明當起點固定時只與終點有關，記則2解原積分與路徑無關

例1

計算.其中L為由點到點的曲線弧.故原式

解例2

設曲線積分與路徑無關,其中具有連續(xù)的導數(shù),且,

計算:積分與路徑無關，故解例3

計算其中L為由點到點的上半圓周D所以在不包含原點的單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關.三、全微分當條件滿足時，函數(shù)u(x,y)(不計一常數(shù))可由曲線積分求出，其形式為：●積應用曲線積分與路徑無關.可得通解如下：通解為：或解是全微分方程,例7原方程的通解為常見的全微分表達式解將方程左端重新組合,有例8求微分方程原方程的通解為例9解整理得A.

用曲線積分法:C.不定積分法:原方程的通解為四、空間曲線積分與路徑無關的條件定理設在某曲面單連通域G內(nèi)，函數(shù)四個等價命題見P201MM§7.5場論初步場向量場的通量與散度向量場的旋度

當物理量為數(shù)量時,稱之為數(shù)量場.(如溫度場,密度場等)場:

若在空間區(qū)域V中每一個點,都對應著某個物理量的一個確定的值,則稱V中確定了該物理量的一個場.

當物理量為向量時,稱之為向量場.(如力場,流速場等)二.向量場的通量與散度:設有向量場:S為空間區(qū)域V內(nèi)有向光滑曲面,則稱為向量場通過

S

流向指定一側的通量(或流量).則Gauss公式:三.向量場的旋度設有向量場:L為空間區(qū)域V內(nèi)有向光滑封

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